高数上-ch2-5函数微分

11x

ln

aa1

x2(arctan

x)

1

x21(arcsin

x)

(log

x)

(C

)

0(sin

x)

cos

x(tan

x)

sec2

x(sec

x)

sec

x

tan

x(ax

)

ax

ln

a基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式)(arccot

x)

11

x211

x2x(arccos

x)

(ln

x)

1(

x

)

x

1(cos

x)

sin

x(cot

x)

csc2

x(csc

x)

csc

x

cot

x(e

x

)

e

x复习

1

(

n)(1)n

n!xn1

(

x1

)(

n)

x

1

(

n1)(ln

x)(

n)

x

(

x

)(n)

(

1)(

n

1)x

n(n

1)(n)(n)(cos

x)

cos(x

2(sin

x)

sin(x

n

)2n

)1(

n)

x

k

②

(Cu)(n)

Cu(n)高阶导数基本公式：高阶导数运算规则：①

(u

v)(n)

u(n)

v(n)n

1(1)n

n!(

x

k

)[ln(

x

k)](n)

(1)n1(n

1)!(

x

k)nxnn1

(1)

(n

1)!n(n

)Cu

vk

(n

k

) (k

)nk

0(u

v

)

③=dx x

'(t

)d2

ydx求2dx

dx

d

dy

y

y

(t

)x

'(t

)dy

dtdxdxdt若x

x(t

)一阶可导，

则dx

dy

d

dx

dtd

dy

dx

y

'(t

)

g

dx

dt

x

'(ty

'(t

)x

'(t

)x注：默认若x

x(t

)二阶可导，y

y

(t

)y

'(

x)

y

dy

y

'(t

)参数方程确定的函数的高阶导数的求法dy第五节

函数的微分第二章一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的求法五、微分形式的不变性六、微分的几何意义七、近似计算一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.0S

x20x0x设边长由x

变到x

x,0S

x

2

,S

(

x

x)2

x20

0xx(x)2x0

xx

x00

0∵正方形的面积

2

x

x

(x)2

.0(1)

(2):

△x的线性函数,且为△S的主要部分.:当x

0时,x的高阶无穷小,当x

很小时可忽略.例解(1)(2)求函数y

x3

当x

2,

x

0.02时的增量.0y

(2

0.02)3

23

3

22

(0.02)

3

2

(0.02)2

(0.02)3

0.24

0.0024

0.000008

0.242408当x

很小时,

(2)是x的高阶无穷小o(x),y

3x2

x既容易计算又是较好的近似值0

322

(0.02)

0.24问题:是否所有函数的增量y都可以表示成x的线性函数Ax（A不依赖于x）与x的高阶无穷小（o

x）这两部分的和？可以的话，线性函数部分的A又如何求？二、微分(differential

)的定义定义设函数y

f(x)在u(x0

,)内有定义,x0

x

u(x0

,),如果y

f(x0

x)

f(x0

)

A

x

o(x)成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y

f(x)

在点

x0

可微, 并且称

A

x

为函数y

f(x)

在点

x0

相应于自变量增量

x

的微分,记作

dy

xx

或

df

xx

,

即dy

xx

A

x

.0

0

0由定义知:dyA

x

y

1

o(x)

1(x

0).(4)A是与x无关的常数,但与f

(x)和x0有关;(5)当x

很小且f

(x0

)

0时,y

dydy是自变量的改变量x

的线性函数;y

dy

o(x)是比x高阶的无穷小;(x

0).当A

0时,dy与微分dy叫做函数增量y的线性主部.(线性主部).(微分的实质)0dy

x

x

AΔx三、可微的条件数

f

(

x)在点x0处可导,

且

A

f

(

x0

).函数f

(x)在点x0可微的充要条件是函定理即可导

可微.0dy

x

x

AΔx

f

(

x0

)Δx函数

y

f

(

x)在任意点x的微分,

称为函数的微分,

记作dy或df

(

x),

即dy

f

(

x)x.例：求y=x的微分通常把自变量x

的增量x

称为自变量的微分,记作dx

,

即dx

x.

dy

f

(

x)dx.dxdy

f

(

x).函数的微分

dy与自变量的微分

dx之商等于该函数的导数

.

导数也叫“微商”.数

f

(

x)在点x0处可导,

且

A

f

(

x0

).函数f

(x)在点x0可微的充要条件是函定理证(1)必要性

f

(x)在点x0可微,y

A

x

o(x),

y

A

o(x)

,x

xxx

0x

0

x则lim

y

A

lim

o(x)

A.即函数

f

(

x)在点

x0可导,

且A

f

(

x0

).0x即y

f

(

x

)

,0(2)充分性函数f

(x)在点x

可导,0

lim

y

f

(

x

),x

0

xx0其中lim

0,从而

y

f

(

x0

)

x

(x)

f

(

x0

)

x

o(x),函数

f

(

x)在点x0可微,

且

f

(

x0

)

A.可导

可微.

A

f

(

x0

).0即

dy

f

(

x

)x

.x

x

0设

f

(

x)

在

x0

可微

,

f

(

x0

)＝2

,

y

、dy

、x

分别表示函数的增量、微分及自变量的增量

,

问：x

0时

,

y

,

dy,

y

dy

分别是

x

（ ）无穷小？A.高阶B.低阶C.同阶D.等价思考题四、微分的求法dy

f

(

x)dx求法:先计算函数的导数,

再乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式d(C

)

0d(sin

x)

cos

xdxd(tan

x)

sec2

xdxd(sec

x)

sec

x

tan

xdxd(

x

)

x

1dxd(cos

x)

sin

xdxd(cot

x)

csc2

xdxd(csc

x)

csc

x

cot

xdxadx11dx11dxx

ln

a11

x2dx

d(arccot

x)

1

x2d(arctan

x)

1

x2xdx

d(arccos

x)

1

x2d(arcsin

x)

d(ln

x)

1

dxd(log

x)

d(ex

)

e

xdxd(ax

)

ax

ln

adx2.函数和、差、积、商的微分法则v

2

v

d

u

vdu

udvd(u

v)

du

dv

d(Cu)

Cdud(uv)

vdu

udv例1

在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.练习：dx

,xln

x2(3)

d( )

(2)

d(3(1)

d(

1

x3

C

)

x2dx

.1

sint

C

)

costdt

(

0)

.(C为任意常数)(C为任意常数)说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.2ln

x2dx,(C为任意常数)xd((ln

|

x

|)

C)

五、一阶微分形式的不变性(复合函数求微分)设函数y

f

(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可以表示成dy

f

(u)du例2解设y

sin(2x

1),求dy.

y

sin

u,

u

2

x

1.dy

cos

udu

cos(2

x

1)d(2

x

1)

cos(2

x

1)

2dx

2cos(2

x

1)dx.例3解设y

eax

sin

bx,求dy.dy=d(eax

)

sin

bx

eax

d(sin

bx)

eaxd(ax)

sin

bx

eax

cos

bxd(bx)

eax

(a)dx

sin

bx

eax

cosbx

bdx

eax

(a

sin

bx

bcosbx)dx.解例4

在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.d(sin

x2

)

(

)d(

x

).dx2

x1d(sin

x2

) 2

x

cos

x2dx(2)

d(

x

)2

4

x x

cos

x

,d(sin

x2

)

(4

x x

cos

x2

)d(

x

).思考：设y

f

(u)可微,求函数

y

f

(arcsin

x

)的微分.说明：另如隐函数求微分和复杂函数求微分等可借助先求导后乘以dx方法解决。六、微分的几何意义y

f

(

x)x0

M

NTxyo）x几何意义:(如图)对应的增量.当y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标x0

xP当x

很小时,

在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN

.Rf

(

x0

)

0,思考:设f(x)在x=x0处可微，且0则当|△x|很小时，f

(

x0

x)

f

(

x0

)

fo(x)dy

yf

(

x0f

(

x0A七、近似计算

dy

x

x0y

x

x0

f

(

x0

)

x.近似计算的基本公式当x

很小时,且f

(x0

)

0f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

)

(

x

x0

),f(x)在

x=x0

处的一次近似式或线性

近当x

0时,0使用原则:1)f

(

x)

f

(0)

f

(0)

x.f

(x0

),

f

(x0

)好算;2)

x

与x0

靠近.例1求arctan

1.03

的近似值.当x

很小时,且f

(x0

)

0f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

)

(

x

x0

),或f

(

x0

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

)

x(

117页的五个近似公式)例2

证明：当|x|很小时,

(1

x)a

1

ax

.在x0

0

附近八、小结可导

可微.★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题

导数的概念函数的增量问题

微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:课后思考题一求方程所确定的隐函数的微分dy(

x

y)2

(2x

y)3

11.设函数的图形如下,试在图中标出的点dy

0x0

xx0xoy

0x0处的dy

,

y

及

y

dy

,并说明其正负.y

dy

0y思考二de

x2.

d(arctan

e

x

)

11

e2

xdx

.

e

x1

e2

x.3.dsin

xdtan

x

sec3

x4.)

sin

2

x

d

x

.2d

(

1

cos

2

x

C补充说明：1、微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题

导数的概念函数的增量问题

微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.2、导数与微分的区别:函数

f

(

x)

在点

x0

处的导数是一个定数

f

(

x0

)

,而微分dy

f

(

x0

)(

x

x0

)

是

x

的线性函数,它的定义域是

R

,

实际上它在x

x0

时是无穷小.

lim

dy

lim

f

(

x0

)(

x

x0

)

0.x

x0

x

x0从几何意义上来看

,

f

(

x0

)

是曲线

y

f

(

x)

在点(

x0

,

f

(

x0

))

处切线的斜率

,

而微分

dy

f

(

x0

)(

x

x0

)是曲线

y

f

(

x)

在点(

x0

,

f

(

x0

))

处的切线方程在点

x0

的纵坐标增量

.3、因为一元函数

y

f

(

x)在x0

的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？解

说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.28、d

(arctan

)

，de

x

.练习题一、填空题：1、已知函数

f

(

x)

x

2

在点x

处的自变量的增量为0.2，对应的函数增量的线性全部是dy

=0.8，那么自变量x

的始值为

.2、微分的几何意义是

.3、若y

f

(

x)是可微函数，则当x

0

时，y

d