专题一 阿基米德三角形的性质

(完整版)专题一阿基米德三角形的性质(完整版)专题一阿基米德三角形的性质(完整版)专题一阿基米德三角形的性质(完整版)专题一阿基米德三角形的性质阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形积的 .阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为称弦AB为阿基米德三角形的底,M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点则另一顶点Q的轨迹为 性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹 。性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过点 。性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。性质6若阿基米德三角形的底边过焦则顶点Q的轨迹为抛物线的 且阿基米德三角形的面的最小值为 .性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。8B重合I作抛物线切线交QB的垂心在上。性质9|AF|·|BF|=｜QF｜2.性质10QM的中点P在抛物线,且P处的切线与AB 。性质11在性质8连接、则△ABI的面积是△QST面积的 倍.高考题中的阿基米德三角形高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y x2的焦点为动点P在直线l:x y 2 0上运动过P作抛物线C的两条切线、且与抛物线C分别相切于B两.yFBAxOP(1）求△APByFBAxOP（2）证明∠PFA=∠PFB。

l-1-解:（1）B坐标分别为(xx20

,x2)((xx)x)，0yx200APyx2000yx210BPyx210xxxx021,yPxx01PxPyyy013Pxyyy013Px20x13xx014xy0x13xx012P3p,yG所以yp

2G

P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：((2) 2即y 123x2).（2）方法1:因为FA

,x2 1),FP

x x 1(0 1,xx ),FB

1,x2 ).0 0 4

2 01

1 1 4由于P点在抛物线外，则|FP| 0.∴cos AFP

FPFA

x x0 1 x2 0

(xx01

1)(x2 1)4 0 4

xx 101 4,|FP||FA

|FP| x0

12 0 4

|FP|同理有cos BFP

FPFB

x x0 1 x2 1

(xx01

1)(x2 1)4 1 4

xx 101 4,|FP||FB

|FP| x

12

|FP|1 1 4∴∠AFP=∠PFB。2：①当x1

0

,由于

1

x不妨设0

0

0,则y

0

0,P

x(1,2

，则P点到直线AF的距离为：|x|x1 BFy214x2114xx,1xy4 1140.1即21|211)|211)xx42141|211)|x|1|x12211)42)214 2x2 11 4214x20x014014x20x01400),2014x014x0,0②当xx10

0AF的方程：y-2-

的方程：yPAF的距离为：|

1)(x

x14x21x114x21x114(x00),2114xy114x0,1

1x

x x 1|)0 12 |x x||)0d 0 4 20120

0 1 4 01)2 x2014 001

2 0 4x2 10 4

02 1 ，P点到直线BF的距离d

|x x |d=d2 2 1 22（200621题)已知抛物线B错误错误!（＞0．过、B(Ⅰ）错误错误为定值；（Ⅱ)设△ABM的面积为的表达式，并求S的最小值．解:（Ⅰ）(0，1，0．设由错误错误即得 错误!将①式两边平方并把错误错误代入得 解②、③式得错误且有抛物线方程为错误求导得错误B两点的切线方程分别是y＝错误!x1(x－x1)＋y1，y＝错误!x2(x－x2)＋y2，即y＝错误!x1x－错误!x12,y＝错误!x2x－错误!x22．解出两条切线的交点M的坐标为错误错误＝（错误，－1． ……4分所以错误错误错误错误错误错误所以错误错误为定值，其值为0． ……7分（Ⅱ)由（Ⅰ）知在△ABM，因而错误|FM|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!．-3-因为、分别等于、B到抛物线准线

(完整版)专题一阿基米德三角形的性质错误错误错误于是 错误错误错误由，λ＋错误且当S4．例3(2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C任作一直线，与抛物线y x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y c交于P,Q，（1）若OAOB 2,求c的值（5分）（2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理由。（4分）解:（1）设过C点的直线为y kx c ,所以x2 kx cc 0 ，即x2 kx c 0 ，设OAAx,y ,Bx,y , =x,y ，OBOA1 1 2 2 1 1

x,y ，因为OAOB 2,所以2 2xx yy12 12

2,即xx12

kx c kx1 2

c 2，xx12

k2xx12

kcx x1 2

c2 2所以 c kkck c2

2 ，即c2 c 2

0, 所以

c 2舍c 1（2设过Q的切线为y

y k x x y/1 1 1

k1

， 即111y

x 2 y

2xx

x2 ，它与y c

的交点为 Mx

c, c 1 1 1x x y yP 1 2,1 22 2

1k,k22 2

1c，所以Qk, c，因xx2 12

c,所

2 1c xx 21

，所以x1M x2, c k, cMQQA为此抛x1

物线的切线。2 2 2（3（2）（2）可知

k, c,因为PQ2

x轴，所以P

k,y2 P12因为x x122

kPAB的中点。24(200822x2抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列;

2py(p 0)为直线y 2p上任意一点过M引-4-(完整版)专题一阿基米德三角形的性质(完整版)专题一阿基米德三角形的性质（Ⅱ)已知当M点的坐标为2p)时，AB 410．求此时抛物线的方;（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2 2py(p 0)上,其中，点C满足OC OA

OB(O为坐标原点．若存在，求出所有适合题意的点Mx，1 ，x，1 ，Bx，2 ，xx2x212px，2p)．22p120x，p由x2 2py得y x2,得yx，p2p所以k

xxp2．1，xp2．2pxp2pxp2x)．0因此直线MA的方程为y 2p

x1xx22x222p2pxp2x)．②2 0

)，直线MB的方程为yxx212p2px1x),①p 1 0由①、②因此x x10

xxx122xx1 2x，0x ，即x x．1 2x x．1 22所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．2时，(Ⅱ)解:由（Ⅰ）知，当2时，0将其代入①、②并整理得：x24x4p2 0,x24x4p2 0，1122所以x，x1

是方程x2

4x 4p2

0的两根，x24,x24,xx124p2，1x2 x22 1又k 2p 2pAB x x2 1

x x x1 2 2p p

，所以k2．2．p1 k2 1 k2 x24xx1214p216 16p2．11或p2，又AB4101或p2，4y．因此所求抛物线方程为x2 或x4y．-5-（Ⅲ）解：设D

)，由题意得C

x，y

y)，

(完整版)专题一阿基米德三角形的性质3 3 1 2 1 2x x则CD的中点坐标为Q 1 2

xy y y32 3，2 2设直线AB的方程为yy

x0x)，1 p 1x由点Q在直线AB上，并注意到点1

xy2，1

y2 也在直线AB上,代入得y

x0x．2 2 3 p3若Dy3

)在抛物线上,则x23

2py3

2xx，032x2因此x

0或x x．即D(0或Dx，0 ．3 3 0 0 p（1）当x0

0时，则x x 1 2 0

0，此时，点M2p)适合题意．x2 x2(2）当x 0，对于D(0，此时Cx，1 2 ，0 0 2p k

x2 x21 22p

x2 x21 2，4pxCD 00x xx2 x2

x2 x2又k 0，AB CD，所以k k

0 1 2 1 2 1，AB p

CD p 4px0

4p2即x2 x21 2

4p2,矛盾．2x2

x2 x2对于D，0 ，因为C，1 2 ,此时直线CD平行于y轴，0 p 0 2px又k 0

0,所以直线AB与直线C