苏教八年级上册全等三角形全章复习与巩固(提高)

(圆满word版)苏教版八年级上册全等三角形全章复习与牢固(提升)(圆满word版)苏教版八年级上册全等三角形全章复习与牢固(提升)(圆满word版)苏教版八年级上册全等三角形全章复习与牢固(提升).全等三角形全章复习与牢固〔提升〕【学习目标】认识全等三角形的见解和性质，能够正确地鉴识全等三角形中的对应元素；2．研究三角形全等的判断方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的均分线，认识角的均分线的性质，能利用三角形全等证明角的均分线的性质，会利用角的均分线的性质进行证明.【知识网络】【重点梳理】【全等三角形单元复习，知识重点】重点一、全等三角形的判断与性质一般三角形直角三角形边角边〔SAS〕两直角边对应相等角边角〔ASA〕判断一边一锐角对应相等角角边〔AAS〕斜边、直角边定理〔HL〕边边边〔SSS〕性质对应边相等，对应角相等〔其余对应元素也相等，如对应边上的高相等〕备注判断三角形全等必然有一组对应边相等重点二、全等三角形的证明思路找夹角SAS两边找直角HL找另一边SSS边为角的对边找任一角AAS找夹角的另一边SAS一边一角边为角的邻边找夹边的另一角ASA找边的对角AAS找夹边ASA两角找任一边AAS重点三、角均分线的性质角的均分线的性质定理角的均分线上的点到这个角的两边的距离相等...角的均分线的判判断理角的内部到角的两边距离相等的点在角的均分线上.三角形的角均分线三角形角均分线交于一点，且到三边的距离相等.与角均分线有关的协助线在角两边截取相等的线段，结构全等三角形；在角的均分线上取一点向角的两边作垂线段.重点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是由于全等三角形是研究特别三角形、四边形、相像图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角有关问题的一个出发点.运用全等三角形，能够证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线地点关系等常有的几何问题.能够适合总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角均分线的性质证明角均分线上的点到角两边的距离相等.等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角均分线的判断进行证明.(4)同角〔等角〕的余角〔补角〕相等.对顶角相等.3．证明两条线段的地点关系〔平行、垂直〕的方法：可经过证明两个三角形全等，获得对应角相等，再利用平行线的判断或垂直定义证明.4．协助线的增添:作公共边可结构全等三角形；倍长中线法；作以角均分线为对称轴的翻折变换全等三角形；利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.证明三角形全等的思想方法:1〕直接利用全等三角形判断和证明两条线段或两个角相等，需要我们矫捷、迅速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.〔2〕假如要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，那么应依据图形的其余性质或先证明其余的两个三角形全等以补足条件.〔3〕假如现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置协助线，使之出现全等三角形，经过结构出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】种类一、巧引协助线结构全等三角形(1)．倍长中线法1、，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论...AEFBDC【思路点拨】由于D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转变到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE＋CF＞EF；证明：延伸FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中EDEDEDGEDFDGDF∴△EDG≌△EDF〔SAS〕∴EG＝EF在△FDC与△GDB中CDBD2DFDG∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【总结升华】有中点的时候作协助线可考虑倍长中线法〔或倍长过中点的线段〕.贯串交融：【变式】：以以下列图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延伸CE至F使EF＝CE，连结BF．∵EC为中线，..∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，

AEBE,AECBEF,CEEF,∴△AEC≌△BEF〔SAS〕．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．〔全等三角形对应边、角相等〕又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，AB＝BD．即BF＝BD．BFBD,在△FCB与△DCB中，FBCDBC,BCBC,∴△FCB≌△DCB〔SAS〕．CF＝CD．即CD＝2CE．．作以角均分线为对称轴的翻折变换结构全等三角形2、：以以下列图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．【答案与解析】证明：在AB上截取AE＝AC．AEAC(已作)，在△AED与△ACD中，12( )，ADAD(公用边)，∴△AED≌△ACD〔SAS〕．ED＝CD．∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，2∠B＝∠B＋∠EDB．∠B＝∠EDB．BE＝ED．即BE＝CD．AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，联合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变为了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从..而把AB＝AC＋CD转变为证两线段相等的问题．贯串交融：【变式】如图，AD是ABC的角均分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.求证：∠B与∠AHD互补；假定∠B＋2∠DGA＝180°，请研究线段AG与线段AH、HD之间知足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：〔1〕在AB上取一点M,使得AM＝AH,连结DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,C∴∠AHD＋∠B＝180.HD即∠B与∠AHD互补.〔2〕由〔1〕∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,AMGB∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3〕.利用截长(或补短)法作结构全等三角形3、以以下列图，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的均分线，M是AD上随意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】由于AB＞AC，因此可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，假如连结EM，在△BME中，明显有MB－ME＜BE．这说明只需证明ME＝MC，那么结论建立．【答案与解析】..证明：由于AB＞AC，那么在AB上截取AE＝AC，连结ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形两边之差小于第三边〕．在△AMC和△AME中，ACAE(所作)，CAMEAM(角均分线的定义)，AMAM(公共边)，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．MC＝ME〔全等三角形的对应边相等〕．又∵BE＝AB－AE，BE＝AB－AC，MB－MC＜AB－AC．【总结升华】充分利用角均分线的对称性，截长补短是重点.贯串交融：【变式】如图，AD是△ABC的角均分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC【答案】证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE∵AD是△ABC的角均分线，∴∠BAD＝∠CADA在△AED与△ACD中AEACBADCADEADAD∴△AED≌△ADC〔SAS〕∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC〔4〕.在角的均分线上取一点向角的两边作垂线段

BDC4、以以下列图，E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．..【思路点拨】四边形ABCD为正方形，那么∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的均分线，按常例过角均分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角均分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．依据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．进而把证AF＝AD＋CF转变为证两条线段相等的问题．【答案与解析】证明：作ME⊥AF于M，连结EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，AE为∠FAD的均分线，ME＝DE．AEAE(公用边)，在Rt△AME与Rt△ADE中，DEME(已证)，Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．ME＝EC．MECE(已证)，在Rt△EMF与Rt△ECF中，EFEF(公用边)，Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，AF＝AD＋FC(等量代换)．【总结升华】与角均分线有关的协助线：在角两边截取相等的线段，结构全等三角形；在角的均分线上取一点向角的两边作垂线段.5、以以下列图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延伸线于E，AE1BD，求证：BD是∠ABC的均分线．2..【答案与解析】证明：延伸AE和BC，交于点F，AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC〔对顶角相等〕，∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．因此Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA〕．那么AF=BD〔全等三角形对应边相等〕．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，那么Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS〕．因此∠ABE=∠FBE〔全等三角形对应角相等〕，即BD是∠ABC的均分线．【总结升华】假如由题目没法直接获得三角形全等，不如试着增添协助线结构出三角形全等的条件，使问题得以解决．平常练习中多累积一些协助线的增添方法.种类二、全等三角形动向型问题【高清讲堂：379111直角三角形全等的判断，牢固练习5】6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过极点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.1〕如图1当直线l不与底边AB订交时，求证：EF＝AE＋BF.2〕将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB订交于点D，请你研究直线l在以下地点时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：〔1〕∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°..∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中，AECCFB3ACBC∴△ACE≌△CBF〔AAS〕AE＝CF，CE＝BFEF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。〔2〕①EF＝AE－BF，原因以下：AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中AECCFB3ACBC∴△ACE≌△CBF〔AAS〕AE＝CF，CE＝BFEF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BFEF＝BF―AE证明同①.【总结升华】解决动向几何问题时要擅长抓住以下几点：变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；本来的线段之间、角之间的地点与数目关系能否还存在是解题的重点；几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模拟与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.贯串交融：【变式】：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右边作正方形ADEF．1〕当点D在线段BC上时〔与点B不重合〕，如图