高中数学等差数列2优质课课件

2.2等差数列第二课时2.2等差数列第二课时一.复习回顾：an-an-1=d(d是常数)数列{an}为等差数列an-an-1=d1.等差数列的定义2.等差数列的单调性当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；3.等差数列的通项公式一.复习回顾：an-an-1=d(d是常数)数列{an}4.等差数列的函数特性5.等差数列的图象4.等差数列的函数特性5.等差数列的图象6.等差中项

若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项6.等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;数列：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3例3（1）在等差数列{an}中，是否有√

（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？√在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.例3（1）在等差数列{an}中，是否有√（2）推广：an=am+(n－m)d

其实a9=a1+8d=a1+2d+(9-3)d例4.在等差数列｛an｝中,已知a3=10,a9=28,求d

。a9=a3+(9-3)d推广：an=am+(n－m)d其实a9=a1+8d解析：由等差数列的通项公式得等差数列的通项公式一般形式:

an=am+(n－m)d.

7.等差数列通项公式的推广：斜率公式解析：由等差数列的通项公式得等差数列的通项公式一般形式:a例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，例6.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为83，求此三个数.

则(a-d)+a+(a+d)=15

(a-d)2+a2+(a+d)2=83∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.解得a＝5，d＝±2.解：设此三个数分别为a-d，a，a+d，变：三个数组成递减的等差数列例6.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为83，求此三练习1、等差数列{an}的前三项和为12，前三项积为48，求an。三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：

a-3d，a-d，a+d，a+3d

公差为2d。练习1、等差数列{an}的前三项和为12，设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个数成等差数列，则可设为（3）若有五个数成等差数列，则可设为公差为d公差为2d公差为d设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个例7如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=1225例7如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数8.等差数列的性质：已知数列为等差数列，那么有性质1：若成等差数列，则

成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即成等差数列.如成等差数列，成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）8.等差数列的性质：已知数列为等差数列，那么有推广：已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m推广：已知一个等差数列的首项为a1，公差为dam+1，am+已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a3，a5，……已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd已知一个等差数列的首项为a1，公差为da7，a14，a21，已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为2d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。已知一个等差数列的首项为a1，公差为d例：例：性质2：设若则

证明：设首项为，则推论：在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和，等于首末两项的和，即特别地，p=q时，即注意：逆命题是不一定成立的；性质2：设若判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多√×√√×判断：可推广到三项，四项等√×√√×练习.在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知a2+a14=10，能求出a16吗？1015例3.在等差数列{an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值．不能(4)在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=（）234练习.在等差数列{an}中，1015例3.在等差数列{an若数列{an}是等差数列，公差为d，设c,k为常数，则{an+k}____等差数列，公差为______；则{c·an+k}____等差数列，公差为______.若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}____等差数列，公差为_____.(k是常数)若数列{an}与{bn}都为等差数列，公差分别为d1,d2，则{an+bn}_____等差数列,公差为_____;则{an-bn}_____等差数列,公差为_____，也是kd性质3.也是也是dcd性质4.性质5.{pan+qbn}_____等差数列,公差为_______.(p,q为常数)也是也是也是d1+d2d1-d2pd1+qd2若数列{an}是等差数列，公差为d，设c,k为常数，

2

.

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=-1,ap+q

=0性质6.2

.若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+例2(1)已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴(2)已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5例2(1)已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求(1)等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12=(2)已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

(3)已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，则a8=跟踪训练2-19(4)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或(1)等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4

-353.在等差数列{an}中

(1)

若a59=70，a80=112，求a101；

(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0本节练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3高中数学等差数列2优质课课件练习已知，求的值。解:练习已知五、小结1.定义：an-an-1=d（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)2.通项公式

an

=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d{an}为等差数列

3.等差数列的性质an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）

五、小结1.定义：an-an-1=d（n≥2）或2.通项4.d的计算方法5.判断等差数列的方法:4.d的计算方法5.判断等差数列的方法:课后作业：1.2.3.课后作业：1.2.3.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=40，求a1+a20(2)已知a3+a11=20，求a6+a7+a85.4.6.在等差数列{an}中(2)已知a3+a11=20，求a2.2等差数列第二课时2.2等差数列第二课时一.复习回顾：an-an-1=d(d是常数)数列{an}为等差数列an-an-1=d1.等差数列的定义2.等差数列的单调性当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；3.等差数列的通项公式一.复习回顾：an-an-1=d(d是常数)数列{an}4.等差数列的函数特性5.等差数列的图象4.等差数列的函数特性5.等差数列的图象6.等差中项

若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项6.等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;数列：1，3，5，7，9，11，13…5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3例3（1）在等差数列{an}中，是否有√

（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？√在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.例3（1）在等差数列{an}中，是否有√（2）推广：an=am+(n－m)d

其实a9=a1+8d=a1+2d+(9-3)d例4.在等差数列｛an｝中,已知a3=10,a9=28,求d

。a9=a3+(9-3)d推广：an=am+(n－m)d其实a9=a1+8d解析：由等差数列的通项公式得等差数列的通项公式一般形式:

an=am+(n－m)d.

7.等差数列通项公式的推广：斜率公式解析：由等差数列的通项公式得等差数列的通项公式一般形式:a例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。例5：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，例6.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为83，求此三个数.

则(a-d)+a+(a+d)=15

(a-d)2+a2+(a+d)2=83∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.解得a＝5，d＝±2.解：设此三个数分别为a-d，a，a+d，变：三个数组成递减的等差数列例6.已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为83，求此三练习1、等差数列{an}的前三项和为12，前三项积为48，求an。三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：

a-3d，a-d，a+d，a+3d

公差为2d。练习1、等差数列{an}的前三项和为12，设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个数成等差数列，则可设为（3）若有五个数成等差数列，则可设为公差为d公差为2d公差为d设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个例7如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=1225例7如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数8.等差数列的性质：已知数列为等差数列，那么有性质1：若成等差数列，则

成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即成等差数列.如成等差数列，成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）8.等差数列的性质：已知数列为等差数列，那么有推广：已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m推广：已知一个等差数列的首项为a1，公差为dam+1，am+已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a3，a5，……已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd已知一个等差数列的首项为a1，公差为da7，a14，a21，已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为2d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。已知一个等差数列的首项为a1，公差为d例：例：性质2：设若则

证明：设首项为，则推论：在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和，等于首末两项的和，即特别地，p=q时，即注意：逆命题是不一定成立的；性质2：设若判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多√×√√×判断：可推广到三项，四项等√×√√×练习.在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知a3+a11=10，求：a6+a7+a8(3)已知a2+a14=10，能求出a16吗？1015例3.在等差数列{an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值．不能(4)在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=（）234练习.在等差数列{an}中，1015例3.在等差数列{an若数列{an}是等差数列，公差为d，设c,k为常数，则{an+k}____等差数列，公差为______；则{c·an+k}____等差数列，公差为______.若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}____等差数列，公差为_____.(k是常数)若数列{an}与{bn}都为等差数列，公差分别为d1,d2，则{an+bn}_____等差数列,公差为_____;则{an-bn}_____等差数列,公差为_____，也是kd性质3.也是也是dcd性质4.性质5.{pan+qbn}_____等差数列,公差为_______.(p,q为常数)也是也是也是d1+d2d1-d2pd1+qd2若数列{an}是等差数列，公差为d，设c,k为常数，

2

.

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=-1,ap+q

=0性质6.2

.若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+例2(1)已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴(2)已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5例2(1)已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求(1)等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12=(2)已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

(3)已知等差数列{an}中，a3＋a5=－14,2a2＋a6=－15，则a