专题50双曲线教学案-2017年高考数学理一轮复习解析版

F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫a，ca>0，c>0：a<cPa＝cPa>cP 图性x≥ax∈R，y≤－ay＝y＝ a，b，c高频考点一 Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝1，则该双曲线的标准方程 (2)设椭圆C1的离心率为5，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为

【答案】(1)4－y C．1或 B．5＋4 【解析】(1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝117，但应注意双曲线的右顶点到右c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.【答案】 高频考点二 】 A.5

(准方程 【答案】 规律方法待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后 方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为a2－b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可 P(－3，27)Q(－6高频考点三 于点B，若→＝→，则此双曲线的离心率为 A. B. D.

(2)(2015·山东)xOyC1：a2－b2＝1(a>0，b>0)C2：x

(2)OAOB

＝x b ＝x由

x2＝2p

∴x＝a，y＝a2

a，a2

a2

2pba∵△OAB a2－2

∴a

C1ee2＝a2＝a23 【感悟提升】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)中，离ek＝

利用b2＝c2－a2

【变式探究】(1)(2015·重庆)设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过 1

± ± D．±(2)(2015·)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( a>b时，e1<e2a<ba>b时，e1>e2a<b【答案】 b b时，有a>a＋e1>e2b<a时，有a<a＋e1<e2. 高频考点四 例4、 )过双曲线x－3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 4A.

B．2 D．4【答案】 (2)E：a2－y＝1(a>0)的离心率等于2y＝kx－1EA，Bk②若|AB|＝63C是双曲线上一点，且

→＋

k，m解①由a

E得Δ＝2k2－41－k2×－2即－2<k<

1<k<k的取值范围是{k|1<k<②由(*)x1＋x2＝2k，x1x2＝2 ∴|AB|＝ x1＋x2 2＝2又1<k< ＝2

x1＋x2＝4C(x3，y3)，由

→＋→得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4C∴80m2－64m2＝1m＝

k＝2【感悟提升】(1)xy0Δ来判定．CF1(－2,0)，F2(2，0)CPF1，F2的距离差2.M(2,1)lCA，BMABl因为 1－22＋22＝5，所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝5＋2，故|DF1|＋|DG|的最小值为【20161

m2n

y y3m2n的取值范围是 （A）1,

（C）0,

（D）0,3【答案】 【20162F1F2Ea2

1的左，右焦点，点MEMF1轴垂直sinMF2

1,则E的离心率为 33322【答案】

2

22

a,MF22aa，因为sinMF2F132 1，化简得ba，故双曲线离心率e2

.2a a1a1a

+y2=1(m>1)与双曲线

A．m>n且 B．m>n且 C．m<n且 D．m<n且【答案】2【2016高 24

（b>0 2（A）24

4

=1（B）242

43

242

y2

242

【答案】 x2y2

x b2【解析】根据对称性，不妨设AA(xyyb

b

y 2

b2xy b212b24 x2y2

1

（a＞0，b＞0AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率 【答案】b2b a

，|BC|2c 2AB3BCc2a2b2得离心率e2或e1（舍去E2【2016年高 理数】双曲线x2y21（a

b

所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a 【答案】OABCAOB45OAyxab2又由题意OB ，∴a2a2(22)2，a2．故填2x2y2 【答案】

1的焦距

a27,b23,c2a2b27310,c

10,2c

． 【2016高考理数

若l2F1AB设b 3，若l的斜率存在，且(F1AF1B)AB0，求l的斜率（1）y

2x（2）155因为l与双曲线交于两点，所以k230，且361k20．ΑΒΜxΜ,yΜ．1由(F1AF1BAB0F1ΜΑΒ0，知F1ΜΑΒ，故kFΜk1x

2k

11

22

k2

，

kxΜ2

k2

，kF

2k232k2

k1k23，故l的斜率为15 2【20153E:29

y211

3

等于（ 【答案】

PF1

2a6，即3

6

9 【2015高 ，理5】过双曲线x 3A，B

43

2

3 （D）33【答案】3 【答案】 【201515M（x0y0）是双曲线C2焦点，若MF1MF20，则y0的取值范围是

3（A（-33

（B（- 333 33322（（22

（D（ 2222【答案】【2015高考，理8】将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ 对任意的a,b，e1 B．当ab时，e1e2；当ab时，e1C．对任意的a,b，e1 D．当ab时，e1e2；当ab时，e1(a(am)2(b1(bmaa21(baa21(ba

，e2

a bbmabbmabamm(ba)m0a0b0 a a(a a(a b b所以当ab时，0 1，0 1，

b2bm)2，所以

e a

a (a

a b b当ab时，1 1，而 ，所

b2bm)2，所以

e a

a

(a a 所以当abe1e2；当abe1e2x2y2 a2B,CB,CAC，ABD.Da2

A、(1

B、(C、

2,

D、(

(2,(0,【答案】(0,【2015高 ，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是

x

y4

x1

y 1【答案】

y2x4x

0y2x【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ 532 532【答案】

，，

1(a0,b

，ABBM

ABM

MMNxNRtBMN

a，MN

3aM的坐标为M(2a,3a入双曲线方程得a2b2a2c2，即c22a2，所以e

29.【2015高考，理10】已知双曲

1a0的一条渐近线为3xy0，则a 333x2y210【2015高考湖南，理13】设F是双曲线C： 1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率 【答案】55F(c,0，短轴端点为(0b)，从而可知点(c,2b5c24b2

1ec∴

x2【201592

y1的焦距 3【答案】 ，y3

2xa2a2233a

2，b1，c

，∴焦距为2c ybxa

2x2【2015高 ，理9】已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨分别为双曲线C1和C2．若C1yy32

3x，则C2的渐近线方程 2【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点。若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 222【解析】设P(x,y),(x1)，因为直线xy10平行于渐近线xy0，所以点P到直线xy10的距 于直线xy10与渐近线xy0之间距离因此c的最大值为直线xy10与渐近线xy

2122121（2014·

4A.

2B.

【答案】心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得r2－2rr＋r2.4c2＝r2＋r2－rrrr

1

1 1

11

3

即e2＋e2＝4.所以 不等式得e＋e

＝e

×e

≤e2＋e21＋3＝3 14

2 所以e＋e≤3. 2（2014· 卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与4－x＝1具有相同渐近线，则C的方程 近线方程 【答案】3

C的方程为4－x＝λ，将(2，2)代入得4－2＝－3＝λC的方程为3 令4－x＝0y＝±23（2014· 2 2 C. D.【答案】 4（2014·福建卷）已知双曲线E：a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为1-6，Oll1，l2A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB8.lEE的方程；1-Ey＝2x，y＝－2x，所以c＝Ee＝a＝5. lxE4－16＝1

由 得 ，同理得 由

－y|

— m 2m— 由

得4Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．m2＝4(k2－4)，Δ＝0lE lEE的方程为4lxly＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)k>2由

得—因为4－k2<0，Δ>0，所以 — 又因为△OAB 所以2|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8 所以5x1＋y1·x2＋y2＝8

2＝4，即 由(1)E的方程为由

得4－k2<0lEΔ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0a2＝4， E的方程为4

l⊥x轴时，由△OAB8l：x＝2l：x＝2E4－16＝1 2lEE的方程为42 5（2014·

＝1与曲线

—9＝1的 A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【答案】

6（2014· 31-x＋x＝m(y＋y

mPQ

m方程为 mx，即m＝－my＝－2m

由

得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0

2，从而|PQ|＝2 2x2

设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以 .因为点(x＋21x222<022·22·又因为|y1－y2|＝22·

，所以 22·22·2APBQ

＝22· 0<2－m2≤2m＝0时，S

7（2014·1-C

y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线

P

：a2

则|NF|2 0＋ 4＋ 3·3y2＋3（x P(x0，y0)C

4

2 2代入上式得|NF|2＝3·x2－3＋3（x

2－12x

＝3，所以|NF|

＝33 38（2014·新课标卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线 A. C. 【答案】|＝x＋my＝0.a2＝3m，b2＝3c＝3m＋3，双曲线的右焦点坐标为|＝ 9（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为a2＋b2＝1，双曲线C2的方程为a2－b2＝1，C1C2的心率之积为2，则C2的渐近线方程为 A.x± D.【答案】 10（2014· 卷）已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一 5

【答案】y＝

2

＋10，∴c＝5.又∵a＋b＝c，∴a＝5，b＝20，∴双曲线的方程为5 11（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 ..2 12（2014·4＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝9ab，则该双曲线的离心率为 4 【答案】c c相减得 1＋31＋35 (( 22

C. 【答案】【解析】b2＝aca2－c2＝ac

5－1 1

1

1＝a1a

b2＝acc2－a2＝ac

5＋1 2

2

2＝ a22a2

A.2

2

3，C.2 D.2C.23，＋ 3，＋【答案】已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 m解析C的标准方程为3m3＝1(m>0)y＝±mx，即my＝±x＝F(3m＋3，0)x－＝