经济应用数学(第二版) 5-3条件极值

§

5.1

偏导数§5.2

二元函数的极值

§

5.3

条件极值

第五章多元函数微分学1

一.条件极值的意义

二.条件极值的求法§5.3条件极值2

一.条件极值的意义案例(1)我们已经讲过函数是极大值.是其极大值点,点的极大值问题,其中它是在圆域内求函数的极大值点.

我们已知道,

(2)现在的问题是,在条件下,求函数

的极大值.该圆域在平面坐标系中3(2)多了一个附加条件

(2)

分析

案例与案例中(1)的问题比较,

即

我们要求的极值点不仅在圆域

是条直线内,且应在直线上.因在求极值时,有附加条件

称为条件极值

该案例中的(2)在求极值时,无附加条件

称为无条件极值

该案例中的(1)

相应地4条件极值的求法在约束条件(也称约束方程)之下,求函数

(通常称为目标函数)的极值问题,把它代入目标函数中,得到这个一元函数的极值就是函数在条件是化为无条件极值问题.从约束方程中解出之下的条件极值.

其二

该方法当从方程中解出特别是对多于两个自变量的多元函数,很难行得通．

较困难时,就很不方便.拉格朗日乘数法.

欲求目标函数之下的极值点,可按下列程序:

在约束条件有两种方法:

其一

二.条件极值的求法5(1)作辅助函数(称拉格朗日函数)

其中是待定常数,称为拉格朗日乘数.

(2)求可能取极值的点.求函数的偏导数,并解方程组

设法消去解出和则点就是可能取条件极值的点.用拉格朗日乘数法求在约束条件之下的条件极值的程序6(3)判定所求得的点是否为极值点用拉格朗日乘数法求在约束条件之下的条件极值的程序

通常按实际问题的具体情况来判定.即我们求得了可能取条件极值的点,而实际问题又确实存在这种极值点,那么,所求的点就是条件极值点.

这种求条件极值问题的方法具有一般性,它可推广到元函数的情形.7解案例(2)在约束条件下,求函数的极值.解法1化为无条件极值问题.

将其带入所给二元函数中,有

由方程得这就化成了求上述一元函数的极值问题,可以求得该函数的定义域是区间由得驻点

8解案例(2)解法1化为无条件极值问题.

得驻点是函数的极大值点.极大值为当时,当时,可知这样,对所给的二元函数,极大值点是

当时,9解案例(2)在约束条件下,求函数的极值.解法2用拉格朗日乘数法

.

可得

作辅助函数解方程组

根据问题的实际意义该函数应有极大值,极大值点,极大值

故所求的点

应是10练习1解用拉格朗日乘数法

作辅助函数要做一个容积为的长方体箱子,问怎样选择尺寸,才能使所用材料最少?

设箱子的长为,宽为,高为,求解§5.2中案例:

容积为,表面积为则所要解决的问题可看作在给定容积的约束条件之下,求箱子的表面积(是给定的常数),的最小值.

11练习1续解

作辅助函数解方程组

可得由于点是唯一最小值,所以

可知箱子的表面积一定存在点,即当箱子的长、宽、高相等,均为料最省.就是可能取极值的点,而由问题本身所求的最小值时,所用材12练习2解设生产某产品的生产函数和成本函数分别为

的最小值.

为16,求成本最低的投入组合(使成本最低时,两种(1)若产量要素的投入量)及最低成本.

(1)依题设,这是在给定产出水平的约束条件求成本函数(目标函数)之下作辅助函数这是条件极值问题.两种要素的投入量)及最高产量.

(2)若成本预算为80,求产量最高的投入组合(使产量最高时,13练习2

解方程组

得

只有唯一可能取极值的点,根据问题实际意义可断定,当两种生产要素的投入量分别为续解(1)作辅助函数最低成本时,生产成本最低.的最小值.

(1)这是在给定产出水平的约束条件求成本函数(目标函数)14练习2解设生产某产品的生产函数和成本函数分别为

的最大值.

(2)依题设,这是在给定成本预算的约束条件求生产函数(目标函数)之下,作辅助函数这是条件极值问题.两种要素的投入量)及最高产量.

(2)若成本预算为80,求产量最高的投入组合(使产量最高时,续解(2)15练习2

的最大值.

(2)这是在给定成本预算的约束条件求生产函数(目标函数)之下,作辅助函数续解(2)解方程组得

只有唯一可能取极值的点,根据问题实际意义可断定,当两种生产要素的投入量分别为最高产量

时,产量最高.16练习3解为销售某种产品,需要作两种方式的广告,当两种广告费

的最大值.

这是在约束条件求目标函数之下,作辅助函数分别为和时,销售额为销售额的减去广告成本,而广告预算是万元,问应该怎样分配(万元),两种形式的广告费,才能使净利润达到最大