二阶常系数非齐次线性微分方程课件

对应齐次方程通解结构常见类型有难点：如何求特解？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程

和定理3对应齐次方程通解结构常见类型有1设非齐方程特解为代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想设非齐方程特解为代入原方程一、型代入原2特解特解特解特解3综上讨论综上讨论4例1求微分方程的一个特解.解：所对应的齐次方程为其特征方程为特征根为由于不是特征方程的根，例1求微分方程的一个特解.解：所对应的齐次方程为其特征方程为5设特解为代入方程得比较系数得原方程特解为一次多项式设特解为代入方程得比较系数得原方程特解为一次多项式6二次多项式例2.求微分方程的通解.对应齐次方程的通解为λ=0是特征方程的单根，非齐次方程的特解为二次多项式例2.求微分方程的通解.对应齐次方程的通解为λ7方程的通解为：代入方程得方程的特解为：方程的通解为：代入方程得方程的特解为：8解：特征方程对应齐次方程通解特征根例3解：特征方程对应齐次方程通解特征根例39代入方程,得原方程通解为原方程的特解为代入方程,得原方程通解为原方程的特解为10方程（2）的特解为：（证略）二、型方程（2）的特解为：（证略）二、11例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程为

r2+1=0,其根为r1,2=i,对应齐次线性方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.因iω=2i不是特征方程的根,

k=0，=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解设为：例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特12代入原方程，整理得比较两端同类项的系数，得解之得：求得一个特解为方程的通解为代入原方程，整理得比较两端同类项的系数，得解之得：求得一个特13例5.

设连续函数f(x)满足方程上式整理得：解：将方程写为两边对x

求导得：再求导得：例5.设连续函数f(x)满足方程上式整理得：解：将方14设y=f(x),问题可转化为求解初值问题：特征方程r2+1=0

的根为

r1,2=i，对应齐次线性方程通解为设y=f(x),问题可转化为求解初值问题：特征方程15而iω

=i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).设非齐次方程特解为于是而iω=i是特征方程的根，代入原方程后解得：16故原方程的通解为将初始条件代入上式，得从而即，所求函数为：故原方程的通解为将初始条件代入上式，得从而即，所求函数为：17(待定系数法)三、小结(待定系数法)三、小结18P348习题7-8:6P348习题7-8:619

P347习题7-8

1.(8)；2.(3).

布置作业P347习题7-81.(8)；2.(320P304------习题7-27.小船从河边0出发驶向对岸…….解：设小船的航行路线C：0xvyh水流P304------习题7-27.小船从河边0出发驶向对岸…21二阶常系数非齐次线性微分方程课件22P315------习题7-41.求下列微分方程的通解：P311公式（5）P315------习题7-41.求下列微分方程的通解：P323二阶常系数非齐次线性微分方程课件242.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：25二阶常系数非齐次线性微分方程课件26对应齐次方程通解结构常见类型有难点：如何求特解？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程

和定理3对应齐次方程通解结构常见类型有27设非齐方程特解为代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想设非齐方程特解为代入原方程一、型代入原28特解特解特解特解29综上讨论综上讨论30例1求微分方程的一个特解.解：所对应的齐次方程为其特征方程为特征根为由于不是特征方程的根，例1求微分方程的一个特解.解：所对应的齐次方程为其特征方程为31设特解为代入方程得比较系数得原方程特解为一次多项式设特解为代入方程得比较系数得原方程特解为一次多项式32二次多项式例2.求微分方程的通解.对应齐次方程的通解为λ=0是特征方程的单根，非齐次方程的特解为二次多项式例2.求微分方程的通解.对应齐次方程的通解为λ33方程的通解为：代入方程得方程的特解为：方程的通解为：代入方程得方程的特解为：34解：特征方程对应齐次方程通解特征根例3解：特征方程对应齐次方程通解特征根例335代入方程,得原方程通解为原方程的特解为代入方程,得原方程通解为原方程的特解为36方程（2）的特解为：（证略）二、型方程（2）的特解为：（证略）二、37例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程为

r2+1=0,其根为r1,2=i,对应齐次线性方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.因iω=2i不是特征方程的根,

k=0，=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解设为：例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特38代入原方程，整理得比较两端同类项的系数，得解之得：求得一个特解为方程的通解为代入原方程，整理得比较两端同类项的系数，得解之得：求得一个特39例5.

设连续函数f(x)满足方程上式整理得：解：将方程写为两边对x

求导得：再求导得：例5.设连续函数f(x)满足方程上式整理得：解：将方40设y=f(x),问题可转化为求解初值问题：特征方程r2+1=0

的根为

r1,2=i，对应齐次线性方程通解为设y=f(x),问题可转化为求解初值问题：特征方程41而iω

=i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).设非齐次方程特解为于是而iω=i是特征方程的根，代入原方程后解得：42故原方程的通解为将初始条件代入上式，得从而即，所求函数为：故原方程的通解为将初始条件代入上式，得从而即，所求函数为：43(待定系数法)三、小结(待定系数法)三、小结44P348习题7-8:6P348习题7-8:645

P347习题7-8

1.(8)；2.(3).

布置作业P347习题7-81.(8)；2.(346P304------习题7-27.小船从河边0出发驶向对岸…….解：设小船的航行路线C：0xvyh水流P304------习题7-27.小船从河边0出