2016考研基础综合课程高等数学前6讲试听讲义

※基础篇第1讲函数、极限、连 § 函 § 极 § 连 第2讲导数与微 第3讲不定积 第4讲定积 第5讲变限积分与广义积 ※应用篇第6讲中值定 第7讲不等式的证 第8讲导数的应 第9讲定积分的应 第10讲微分方 § § § § ※提高篇第11讲多元函数微分 §11．1偏导数与全微 § 第12讲二重积 第13讲无穷级 § 常数项级 § § ※技术篇第14讲向量代数与空间解析几 第15讲三重积 第16讲曲线积 第17讲曲面积 第18讲场论初 ※基础篇1讲函数、极限§ 函函数的四个特性单调 f(x0f(xf(x0f(xf(x0f(xf(x)0f(x单调递减．若又有f(x00xx0f(x0f(x)f(x) xx,f(x)0f(x)f(x)f(x0)f(x)0 有界 f(xMMf(x函数有下界；f(x)M奇偶 f(x)f(xf(xf(x)f(xf(x为奇函数；例如f(x)ln(x1x2为奇函数，因为：1x2f(x)ln(x1x2) ln(x1x2)f1x2周期 f(xTf(x是以T

f(xT)f(x) f(t)dt函数的常见形式

f(t)dt f(t)dt 初等函 分段函 复合函 反函 隐函 参数方程函 极限函 几个重要的函数yyxyyyxyyylnysinxycosytanyarcsinxyarccosxyarctanx例 函数f(x)

(ex1)

(1x)ln(1x(1x)ln(1x 例 设F(x)f(x)，则下列结论正确的 § 极①数集{x|axb称为开区间，记作(ab②数集{x|axb称为闭区间，记作[a邻①x0为中心的任何开区间都称为x0的邻域②设为任意正数，则开区间(x0x0x0的邻域；区间(x0x0x0x0称x0的去心邻域；其中(x0x0x0的左邻域(x0x0x0的右邻域注：由于可以为任意正数，故当任意小时，总存在半径小之又小的邻域；可以感受到，这实际上是一个动态的、永无止境的、逐渐近x0点但不到达的过程．极限的概念及性质①x0或的某小之又小的去心邻域内，所有点的函数值都差不多相等的状态，称之为极限②左极限：从左侧趋近，limf(x；右极限：从右侧侧趋近x x

f(x) 0xx0f(x)Alimf(x)0xx0f(x)Alimf(x)x0xx0f(x)Alimf(x)x0Xxf(x)Alimf(x)Xxf(x)Alimf(x)Xxf(x)Alimf(x)nanAliman注：七个极限的概念都是在表述同一个过程：无限近【练习】若limaaa0，则当n充分大时有（a na aana

an

ana （D）ana两个特殊的极限：无穷小与无穷大xx

f(x)f(x)（区别无穷大 极限运算法则定理1：有限个无穷小的和也是无穷小．小．推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小．推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小．3：如果limf(xAlimg(x)B,lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB f limf 0，则 lim 1：如果limf(x存在，而c为常数，则lim[cf(xclimf(x．2：如果limf(xn为正整数，则lim[f(x)]nlimf5：如果(x(x，而lim(xalim(xbab6：（）yf[g(x是由函数ug(xyf(uf(g(x))x0limg(x)u0limf(uA,且存在00x x

f[g(x)]sin

f(u)A注意：①无穷小与有界函数的乘积为无穷小，如 0 例 求

ln(1ex1ln(1ex

．（抓大头1准则 例 设对任意的x总有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，则limf （A）存在且等于 极限 limsinx 1极限 lim(1x)xe（求1型函数极限1[(u xexe2x enxx例 求极限lim x0

lim[(u若lim(x)0lim(x)0:可记(xo[(x)](充分理解)1x21x31x41x2o(x2x0 ④lim(x1(x(x⑤常见等价无穷小：sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1cosx~1x2,xsinx~1x3,tanxx~1n1，ln(1x)~x,ex1~xn1

1x,ln(xn

x21)~f(x)~f(0)f(0)xln(1x)~xx~ln(1(1cosx)2x例 求极限求极限 x ln(12x3例 求极限x

[sinxsin(sinx)]sin．x洛必达法则 0

型极限的重要的方法，求其它未定式(0,

,000先 0

或后再用洛必达法则，如幂指型lim

limeln

limevlnuelim(vlnu)xx例 求极限lim0(xt)sintdtxxx0 sin(x0泰勒公式f(x)f(x)f

)(xx)f(x0)(xx)2f(n)(x0)(xx)n

f(n1)(

Rn(x)

(n

(xx0

，这里x0x之间的

f(0) f(n)(0) f(n1)(x)f(x)f(0)f(0)x

x

x (n

(0③重要函数展开式（x0ex1xx2

o(x2

ex1xx

x

o(xnsinxxx

sinxxx3x5

x

o(x36

1 o(x (2m1)! o(xcosx1x2 o(x2

cosx1x2x

x (1)m o(x2m)x x ln(1x)x o(x2 ln(1x)x

o(xn) (1x)1x (1x)1x(1)x2 ( (n1)xno(xntanxx1x3o(x3)求函数极限

arcsinxx1x3o(x36

arctanxx1x3o(x33①代入x的极限值，分析极限的0 1[(u lim[(u（2）1limuvlim[1u ，先通分，分母等价无穷小化简后转化为第(1)种情况000limuvlimelnuvlimevlnuelim(vlnuv

limln1v，转化为第(1)洛必达法则(2)两个重要极限(3)定理(4)定积分求极限(5)函数连续例 求极限

1sinx1xcosxtanxsin12cosx 例 求极限lim3 1x0x 例 若limsin6xxf

0，则lim6f

x x x (B) (C) 例 3x 1cosx1cosxcos2x3cos ncos xln(1tanxln(1tan2cos(1x)ex(1x)ex1 cos(1x)例 求lim e例 当x0，下列3个无穷

t2

131311tan 1sin1tan

0按后面一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（(A), (B), (C),, (D),,12x12例 求极限lim x0cosxex2sin例 limn2(arctana a

nxln(1t2例 已知函数F(x) ．设limF(x)limF(x)0，试求的取值范围 x0例 已知a0,bc bc，求a,b,c x 例

(1sin2x2)x2

(a0na求函数的渐近线limf(xxalimf(xbyblimy③xlim(f(x)kx)

例 曲线y

xx

x2x1(x1)(x2)

)条(A) (B) (C) (D)arctan例 求函数y(x1)e ※11．数列的极限注意：（1）有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序．判定数列{un}的单调性主要有三种方Ⅰ、计算un1un．若un1un0，则{un}单调递增；若un1un0，则{un}单调递减Ⅱ、计算un1un．若un1unf(unf(x0f(x0，确定{unⅢ、若un1f(unf(xf(x0，若u2u1，则{un}单调递增；若u2u1，则{un}单调递减．例 设0x01,xn1xn(2xn)，求证：{xn}收敛，并求limxn例 设x110,xn1 6xn(n1,2,)证明limxn存在，并求其解2n2n2n2n2n2n例272n2n1312n2n设x 1312n2n n定积分求极限limf[ak(ba)babfnk 1 k1特别 f(nk n

0fn ) )n ) ) 12nnnn2ln212（C）21ln(12

21ln2（D）2ln2(121例 求极限lim

n

nni1nij1n§ 连连续的定义（从函数极限的角度：定义域内任一点的函数极限存在且等于函数值：x

f(x)f(x0lim[f(x)f(x0)]0xlimyf(xyf(xo(xyf(x)xo(x,当x0时y0x0 判断函数的连续性与间断点的类型第一类间断点（x

f(x)x

f(x)f(x0x

f(x)x

f(x)

f(x)

f(x)；震荡间断点：如 ，在x0 震荡

x

xx 例 求limsintsintsinx txsinx

f(x例 (x21) 1f(x) x1 (x1)ln(ex1)15．闭区间上连续函数的性质（P70-①f(x在闭区间[abf(af(b异号（f(af(b0，那么在开区间(ab内至少有一点，使f(0f(aAf(bBAB之间的任意一个数C，在开区间(ab内至少有一点，使得f()C(ab．例 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)1

f(1)0,f(1)2试证：存在2

,1f(例32 设函数f(x)在区间[0,3]上连续，在(0,3)内可导，f(3)1,f(0)f(1)f(2)3．2讲导数与导数及单侧导数①设函数yfxx0的某邻域内有定义，自变量xx0处有增量xyfxxfxlimylimfx0xfx0 x0 数fx在x0处的导数（也称微商记作fx0，或

df，

x

x

x称函yfxx0处可导．如果上面的极限不存在，则称函yfx在点x0处不可xx0xxxx0f

limfxfx0 x

x0②fxlimfxfx0

fx0xfx00 x0

x

f

limfxfx0

fx0xfx0 0x0

x

fxx0处可导fxx0处左、右导数皆存在1f(x

f(xax)f(x

2f(xx0处连续，且

ex

1

f(0) x0ef(x)3f(xx0f(0)0，则

x2f(x)2f(x3 （（A）2f （B）f （C）f （D）arctanx,x4f(x

x2 x1,则f(x)在点x1 （（A）左右导数都存在 5f(x

x2en(x1)ax5en(

，求f(x)，并f(x)的连续性及可导性导数的几何意义、切线方程及法线方程①yfxx0fx0存在，则在几何上fx0yfx在点x0,fx0处的切线11f

x

f

③S与时间t的函数Sft，如ft0存在ft0物体在时刻t0时的瞬6f(xx12的周期函数，满足limln[f(x

yf(x)过点x1处的切线方程

cos2练习(数三)设某产品的需求函数为QQP,P的弹性p0.2 元R，则R P所以 QP Q(1 )Q(1 Q 将Q10000代入 dR8000函数的可导性与连续性之间的关系如果函yfxx0处可导fxx0处一定连续，反之不yfx在点x0处连续，却不一定在点x0处可导．yfxxx00微分的定义yfx在点x0处有增量x时，如果函数的增量yfx0xfx0有下面的表达式yAx0x0xx0，其Ax0为与x无关，0x是x0时比x高阶的无穷小．则称fxx0处可微，并把y中的主要线性部分Ax0x称为fxx0处的微分记以

x

或df x微分的几何意义yfx0xfx0是曲yfxx0处相应于自变量增量x的纵fx0增量，微分 是曲线yx

fxM0x0fx0处切线的纵坐微分的定义及可微、可导、连续的关系②yf(xx)f(x)Axo(x)yAo(x)Alimyf(x dy

x0 通常把自变量x的增量x称作自变量的微分，即dxdyAdxdyf

)dxdy

f(x0f(xx处可导f(xx处可微f(xx yf(xx0dyf(x0xf(x0yf(xx0处可导（可微，则ydyo(x或yf(x0)xo(x若又设在含有x0的某区间内存在二阶导数，则由带拉格朗日余项的泰勒公式，有ydy1f()(x)2，其中xxx 函数的求导cxxsinxcoscosxsintanxsec2

（实常数

dcdxx1dxdsinxcosdcosxsindtanxsec2

（实常数cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot

dcotxcsc2dsecxsecxtandcscxcscxcotlog

x xln

a0,a dlog

x

a0,alnxxaxaxlnaa0,a

dlnx1xdaxaxlnadxa0,adexex1x1xarcsinx 1x1x1xarccosx1x1xarctanx1x

darccosx darctanx 1x 1xarccotx 1x

darccotx x2ax2x2ax2alnxlnx

x2ax2ax2ax2a

dlnxdlnx

x2a2 x2a2 fxgxg2fxgg2

fxgfxgxfxgg g

fxgxfxg dfxgxdfxdfxgxgxdfxf gxg g yfx的反函xgy，两者皆可导fxgy

f

f

d f 二阶gy

dyff

ff

2例 设函数f(x) ，则yf(x)的反函数xf1(y)在y2

yyfuux，如果xx处可导，fu在对应点u处可导，则复合函数yfxx处可dydydufx du对应地dyfudufx由于公式dyfudu不管u是自变量或中间变量都成立．因此称为一阶微分形xtyt确定函yyx，其中t，t存在，且t0， t dy dyd2 tttt dx

dx

xln(1t2例 设yarctant，

dy

如果函yfx的导yfxx0处仍是可导的，则把yfxx0处的

处的二阶导数，记以

x

f

d2dxd2dx

fx点x0处二阶可 n n 如果yfx的n1阶导数的导数，称为yfx的n阶导数记以 ， x 3、莱布尼兹公式(uv)(n) k(nk)(knC nk 4、幂级数展开（泰勒公式）fx)

n

(x

)nf(n)(x)a9yx2e2xy(n)yyx是由方Fx,y0所确定y的方法如Fx,y0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允许出现y变量）例10曲线tan(xy)exy在点(0,0)处的切线方程 4yfxgx

yegxlnfx11yxarctanx方法：1fx0Afx0fx0A2limgxgxxx

x0limgxx3fx00,fx0存在，则fx)x0fx04gxxa处可导，(x)xag(x(x)xag(a)0g(a=0，则可导，且(g(xln(1x)x x

g'(a)(a)xx12fx)

2x0x0abcsinbx x 例13f(x)(ex1)x3x不可导点个数 （（A）0 （B）1 （C）2 （D）3方法F(x)

2(

f(t)dtF(x)f[(x)](xf[(x)](x( 1F(xxxf(t)dtF(x)xxf(t)dtxf(t)dtxf(x F(x)xf(xt)dt，则令uxtF(xxf(u)duF(xf(x x14设kF(xx

etedt

ekx 2x2sin例 设f(x)

dux0,f(0)x3讲不定积分基本概念与性质设函fxFx在区I上有定义，若Fxfx在区I上成立Fxfx在I上的原函数，fx在区间I中的全体原函数称为fx在区间I的不定积分，记以fxdx．其中 称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式设fxdxFxC，其中Fx为fx的一个原函数，C为任意常数．则（1）FxdxFxC 或dFxFxC（2）fxdxf 或kfxdxkffxgxdxfxdxfx在区I上连续，则fx在区I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数．例如sinx2dxcosx2dxsinxdxcosxdxdxex2dx等．被积 ln基本积分公式表：

x（1）kdxkxC（k为常数 （2）xdx1 (1) （3）xlnxC （4）1x2arctanxC 1 arcsinxC （6）cosdxsin 1（7）sinxdxcosxC （8）cos2xtanxC（9）sin2xcotxC （10）secxtanxdxsecxC （12）exdxexC axadxlnaCaaaa a2x2dxaarctanaC,a2x2dx2a arcsinx

a2a2 x2a ln(x x2x2a 1x 例1求 dxxcos12求cosxsinx第一类换元法（凑微分法f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]a（1）faxbdx1faxbdax aafaxnbxn1dx

faxnbdaxn

a0,nflnxx

flnxdlnf1dxf11 2

x

xxx（5）fxdx2fxdxxln

faxdax

a0,afexexdxfexdexfsinxcosxdxfsinxdsinfcosxsinxdxfcosxdcosfcotxcsc2xdxfcotxdcotfsecxsecxtanxdxfsecxdsecfcscxcscxcotxdxfcscxdcscxfarcsinx

11x1xf1x

dxfarcsinxdarcsindxfarccosxdarccos

farctanxdx

farctanxdarctan

farccotxdx 1 1

farccotxdarccot

1x x xflnx x2a2 flnx2a

x2a

dln

x2a flnx x2a2 flnx2a

x2a

dln

x2a f

dxlnfx f例 求xx2 x(1 x(1 (x3例 (x3例 exe（1）1ex1ln（3）(xlnx)2

（2）exex1 1lnx1(xlnx)第二类换元法f(x)dx[f[(t)](t)dt]t1(axaxncxnax第一类：被积函数是x 或x 或由ex构成的代数式的naxaexaex gxt，解出xt已经不再有根式，那么就作这种变量替换xt即可Ax2BxAx2BxAx2BxAx2Bx0Al2xx20

txt0Axx2l2，A0a2可 xaa2x2可 xax2x2可 xx21例 计算不定积分1

111例 计算不定积分1(12x2x3x3分部积分法udvuv例 （1）xex

选u的顺序为“对、反、幂、三、指（2）x2e2x （3）x2sinxnln （n （5）arcsin （6）xarctan例 求不定积

xxxx

lnxdx有理函数积分

AdxAlnxaC;xa

dx A C(m(x

m1(x

AxBdxAln(x2pxq)

Cx2px 2B2B4q2x4q12计算x23x 例 计算1ex例 计算 x32x2x1x例 计算不定积分 )dx(x1x简单无理函数的积分ax2bxnaxbnax2bxcx

t,x(t1(tnbnaxnaxncxncx

t,x(t

ctn(13x)a2 a2x2,a2x2, (13x)a217I

ex三角有理函数的积分由于tancotseccsc以及三角函数的位角，乘方等全属于cossin令

t2

2

sin

2cos22

sin22sin22

21tan221tan2

1t1tcos 2 2cos2sin2 1tan2 1t 2arctantd1t1t 2t 于是R(cossin)d=R1t21t21t2dt即，转化为有理函数积分 R(sin2xcosxsinxdx令tcosxR(1t2R(sinxcos2xcosxdx令tsinxR(1t2R(tant)dt令ttan R(t) 11 1t1 t18求(1

cos

(2)cos3

cos319求

1sin20求

cos cosxsin分段函数的不定积分 sin12f(x)ln(2x

xx

，求f4讲定积定积分的概念与性质

bf

fx

a,

a

x

d0

（如果极限存在）i xi1xi xnbdmaxxixi1fx在ab上有定积分fx在ab上可积1i b上的连续函数或只有有限个第一类间断点的函数都是可积函数．设函fx在ab上连续，定积分bfxdx在几何上表示ya

fxxax afxdxbf afxdxabkfxkfxdx

bfxdx

bf 1

1a

2a bfxdxcfxdxbfxdx（c也可以在a 设abfxgxaxb，则bfxdxb 设abmfxMaxbmbabfxdxMbaaa设abbfxdxaa

f定积分中值定 设fx在a,b上连续，则存在a,b，bfxdxa

fb1定义：

fxdxfx在abbbabaaaa

fxdx0（f奇函数fxdx2afxdx（f偶函数0fx以T为周期a为常数 fxdx

f 基本定理定义：设fx在ab上可积Fx

xftdtxab称为变上限积分的函数a定理：（1）fx在ab上可积Fxxftdt在ab上连a（2）若fx在ab上连续Fx2x

xftdt在ab上可导Fxa

f1推广形Fxx1

ftdt1x,2x可导，fxFxf2x2xf1设fx在ab上可Fx为fx在ab上任意一个b则有ba

fxdxFa

FbF（注：若fx在a,b上连可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明；若fx在a,定积分的换元积分法和分部积分法设fx在ab上连续，若变xt（1）t在,（或,）上连续；（2）a，b，且当tatb， bfxdxftt a设uxvx在ab上连续，则buxvxdxuxvxbba buxdvxuxvxbb 例 设M1sinxcos4xdx,N1(sin3xcos4 P1(x2sin3xcos4x)dx 则（A）MN （B）NM （C）PM （D）PN 练习设I 4lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx,则I,J,K的大小关系 (A)IJK (B)IKJ(C)JIK (D)KJI．答1例 设f(x)4x0f(x)dx,求f1 练习(数学一、二)fx)x2x2fx)dx21fx)dx,则f(x 答案：f(x)x24x 1n1例 lim1n1nn(nn(n1)(n (n

]1cosn11cosn1cosne例 4xtan2 4xtan 分计算的一些特点，如奇（偶）函数在对称区间上的积分；周期函数的积分，定积分的几何意义等．利用常用的方法计算定积分5I

ln11e2x26求2

x2x 0

x8

1ln(10(2x)29f(x)xsintdt，求f0 利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性例 求I1x(1x2015)(exex利用被积函数的周期性例 设n为自然数，求I xsin利用定积分的几何意义计算积分2例 求I2

4|x|x2循环计算法13求极限lim1exsinnI4lnsin0ln答 I 4xabtIbfx)dxbf(abt)dtI1b[fxf(abx)]dx 2cos2例14求I4 sin3例15求I 0sinxcos几类特殊问题分段函数求积分16I2min(2x2含有绝对值的积分117fx)0t|tx|1含有抽象函数的积分18f(xf(2

fxfx)]sinxdx5f05讲变限积分与广义涉及变限积分的问题xxF(xf(x

h(xfx)g(xh(x可导，则(gx)f(t)dtf[hx)]hx)fgxh(x需注意的是，如果被积函数中有变 ，一定要把其分离出来，或变到积分限上例 设连续函数f(x)在[a,b]上恒正，令F(x)

bxtf(t)dtF(x)0a例 已知f(x)连续，且xtf(2xt)dt1arctanx2.已知f(1) 2求1fx)dx21例 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且0f(t)dt=1，试1 0dxxdyxf(x)f(y)f定积分bfxdx的积分区间ab是有限区间，又fx在ab上是有界的，如果a广到无穷区间或fx推广 函数，就是两种不同类型的广义积分

fxdxlim

f ba

a

bfxdxlimbfxdx afxdxcfxdxfxdxlimcfxdxlimbfxdx同样有收敛和发散的 a b 概念，收敛的广义积分有值的概念，值得注意：判断fxdxlim

fxdx

R极限存在性，必须要求fxdx

fxdx两个广义积分都收敛，才能知道fxdx是收R1

R

fxdx是可以dx1xp

p

du p

exln 1u

收敛ax

I、设fx在ab内连续

fx，则称bfx的瑕b定义fxdxlim fxdx若极限存在，则称广义积分b

0 bfxdxaII、设fx在ab内连续，且

fx，则afx的瑕 定义bfxdxlim fxdx若极限存在，则称广义积分bfxdx收敛，且 0 bfxdxaIIIfx在ac和cb皆连续，且limfx，则称cfx的瑕bfxdxcfxdxbfxdxlim

fxdx

lim

f

10

02222 若上面两个极限都存在时才称广义积分bf