微积分-7.二重积分计算二

二重积分在极坐标系下的计算7.8

二重积分的计算(二)21:57:32复习f

(

x,

y)dxdy

21y

(

x

)b y

(

x

)f

(

x,

y)dydxa1x2

(

y

)x

(

y

)f

(

x,

y)dxydydcD或［X－型］［Y－型］:57:32xx

x2

(

y)1x

x

(

y

)dcyxaby

y2

(

x

)y

y1

(

x)(一)二重积分在直角坐标系下的计算7.8.2

二重积分的计算例计算e(x2

y2

)dxdy,其中D

:x2

y2

a2

.xyo解eDdxdy(

x

y

)D2

2dxaa2

x2

a

x2

2e(

x

y

)dy2

2aDe

dxdy(

x

y

)2

2dya

2

y2

a

y2

2e(

x

y

)dx2

2aa7.8.2

二重积分的计算复习(一)二重积分在直角坐标系下的计算(二)二重积分在极坐标系下的计算21:57:32二重积分在极坐标系下的计算7.8

二重积分的计算(二)极轴Xx轴r极坐标(r,

)xy极点O原点O极坐标(r,

)与直角坐标(x,y)变换公式如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，则平面上任意一点的极坐标(r,

)与直角坐标(x,y)之间的变换公式为21:57:32

x

r

cos

y

r

sin

θ（二）二重积分在极坐标下的计算oD把区域D分成n个小区域，在直角坐标系下

f

(

x,

y)d

f

(

x,

y)dxdyDD在极坐标系下

f

(x,y)d

f

(r

cosθ,r

sin

θ)dσD极坐标系下的面积微元dσ如何表示?设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点，

函数f

(

x,

y)在D上连续.

在极坐标系下，用以极点O为中心的一族同心圆,以及从极点出发的一族射线,D（二）二重积分在极坐标下的计算21:57:32ADr

r

rr

r

1

(r

r)2

1

r

2

212(r

)2

2

rr

设

为其中一个典型小闭区域(

同时也表示该小闭区域的面积),它由半径分别为r和极角分别为和则2当r充分小时,略去高阶无穷小量1

(r

)2

,

得

r

r

,故面积微元为

d

rdrd

,

o这样二重积分在极坐标系下的表达式为

f

(

x,

y)dσ

f

(r

cosθ,

r

sin

θ)

rdrd21D:57:33D（二）二重积分在极坐标下的计算（二）二重积分在极坐标下的计算二重积分在极坐标系下的表达式为

f

(

x,

y)dσ

f

(r

cosθ,

r

sin

θ)

rdrdD如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算DDD直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式

f

(

x,

y)dxdy

f

(r

cosθ,

r

sin

θ)rdrdθ.21:57:33要解决两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算（二）二重积分在极坐标下的计算21:57:33

f

(

x,

y)dxdyD

f

(r

cosθ,

r

sin

θ)rdrdθ.D极坐标系下化二重积分为二次积分21D:57:33f

(r

cosθ,

r

sinθ)rdrdθor2

(θ)r1

(θ)βαxoxr

r(θ)αDβf

(r

cosθ,

r

sinθ)rdr.2dθβ

r

(θ

)α

r1

(θ

)f

(r

cosθ,

r

sinθ)rdr.0αdθβ

r

(θ

)(1)若极点O在区域

D

之外D

:α

θ

β,r1

(θ)

r

r2

(θ),则有

f

(r

cosθ,

r

sinθ)rdrdθD(2)极点O在区域D的边界线上D

:α

θ

β

0

r

r(θ),则有（只研究先对r后对θ的积分次序）

型区域下面根据极点O与区域D的位置分三种情况Dθ(3)若极点O在区域D的D:

0

θ

2π,

0

r

r(θ).

f

(r

cosθ,

r

sinθ)rdrdθD则有r

r(

)xof

(r

cosθ,

r

sinθ)rdr.0

0dθ2π

r

(θ

)Do12r

r

(θ)特殊地r

r

(θ)Df

(r

cosθ,

r

sinθ)rdr.02

dθ2π

r

(θ)r1

(θ)Df

(r

cosθ,

r

sinθ)rdrdθxD

:r1

(θ)

r

r2

(θ),0

θ

2π,且极坐标系下化二重积分为二次积分21:57:33利用极坐标计算二重积分积分特征如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等利用极坐标常能简化计算.要点与步骤:x或被积函数为f

(x2+y2)、f

(y

),y21:57:33f

(x

)等形式，用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算;画区域图,列出型区域,写成极坐标下的二次积分.（二）二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标下的计算例1

写出积分

f

(x,y)dxdy的极坐标二次积分D形式，其中积分区域D

{(

x,

y)

| 1

x

y

1

x2

,

0

x

1}.x2

y2

1x

y

1

y

r

sin

x

r

cos解在极坐标系下直线方程为r

f

(

x,

y)dxdyD20d1

1

sin

cosf

(r

cos

,

r

sin

)rdr.

所以圆方程为r

1,121:57:33sin

cos,极坐标下二重积分计算的基本步骤(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.①将x

r

cosθ,y

r

sinθ代入被积函数,将面积元素dxdy

换为rdrd

,则

f

(

x,

y)dxdy

f

(r

cosθ,

r

sinθ)rdrdθ.D

D②将区域D

的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.计算二次积分.21:57:33例2

计算

e(x

2

y2

)dxdy,其中

D

:x2

y2

a2

.解

0

r

a故D

e(

x

2

y2

)dxdy

e

r

2

rdrdθ在极坐标系下D

:0

θ

2π

,D2π2

π(1

ea

).2注：由于

e

x

的原函数不是初等函数

,故本题无法用直角坐标计算.xyo00dθD2π

a2re

rdrdθ21:57:33a002e

12r（二）二重积分在极坐标下的计算1

x2

y2DD

(r,

)

|

0

r

1,0

2

r

11

r

2

I

Drdrd1

r

21020rdrd2rr111

2r1

r

r2

)dx

2rg(r

)dr一般地,

f

(

)g(r

)rdrd

f

(xy例3

计算I

dxdy

,

D

:

x

2

y2

1.解

2

.021:57:33

2π

(

1

r

2

)

1（二）二重积分在极坐标下的计算

y2Dx2x2

y2

)dxdy,例4

计算二重积分

sin(其中积分区域为D

{(

x,

y)

|

1

x2

y2

4}.Dx2

y2x2

y2

)dxdysin(2120sinrdr

4.D

{(r,

)

|

1

r

2,0

2

}rd

sin(r)

rdrdDr

r

121:57:332解（二）二重积分在极坐标下的计算例5

计算二重积分其中区域D为由x=0及

x2+y2=2y

围成的第一象限内的区域.x2

y2

dxdyD解

D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式r

2sinθ,

此时D可以表示为20

θ

π

,

x2

y2

dxdy

r

rdrd

r

2dr

π20032sinθr

dθ

13π203sin

θdθ83π2023

8(1

cos

θ)dcosθπ

0

23

38

1cos3

θ

cosθ

0

r

2sinθyxo2sinθ0Ddθπ20916

.DDy

dxdy22002

y

y2x2

y2

dxdy21:57:33

x2

（二）二重积分在极坐标下的计算解3261

θ

π

(

x2

y2

)dxdy

D64

sin

2

sin

3

d

3).2r

2

rdr

15(3

x

0

θ

πx

3

y

0y

x2

y2

2

y

r

2sinθx2

y2

4

y

r

4sin故例6

计算(x2

y2

)dxdy，其中D由圆x2

y2

2

y,x2

y2

4

y,xD

3

y

0,y

3x

0所围成的平面区域.21:57:33（二）二重积分在极坐标下的计算一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有

x2项时,x yy

x当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，通常选择在直角坐标系下计算.二重积分计算过程2

y

,选择坐标系选择积分次序下的计算方法往往比较简便.,

采用极坐标系二重积分计算方法总结：二重积分可在两种坐选标取系适下当计的算坐标.系对计算二重积分的计算是至关重要的.确定积分限计算累次积分21:57:33例7

计算

x2

y2

1

d，其中D

[0,1;0,1].D1解

设D

{

(

x

,

y

)

x2

y2

1

}

D2D

{

(

x

,

y

)

x2

y2

1

}

D则D

D1

D2

,且D

D1D221:57:33

x2

y2

1

d

x2

y2

1

d

x2

y2

1

d

(

1

x2

y2

)d

(

x2

y2

1

)dD1用极坐标计算第一个二重积分：D2（二）二重积分在极坐标下的计算1D2

2(

1

x

y

)d

11

x102(x2

y2

-

1)dy

1220

0d

(

1

r

)rdr用极坐标计算第一个二重积分：πD

D1

D2

x2

y2

1

d

(

1

x2

y2

)d

(

x2

y2

1

)d8用直角坐标计算第二个二重积分：D28

(

x2

y2

1

)d

dx

13故

x2

y2

1

d

D

18

8

3

(

)

.21:57:33

14

3二.二重积分在极坐标系中的计算一.二重积分在直角坐标系中计算小结DD

f

(

x,

y)dxdy

f

(r

cosθ,

r

sin

θ)rdrdθ.Df

(

x,

y)dxdy2y1

(

x

)b y

(

x

)f

(

x,

y)dyadxf

(

x,

y)dx).(2d x

(

y

)c

x1(

y

)dy选择坐标系选择积分次序化为累次积分计算累次积分7.8

二重积分的计算21:57:3321:57:33小结作业：P312

39（1）（5）下次课内容习题课三、

区域上的广义二重积分基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原

区域时取极限求解.例8

求广义积分I

(正态分布）2e

dx.

x21:57:33解

因为被积函数为偶函数,所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。(正态分布）02e

dx.

x所以I

2又因为被积函数e的原函数不是初等函数,

x22e

dx.

x例8

求广义积分

I

二、二重积分在极坐标下的计算DH

e

x2

y2

dxdyD令其中D

{(x,y)|

x

0,y

0}

x02e

dx

220

0

y

x

2e

dy

(

e

dx)

421:57:332I2利用极坐标计算H，D

{(r,

)|

0

r

,0

}2

2H

e

dxdy

x

yD利用极坐标计算H，D

{(r,

)

|

0

r

,0

令2I

e

dx

x2020de

rdr

re

y

dxdy

x2

2所以

H

20D2

[12e

]

r

0d20124d

}2所求广义积分D-泊松积分e

x

2dx

.e

dx

x02

24I

22I

4I

x2e

dx

π

.2021:57:33oyD

r

a

cosa

x2

,2

0

r

a

cos解答D

:a

arccos

ra

arccos

r0f

(r,

)d

.aarccos

raraarccosI

dr

D

:

0

r

ar

r

arccos

θ

arccosa

a2a

cos2df

(r,

)dr(a

0).I

0思考题交换积分次序:21:57:33练习题一、

填空题:1.2将

f

(x,y)dxdy

,D

为xD标形式的二次积分,为

.将

f

(

x,

y)dxdy,

D

为0

y

1

x

,0

x

1,表D示为极坐标形式的二次积分为

.

y

2

2

x

,表示为极坐2.3.

将x221:57:33

y2

)dy

化为极坐标形式的二次02

3

xf

(xdx积分为

.4.

将x2100dxf

(x,y)dy

化为极坐标形式的二次积分为

.5.将12212

20dxxx(

x

y

)

dy化为极坐标形式的二次积分为

,其值为

.二、

计算下列二重积分:1.

ln(1

x2

y2

)d

,其中D

是由圆周x

2

y

2

1D及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2.

(x2

y2

)d

其中D

是由直线Dy

x

,y

x

a,y

a,y

3a(a

0)所围成的区域.R2

x2

y2

d

,其中D

是由圆周3.

Dx

2

y

2

Rx

所围成的区域.4.

x2D21:57:33

y2

2

d

,其中D:x

2

y

2

3.44三、试将对极坐标的二次积分2a

cosI

0d

f

(r

cos

,r

sin

)rdr

交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域D

是由螺线r

2

上一段弧(0

2

221:57:33

)与直线

所围成,它的面密度为

(x,y)

x

2

y

2

,求这薄片的质量.五、计算以xOy

面上的圆周x

2

y

2

ax

围成的闭区域为底，而以曲面z

x

2

y

2

为顶的曲顶柱体的体积.六、计算广义二重积分D

y2

)

p

(

x2

d

,其中D

{(x,y)|

x

2

y2

1}一、1.2cos202df

(r

cos

,

r

sin

)rdr

；2.200(cos

sin

)1ddf

(r

cos

,

r

sin

)rdr

；3.2sec3044f

(r

)rdr

；4.sec0sec

tanf

(r

cos

,

r

sin

)rdr

；5.2400dd1r

sincos

rdr

,

2

1.421:57:33二、1.

(2

ln

2

1)； 2.

14a4

；练习题答案43R33.

(

)；4..5242a4rdr3f

(r

cos

,

r

sin

)darccos

r0

2a2a2a

r2a

arccos三、I

rdrf

(r

cos

,

r

sin

)d

.四、405.4323五、

a

.六、p

1时收敛于p

121:57:33,p

1时发散例

8

求曲线

(

x2

y2

)2

2a2

(

x2

y2

)和x2

y2

a2

所围成的图形的面积.解根据对称性有D

4D1在极