极值点偏移问题

极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义TOC\o"1-5"\h\z对于函数y=f3)在区间(。,b)只有一个极值点x，方程f3)=0的解分别为x、工,012且a<x<x<b,若气+X2丰x，则称函数y=f(x)在区间(x,x)上极值点x偏移；20120若土±%>x，则函数y=f(x)在区间(x,x)上极值点x左偏，简称极值点x201200左偏；若xi+x2<x，则函数y=f(x)在区间(x,x)上极值点x右偏，简称极值点x201200右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f(x)=0的解分别为x、x，且a<x<x<b，1212若广(工)>0，则=<(>)x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极大(水)22012值点x右(左)偏；00若广(二±4)<0，则x±4>(<)x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极大(水)22012值点x0左(右)偏。证明：(1)因为可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，则函数y=f(x)的单调递增(减)区间为(a,君)，单调递减(增)区间为(%b)，又\o"CurrentDocument"x+xx+xx+xa<x<x<b，有2g(a,b)由于f()>0，酸2g(a,x)，所以122220二<(>)x，即函数极大(小)值点x右(左)偏。200

判定定理2对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0，方程TOC\o"1-5"\h\zf(x)=0的解分别为x、x，且a<x<x<b,1212(1)若f(x)<f(2x-x)，则气+X2<(>)x即函数y=f(x)在区间(x,x)上极10220,12大(小)值点x右(左)偏；0(2)若f(x)>f(2x-x)，则气+%>(<)x即函数y=f(x)在区间(x,x)上极10220,12大(小)值点x0左(右)偏。证明：(1)因为对于可导函数y=f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,区间为(x,b)，又0故x1<(>)2x0-x2,则函数y=f(x)的单调递增(减)区间为(a,x0),单调递减(增)a<x<x<b,有x<x,且区间为(x,b)，又0故x1<(>)2x0-x2,1210020102所以x二<(>)x,即函数极大(小)值点x右(左)偏.200结论(2)证明赂。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法方法概述：求出函数f(x)的极值点；构造一兀差函数F(x)=f(x+x)一f(x-x)00确定函数F(x)的单调性；结合F(0)=0,判断F(x)的符号,从而确定f(x0-x),f(x0+x)的大小关系。抽化模型答题模版：若巳知函数f(x)满足f(x)=f(x),x为f(x)的极值点，求证：x+x<2x120120

讨论函数f⑴的单调性并求出f⑴的极值点X0假设此处f(X)在(—8,X。)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增。构造F(x)=f(X+x)一f(X-x)；00注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=f(x)一f(2x-X)0通过求导F'(x)谈论F(X)的单调性，判断处F(X)在某段区间上的正负，并得出f(X+x)与f(X0-X)的大小关系；假设此处F(X)在(0,+8)上单调递增，那么我们便可以得出F(x)>F(0)=f(x)-f(x)=0，从而得到:x>X时,f(x+x)>f(X-x)TOC\o"1-5"\h\z(4)不妨激XVXVX，通过f(x)的单调性，f(X)=f(X),f(X+X)与f(X-x)的大小关

1021200系得出结论；(X2接上述情况：由于X>X时，f(X+X)>f(X-x)且XVXVX，f(X)=f(X)故00010212-x)>f[x-(x-x)]=f(2x-x)，又因为

0」020(X2f(X)在(-8,X)上单调递减，从而得到XV2X-X，从而X+XV2X得证；102120x+X、_本］注咨乂+xipx+x(5)有要址明f，(122)V0还指进一步讨论fyf与X0的大小，得出122所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为X+XV2X故X±4VX，由于f(X)在(-8,X)上单调递减，120200故f'(二)V02说明：此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(X)的单调性、极值点，证明f(X0+x)与f(X0-x)或f(x)与f(2X0-x)的大水关系；若试题难度较大，则直接给出形如X+xV2X或者牛VX的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问12020分解为二间逐步解题。三、例(-)不含参数的的极值点偏移问题«1：(2010XXa21)已知函敏小)=¥心景)(1)求函")的单调区间和版值;(2)若x,且/(x)=/(%),求证：x+x>2121212解答：【法-1(1)f3=(1一,/'(X)=O,x=1；(-oo,l)僧(1,+00)减极大值/(!)=-e(2)g(jc)=f(l+x)-f(l-jc)=(1+x)e-(i+i)-(1一x)e-i+r,g\x)=xex-i-e-(i+x)g'(x)=0,x=0；(-oo,0)减；(0,+oo)增x>0时，g(x)>g(0)=0BP/(1+x)>/(I-x)X,不妨设X<X,由(1)知1<1,1>1,TOC\o"1-5"\h\z21212)=/Fi+G_i)]>fh-3-i)]=/(2-x)*12L2J22x>1,/.2-x<1,/(%)在(-00,1)上僧,2':■:x>2-x,BPx+x>2,1212【虹】Mfl%+%>2,艮|1证x>2-x1221由法一知0Vx<1,x>1,故2-x>1又因为f(x)在(1,+8)上是单调递减的，只需证f(x2)<f(2-xi),又因为f(%)=f(x2)，故也即证f(%)<f(2—I】),构造函数h(x)=f(x)—f(2—x),xe(0,1)由h'(x)=广(x)—广(2—x)=1—x(1一e2x—2)exh(x)在(0,1)上单调递增，h(x)<h(1)=0故原不等式x1+x2>2成立【法三】由f(x「=f(x2)得,xe-x.=xe—x2,化简得ex2—x1=二①1不妨设x>x，由法一知0<x<1<x，令t=x—x，则t>0x=t+x21122121代入①得：et=4，反解出：x—，则x+x=2x+1=^+1x1et一1121et一11故要证x1+x2>2即证-2-+1>2，又因为et—1>0,等价于证明I：2t+(t-2)(et—1)>0②构造函数g(t)=2t+(t-2)。一]Xt>0)，则g'(t)=(t—1)et+1,g"(t)=tet>0故g'(t)在(0,+8)上单调递增，g'(t)>g'(0)=0从而g(t)在(0,+8)上单调递增，g(t)>g(0)=0【法四】由f(x「=f(x2)得，xe-x.=xe—x2,化简得ex2—x1=二①，1两边同时取以e为底的对数：得x-x=ln笔=lnx-lnx,1x12+1从而x+x+)Inx-Inx=x+x血x=从而x+x12x一xx一xxxx21211—一11x

1令t=土(t>1)，则欲证x+x>2等价于证明土lnt>2②，气12t—1

构造g(t)=(*+-I"="+」>i),t—[t—1yg0)=fg0)=f2—1—2tIntrG-l)2又令/?(0=r2-l-2rlnrG>l)ih\t)=2t-(21nt+l)=2(t-l-lnd，由于t-l>lnt对Vre(l,+00)恒成立，fih\t)>Q,h(t)在(1,+co)上单调递增，h(t)>/z(l)=0,g'(0>0对Vre(1,+co)'HAZ,g。)在(l,+8)上单调递增，g(f)>g(l)由洛必达法则知:limg(0=limG+1)lnr==limf1H+也卜2r->lf->lt—\—i\t—lz\t)fllg(0>2,质证③式成立，也即原不等式成立«2：(2013文21)/⑴=1z±y，1+X2(1)求函数的单调区间；(2)证明:当f(x)=/(x)3Ix)时,x+x<0'121212含参数的极值点偏移问含参教的极值点偏移间题，在原有的两个变元气％基础上，有多了一个参教，故思路很自然的就会想到：想尽-切亦法消去参教，从而转化成不含参教的问题去解决，成者以参教为媒介，构造出一个变元的新的函教。例1巳知函教f(X)=x_aex有两个不同的零点x,x，求证：x+x>2TOC\o"1-5"\h\z1212例2.巳知函教f(x)=lnx—ax,a为常教，若函教f(x)有两个不同的零点『，求证：x-x>e2例3:巳知x,x是函教f(x)=ex-ax的两个零点，且xVx1212求证：xi+x2>2x-xV1例4：巳知函教f(x)=x一eax(a>0)，若存在x,x(xVx),使f(x)=f(x)=0,求证:121212x—iVaex2变式训练：设函教f(x)=ex-ax+a(aeR)的图像与x轴交于A(气,0),B(x2,0)(气Vx2)两点，证明：f0*匚)V0求证：xxVx+x1212设函教f(x)=aInx-bx2,其图像在点P(2,f(2))处切线的斜率为-3,当。=2时，令g(x)=f(x)-kx,设x,x(xVx)是方程g(x)=0的两个根，x是x,x的等差中1212012

项，求证：丁3)<00已知函数f(x)—alnx(asR)x若a—2,求函数f(x)在(1,°2)上的零点个数；若f(x)有两零点x,x(xVx),求证：2vx+xV3ea-i-1121212巳知函数f(x)——x2+(1-a)x-aInx2讨论f(x)的单调性；设a>0，证明:0VxVa时，f(a+x)Vf(a-x)含对数式的极值点偏移问题根据f(x)-f(x)建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，12利用对数平均不等式链求解。(a邳)lna—lnb(a邳)lna—lnb，a(a-b)两个整数.和b的对数平均定义：L(a,b)—\对数平均与算术平均、几何平均的大水关系:例1：已知函数f(x)—lnx-ax2+(2-a)x(1)讨论f(x)的单调性;⑵设a>0，证明：当0vxv1时，f&+x)>f(L-x)；aaa(3)若函数＞-f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：广(％)V0含指数式的极值点偏移问题指数不等式：伽-en()在对数平均的定义中，设1=em,b=en，则E(a,b)=<m-n〃，根据对数平均em(m=n)不等式有如下关系：e甘<E(a,b)<史竺2例1(全国1卷2016理21)巳知函数f⑴=3-2)ex+a(x-1)2