圆锥曲线重要结论

圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段 (长为2b)1．已知动点P在椭圆x2y21上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试43求点G的轨迹方程.2．已知动点 P在双曲线 x2 y2 1上，F1,F2为双曲线之左右焦点， 圆G是△F1PF2的内4 3切圆，探究圆G是否过定点，并证明之 .性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

1 1 2|AF1| |BF1| ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB在同支时112112|AF1||BF1|epAB在异支时||BF1|||AF1|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

1 1 2|AF| |BF| ep3.已知椭圆 x2 y2 1，F为椭圆之左焦点，过点 F的直线交椭圆于 A，B两点，是否存在4 3实常数 ，使AB FA?FB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数112e2|AB||CD|2ep双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数11|2e2||AB||CD|2ep抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数112e2|AB||CD|2ep4．已知椭圆x2y211l1,l2AB的直线分别交椭圆于两43，F为椭圆之左焦点，过点F，点和C，D两点，且l1l2，是否存在实常数，使ABCDAB?CD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5．已知椭圆x2y21，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，84设直线AB与y轴于点M，MAAF1,MBBF1,试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即AF1F1BAF2F2C1e22e2定值16．已知方向向量为e(1,3)的直线l过点A(0,23)和椭圆C:x2y21(ab0)a2b2的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：OB?e0,ABAO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点 F1,F2的弦分别为 ES,ET,设EF1FS,EF22F2T，求12的值.11圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点 N（t,0）的一条弦端点与对应点 a,0的连t线所成角被对称轴平分。x2y2，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线1.已知椭圆1l分别交椭圆于A，B两点，841问是否在x轴上存在一点P，使得斜率kPAkPB0.2.已知双曲线x2y21，过N(t,0)点的直线l1交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上31存在一点P，使得斜率 kPA kPB 0.3.抛物线y24x，直线l过点P(t,0)并交抛物线于A,B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A，B，P’(-t,0)三点共线。性质二：过圆锥曲线上一定点作倾角互补的两直线与曲线的另两交点的连线的倾角为定值4. 过点P(1,2)作抛物线 y2 4x的直线PA、PB，且斜率kPB+kPA 0.1）探究直线AB的斜率是否为定值.2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值.性质三：椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值KPAKPBb2a2双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值KPAKPBb2a2椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值b2KPAKPBa2双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值b2KPAKPB2a5.已知椭圆x2y21的动弦AB的中点为M，试研究斜率kABkOM是否为定值（O为原点）。846.已知定点A(3,0),B(3,0)，动点P满足，直线PA，PB的斜率kPA?kPB1，试探求点2P的轨迹.7．已知椭圆x2y21ab0的离心率为3，且过点3,1。a2b222（1）求椭圆 C的方徎;（2）设椭圆的左右顶点分别为 A、B，点S是椭圆上位于 x轴上方的动点，直线 AS，BS与34直线L: x 分别交于 M，N两点，求线段 MN长度的最小值。15（法1：设直线AS：x=my-2,得点S纵坐标与m的关系，同理设BS：x=ny+2得点S纵坐标与n的关系，进而易得mn=-4，成为MN最值分析的条件。法2，直接使用上述结果可得斜率之积为定值KPAKPBb2=-1/4，或转为直接证明之2a得关健条件，后面过程相同，简化了运算。）性质四：椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值KPOKLb2a2双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值KPOb2KLa27.已知点P为椭圆x2y21上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率kOPk是否为84定值（O为原点）。性质五：在圆锥曲线焦点所在轴上必存在一定点， 它与焦点弦端点所张的向量数量积为定值，且该定值为c21e2e4,此时的定点坐标为c3e2,0，抛物线时定点为原42点。8.已知椭圆x2y21，直线过焦点F(1,0)交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使43PAPB为定值.2 29.已知椭圆 x y 1，直线过点Q(1,0)交椭圆于A、B两点，是否存在一定点 P使QAQB4 1为定值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲下性质一：以圆锥曲线上一定点为顶点作直角三角形，则斜边所在直线必过定点。1.抛物线y2 x上一点P(1,1)，A,B是抛物线上两动点，且 PA?PB 0，问直线 AB是否过定点定点坐标是什么性质二：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆。2.若直角三角形ABO的直角顶点O在椭圆x2y21的中心，OA，OB交椭圆于A,B两点，a2b2求证：点 O在斜边上的射影 H的轨迹是圆。23.椭圆x y2 1，直线l交椭圆于 P,Q两点，若OP?OQ 0,试求直线l在y轴上截2距的取值范围。4.(2009山东卷理)设椭圆E：x2y21过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原a2b2点，（I）求椭圆 E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且OAOB若存在，写出该圆的方程，并求||AB的取值范围，若不存在说明理由。5.（2009x2y21(a0,b0)的离心率为3，右准线方程北京理）已知双曲线C:2b2a3为x3（Ⅰ）求双曲线 C的方程；（Ⅱ）设直线

l是圆

O:x2

y2

2上动点

P(x0,y0)(x0y0

0)处的切线，

l

与双曲线

C交于不同的两点

A,B

，证明

AOB的大小为定值。性质三：椭圆x2y21中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭圆a2b2共顶点的双曲线x2y2x2y21中垂直于长轴的弦的端点对实轴顶点的a2b21双曲线b2a2x2y21.连线的交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆2b2a6.已知椭圆x2y21的动弦MN垂直交x轴于点P(x0,0)，椭圆的长轴端点分别为84B1,B2，试探求直线 B1N与B2M交点的轨迹.性质四： 椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差数列。 （推广：xx2y21于两点A，B，则在直线xa2轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆b2t上a2任一点对弦AB端点及定点的连线的斜