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二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第五节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限

第一章1一、函数极限与数列极限的关系1.函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动目录上页下页返回结束2定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使机动目录上页下页返回结束3例1.证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束4二、极限存在准则机动目录上页下页返回结束准则II：函数极限存在的夹逼准则定理2.且1.夹逼准则准则I：数列极限存在的夹逼准则5例2.证明证:利用夹逼准则.且由机动目录上页下页返回结束62.单调有界数列必有极限(证明略)机动目录上页下页返回结束7例3.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有机动目录上页下页返回结束8大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束9根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又10*3.柯西极限存在准则(柯西收敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束11三、两个重要极限注目录上页下页返回结束例4.求例5.

求例6.求说明:计算中注意利用例7.求12证:当时,设则机动目录上页下页返回结束13当则从而有故说明:(1)时,令机动目录上页下页返回结束(2)14例8.求解:

令则机动目录上页下页返回结束例9.求解:

原式=15例10.求解:

机动目录上页下页返回结束例11.求解：说明：对于任何整数k，总有16例12.求解:

机动目录上页下页返回结束说明：利用来计算极限时，常遇到形如的函数，称幂指函数。如果17例13.确定c，使解:由于机动目录上页下页返回结束所以，2c=ln4,c=ln2.18例14.设机动目录上页下页返回结束证明存在，并求此极限值。解：因又所以，数列{xn}单调有界.因此，极限存在.假设xn为单增数列19第七节目录上页下页返回结束令极限则有舍去负值，所以20的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则机动目录上页下页返回结束212.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束22思考与练习填空题

(1～4)第七节目录上页下页返回结束23第七节目录上页下页返回结束平方关系：和差角公式：三角函数公式：24第七节目录上页下页返回结束和差化积公式：25第七节目录上

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