高数期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知()2,[(1,且()0,则().fxexfxxxx答案：x)解：()21,ux),ux).fueux22x22、已知为常数,lim(1,则.aaxx答案：111x11b2解：0limlim(xxa)1a.xx2xxxxf3x)fx)3、已知f2,则.xx0答案：4[f3x)f][fx)f]解：4xx04、函数f(x)(xx2)(xx4)的拐点数为答案：2.解：f(x)有3个零点,,:1234,123123()有2个零点:14,fx1211223())(),显然()符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.fxfxxx12xx5、.22答案：xxCxsinsinxxsinxx22x解：xxC.xsinx222222二、选择题(每小题3分,共15分)答案：1、2、3、4、5、。1、设f(x)为偶函数,(x)为奇函数,且f[(x有意义,则f[(x是(A)偶函数；(B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)可能奇函数也可能偶函数.答案：A1cosx,xx0.2、x0是函数()fxx2的(A)跳跃间断点；(C)振荡间断点；(B)连续点；(D)可去间断点.答案：D3、若函数f(x)在x处不可导，则下列说法正确的是0(A)f(x)在x处一定不连续；0(B)f(x)在x处一定不可微；0(C)f(x)在x处的左极限与右极限必有一个不存在；0(D)f(x)在x处的左导数与右导数必有一个不存在.0答案：B4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A)()()；RQCQ(B)()()；RQCQ(C)()()；RQCQ(D)()().RQCQ答案：D5、若函数f(x)存在原函数,下列错误的等式是：d(A)f(x)f(x)；(B)f(x)dxf(x)；(C)df(x)dxf(x)dx；(D)df(x)f(x)C.答案：B三、计算题(每小题6分,共60分)1、设f(x2x24xx,求f(x2).答案：f(x2x24xx4解：令tx2,则ft)2(t2)24(t2)t2448t2t24t2,(3分)t24tt于是f(x2(x2)2(x2244x42x24xx4.(6分)4x24x2、计算n1n).n答案：11解：limcos(n1n)limcos(3分)(6分)n1nnn1.0limcosncos11101n11nnnn3、求极限().1n2nnn222n答案：1n2nnnn2解：由于()nnn1(3分)，nn1n2n22222n21n21而11,,11n2nn1211nnnnnn2nnn所以()1.(6分)1n2nnn222nx)24、求极限lim.xxx0答案：12xx)x)221x22sinxcosx解：limlimcoslimlim(4分)(6分)xsecxcosxsinx2x0x0x0x01xlimlim1.x)cosxsinx2x0x015、求函数的导数.yxx11111答案：()yxxxx2xxx1解：((2分)yexx1111111111esinlnx()ln]xsin().(6分)xxxxxx2xxx2xxx6、求曲线ln21在点处的法线方程.xyyx答案：20xyy解：方程两边对求导得：ln20,yxyxy1将(,)代入得法线斜率xy1,(3分)ky从而法线方程为：y11(x,即：20.xy(6分)17、求曲线1的凹凸区间和拐点.yxx432答案：曲线在区间(,0]和)是凹的,在区间是凸的．4拐点为(,)．3解：(1)()(,),fxC(2)()23,()666(,fxfxxxx3x2x2x4(3)()0,得0,1.(0)1,．(3分)fxx1x2ff3(4)列表如下：()x01f(x)4(5)曲线的拐点为(、)．3(6)曲线在区间(,0]和)是凹的,在区间是凸的．(6分)dx8、计算．x)x3答案：6x6arctanxC俞诗秋66dxdx(x)(x)]tdt5t6x解：(3分)x)xt)233662t3xt6t)1dtdt6dt626．1t21t2t6arctantC6x6arctanxC．(6分)669、计算ex2．41答案：e(2x2x)Cx2sin2xdx1121212解：cos2cos2excos2xdx(3分)exedxxexx1111e2xed2xe2xe2xe2,xxxxx2424441cos2xdxe(sin2xcos2x)C．(6分)exx10210、设某商品的需求函数为5,其中,分别表示需求量和价格,试求PQQP当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案：1当总收益达到最大时,价格上涨1%,需求则相应减少1%.俞诗秋,解：总收益函数为()RPP5)5,2PPP令R(P)P0,得P3,而R50,可见,当P10时,总收益达到最大.(3分)(5分)PdQQdP5P此时需求弹性1,1005PP10P10说明,当总收益达到最大时,价格上涨1%,需求则相应减少1%.(6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程1在区间内有且只有一个实根.x证明：显然()1,由于(0)10,fxx10,Cffe由零点定理知,(..()0,即e1；stf(3分)(5分)又因()(0,(,知(),fxxexfxx所以方程1在区间内有且只有一个实根.x2()在闭区间连续,在开区间2)可导,且(2)8,证明在2)内fxff必存在