2020版高考理科数学一轮复习讲义第二章第一节函数及其表示Word版含

第二章

函数的看法及基本初等函数

(Ⅰ)全国卷

5年考情图解

高考命题规律掌握1.高考对本章的观察一般为

1～3道小题．2.从观察内容上看主要涉及函数的图象，

多为给出详尽函数剖析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.第一节函数及其表示1．函数与照射函数照射两会集A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的会集若是依照某种确定的对应关系f，使对若是按某一个确定的对应关系f，使对应关系f：对于会集A中的任意一个元素x，在于会集A中的任意一个数x，在会集BA→B会集B中都有唯一确定的元素y与之中都有唯一确定的数f(x)和它对应对应名称称f：A→B为从会集A到会集B的一称对应f：A→B为从会集A到会集B个函数的一个照射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个照射2．函数的有关看法(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域?；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的会集{f(x)|x∈A}叫做函数的值域?.显然，值域是会集B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：若是两个函数的定义域和对应关系完好一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依照．(4)函数的表示法：剖析法、图象法、列表法．3．分段函数

?若函数在其定义域内，对于定义域内的不相同取值区间，有着不相同的对应关系，这样的函数平时叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从剖析式自己有意义，或从实质出发．(2)若是函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的会集即为定义域．(3)若是函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的会集即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不能够够订交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实责问题，则要求使实责问题有意义．若是f(x)是由几个部分的数学式子组成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是会集B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)函数是一种特其他照射．()(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的照射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．以下列图形中能够表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()剖析：选CA选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，会集M中存在x与会集N中的两个y对应，不能够组成函数关系．应选C.2．以下函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1x2＋1D．y＝x2＋1C．y＝x剖析：选B对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不相同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不相同，不是相等函数；对于D，定义x域相同，但对应关系不相同，不是相等函数，应选B.3．函数f(x)＝2x－1＋1的定义域为________．x－22x－1≥0，剖析：由题意得解得x≥0且x≠2.x－2≠0，答案：[0,2)∪(2，＋∞)ex－1，x≤1，则f(f(2))＝________.4．若函数f(x)＝25－x，x>1，0剖析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e＝1，答案：15．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.剖析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，f(2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20考点一求函数的剖析式[师生共研过关][典例精析]2(1)已知fx＋1＝lgx，求f(x)的剖析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的剖析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的剖析式．2＋1＝t，得x＝2，[解](1)(换元法)令x－1t2代入得f(t)＝lg，又x>0，因此t>1，f(x)的剖析式是f(x)＝lg2，x∈(1，＋∞)．x－1(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，因此解得因此

2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，1a＝b＝.121f(x)＝2x＋2x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－x－2.即f(x)＝2x＋1－2－x3.f(x)的剖析式是f(x)＝2x＋1－2－x，x∈R.3[解题技法]求函数剖析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特色已经确准时，一般用待定系数法来确定函数剖析式若是给定复合函数的剖析式，求外函数的剖析式，平时用换元法将换元法内函数先换元，尔后求出外函数的剖析式若是给定两个函数的关系式，能够经过变量代换建立方程组，再通解方程组法过方程组求出函数剖析式剖析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特色，待定系数来确定；口诀记忆复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机.[过关训练]1．[口诀第3句]已知函数x，则函数f(x)的剖析式为()f(x－1)＝x＋1x＋1B．f(x)＝xA．f(x)＝x＋2x＋1x－11C．f(x)＝xD．f(x)＝x＋2t＋1剖析：选A令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，x＋1f(x)＝x＋2.应选A.2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.剖析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，a＋b＋c＝1，a＝3，∴a－b＋c＝5，解得b＝－2，∴g(x)＝3x2－2x.c＝0，c＝0，答案：3x2－2x1＝3x，则f(x)＝________.3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋fx1剖析：∵2f(x)＋fx＝3x，①把①中的x换成113，得2f＋f(x)＝.②xxx1联立①②可得2fx＋fx＝3x，13＋fx＝，2fxx1解此方程组可得f(x)＝2x－x(x≠0)．答案：2x－1x(x≠0)考点二函数的定义域[全析考法过关][考法全析]考法(一)已知函数剖析式求定义域[例1]求以下函数的定义域：|x－2|－1lnx＋1(1)f(x)＝log2x－1；(2)f(x)＝－x2－＋.3x4|x－2|－1≥0，[解](1)要使函数f(x)有意义，则x－1>0，x－1≠1，解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．x＋1>0，(2)要使函数f(x)有意义，则－x2－3x＋4>0，x>－1，即解不等式组得－1＜x＜1.x＋4x－1＜0，因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．考法(二)求抽象函数的定义域x＋f(x－1)的定义域为()[例2]已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f2A．(－2,0)B．(－2,2)C．(0,2)D.－1，02x－2＜x＜2，－1＜2＜1，[剖析]∴由题意得－1＜x－1＜1，0＜x＜2，x∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f2＋f(x－1)的定义域为(0,2)，应选C.[答案]C考法(三)已知函数的定义域求参数的值(范围)mx－1R，则实数m的取值范围是()[例3](1)若函数y＝mx2＋4mx＋3的定义域为A.0，3B.0，34433C.0，4D.0，4(2)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．mx－1[剖析](1)∵函数y＝mx2＋4mx＋3的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，m≠0，∴m＝0或

＝16m2－12m＜0，即m＝0或0＜m＜3，43∴实数m的取值范围是0，4.2(2)∵函数f(x)＝ax＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，a＜0，3∴f1＝0，解得a＝－2，∴a＋b＝－9.f2＝0，b＝－3，2[答案](1)D(2)－92[规律研究]考法(一)是依照详尽的函数剖析式求定义域，已知剖析式的函数，其定义域是使剖析式有意义的自变量的取值会集，求解时只要依照函数剖析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．考法(二)是求抽象函数的定义域，有以下解法：看个性(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考法(三)是考法(一)的逆运用，平时是转变成含参数的不等式求解1.切记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集.找共性2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数剖析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，必然要将其写成会集或区间的形式；(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集[过关训练]1．[口诀第1、2、3、4句]y＝x－122x－log2(4－x)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]剖析：选C要使函数有意义，则

x－1≥0，2xx≠0，24－x>0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域________．剖析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，因此x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，因此y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围________________．剖析：若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，x2＋ax＋1≥0恒建立，即＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]考点三分段函数[全析考法过关][考法全析]考法(一)分段函数求值1x，x≤0，1[例1](1)(2019石·家庄模拟)已知f(x)＝3则ff＝________.log3x，x>0，9x－3，x≥9，(2)已知f(x)＝则f(7)＝__________________________________.ffx＋4，x＜9，[剖析]1＝log1＝－2，(1)∵f939∴ff1＝f(－2)＝1－2＝9.93(2)∵7＜9，f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.f(7)＝6.[答案](1)9(2)6考法(二)求参数或自变量的值(范围)－x2，x≤0，[例2](1)(2018全·国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值1，x>0，范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)(2)(2019长·春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.x＋1，x≤0.－x，x≤0，2[剖析](1)∵f(x)＝1，x>0，∴函数f(x)的图象以下列图．结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，x＋1＜0，x＋1≥0，则需2x＜0，或2x＜0，2x＜x＋1x＜0，应选D.(2)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．[答案](1)D(2)－3[规律研究]考法(一)是求分段函数的函