结构力学课件：第4章平面一般力系

第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化§4-3分布荷载§4-4平面一般力系的平衡条件§4-5平面平行力系的平衡条件§4-6物体系统的平衡问题§4-7滑动摩擦§4-1力线平移定理前言第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化§4-31

位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。定义：前言第四章平面一般力系工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交2图4-1钢桁梁桥简图P1P2P3FEyFAyFAx图4-1所示钢桁梁桥简图，在初步分析时可简化为平面一般力系。第四章平面一般力系图4-1钢桁梁桥简图P1P2P3FEyFAyFAx图4-13如图4-2所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化为平面一般力系。图4-2屋架及计算简图(a)(b)第四章平面一般力系如图4-2所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化4图4-3所示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座反力可视为一个平面一般力系。图4-3起重机简图(a)PFAyFBy(b)P第四章平面一般力系图4-3所示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座反力可视为5§4-1力线平移定理F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c)图4-4力线平移定理的证明定理：作用在刚体上某点的力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F

对平移点之矩。证明如下图所示：第四章平面一般力系§4-1力线平移定理F′(a)ABdFABdFF′(b)6F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c)图4-4力线平移定理的证明第四章平面一般力系可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c7如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。CFF′CFCM图4-5(a)(b)第四章平面一般力系如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球8思考题4-1用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明图中的力对轮子的外效应有何不同？图4-6r(a)O1Fr(b)O2F/2F/2第四章平面一般力系思考题4-1用力线平移定理将图(a)、(b9§4-2平面一般力系向一点简化设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,…,Fn,如图4-7所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。F1F2Fn图4-7应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移（图4-8b),再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-8c)。过程为：第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化设在某一刚体10平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR′（合力）MO（合力偶）图4-8平面一般力系的简化(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2′OF1′Fn′M1M2Mn(c)OyxMOFR′(d)(4-2)第四章平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR′（11事实上，可直接用原力系F1，F

2，...F

n

的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。(4-3)由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。第四章平面一般力系事实上，可直接用原力系F1，F2，...F12力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。平面一般力系的三种简化结果：1.力系简化为力偶2.力系简化为合力FR′就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。OMOFR′图4-9(1)第四章平面一般力系力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。平面一般力系13力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFR′FR′图4-10力系简化为合力(2)(c)OO′dFR′第四章平面一般力系力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。MO143.力系平衡MOOO’FR′平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理第四章平面一般力系3.力系平衡MOOO’FR′平面一般15如下图所示，显然有图4-11合力矩定理证明图示证明：MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFR′FR′第四章平面一般力系如下图所示，显然有图4-11合力矩定理证明图示证明：M16例题4-1图示一塔示起重机。机架m1=50t,重心在O点。已知起重机的最大起吊质量m2=25t,欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3

应如何？图中a=3m,b=1.5m,c=6m,l=10m。ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别为m1g、m2g、m3g，这是一个平面一般力系的特例——平面平行力系。解：第四章平面一般力系例题4-1图示一塔示起重机。机架m1=5017FR

的方向铅垂向下。取坐标如图，可知合力FR的投影为ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O合力的作用线与x

轴的交点的坐标设为x，由合力矩定理有第四章平面一般力系FR的方向铅垂向下。取坐标如图，可知合力FR的投影为ABm18式中x随

m2、m3

而变，其他各量都是不变的。(a)ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O欲使起重机不翻倒应有：0<x<a(1)空载时，m2=0，x>0,

由

(a)

式得m1(a+b)-m3c>0第四章平面一般力系式中x随m2、m3而变，其他各量都是不变的。(a)ABm19ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O（2）满载时,

m2=25t,x<a,由(a)式得欲使起重机不致翻倒，应有36.11t<m3<37.5t为了保证安全，可取m3=36.5~37t。第四章平面一般力系ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图20一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？F1F2FnAB图4-13FRAB答：合力与两点连线平行时可能。思考题4-1第四章平面一般力系一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，21在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2FnA图4-14思考题4-2第四章平面一般力系在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2F22有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？F1F2FnAB图4-15思考题4-3第四章平面一般力系有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化23§4-3分布荷载集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。FN第四章平面一般力系§4-3分布荷载集中力或集中荷载：力或荷载24几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。

线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。(1)集中荷载的单位，即力的单位(N,kN)。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。1.荷载的单位第四章平面一般力系几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个25(2)体分布荷载的单位：N/m3，(3)面分布荷载的单位：N/m2，(4)线分布荷载的单位：N/m。(1)均布荷载：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：其作用线通过梁的中点。Fq=10.91kN/mFBFAl=16m1.分布荷载的计算方法第四章平面一般力系(2)体分布荷载的单位：N/m3，(1)均布荷载26如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2)非均布荷载：荷载集度不是常数。第四章平面一般力系如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2)非均布荷载：荷载27例4-2求图示梁上分布荷载的合力。AB例4-2图xxylxcFR解：取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为微段上的荷载为：以A为简化中心，有第四章平面一般力系C例4-2求图示梁上分布荷载的合力。AB例4-2图xxyl28AB例4-2图xxylxcFR由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：第四章平面一般力系CAB例4-2图xxylxcFR由此可见，分布29例4-3已知水坝的坝前水深h=10m,求1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系例4-3已知水坝的坝前水深h=10m30解：在深度为y处，水的压强取1m长的坝考虑时，作用于把坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系解：在深度为y处，水的压强取1m长的坝考虑时，作用于把坝31该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3处。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在32§4-4平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。MOOO’FR′平面一般力系的平衡方程为：第四章平面一般力系§4-4平面一般力系的平衡条件平面一般力系平33例4-4图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重

P=4kN,荷载F=10kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。ABDEPF(a)C2m1m1m第四章平面一般力系例4-4图示一悬臂式起重机简图，A、B、C34解：（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。未知量三个：FAx、FAy、FT，独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。第四章平面一般力系ABDEPFFT(b)xyFAxFAy解：（1）取AB梁为研究对象。未知量三个：FAx、FAy、F35由（3）解得以FT之值代入（1）、（2），可得：第四章平面一般力系ABDEPFFT(b)xyFAxFAyFAx=16.5kN,FAy=4.5kN。由（3）解得以FT之值代入（1）、（2），第四章平面一般力36即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：ABDEPFFT(b)xyFAxFAy如果例4-4中的荷载F可以沿AB梁移动，问：荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力FT最大？其值为多少？思考题4-4第四章平面一般力系即铰链A的反力及与x轴正向ABDEPFFT(b)xyFAxF37看可否求出FT、FAx、FAy；（1）由右图所示的受力图，试按思考题4-5：ABDEPFFT(b)xyFAxFAy（2）由右图所示的受力图，试按第四章平面一般力系看可否求出FT、FAx、FAy；看可否求出FT、FAx、FAy；（1）由右图所示的受力图，试38（3）由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFT(b)xFAxFAy例4-4题受力图C第四章平面一般力系（3）由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy39平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B两点连线不垂直于x轴。ABFRx第四章平面一般力系平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B两403.三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。第四章平面一般力系ABFRC3.三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。第四章平面41由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其中必有一个是从属的？ABDEPQFT(b)xFAxFAy例4-4题受力图C思考题4-6第四章平面一般力系由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其42例4-5图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座反力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a例4-5的图解：(1)选AB梁为研究对象。

(2)画受力图如右图所示。

(3)取坐标如图。第四章平面一般力系例4-5图示简支梁AB。梁的自重及各处摩43（4）列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx第四章平面一般力系（4）列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxF44在例4-5中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考题4-7：第四章平面一般力系在例4-5中，试以下列三个方程求解，看会有什45§4-5平面平行力系的平衡条件平面平行力系：yOxF1F2Fn图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系的平衡条件为：第四章平面一般力系§4-5平面平行力系的平衡条件平面平行力系：yOxF1F246即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式yOxF1F2Fn注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。第四章平面一般力系即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对47例4-6在例4-1中，设m2=20

t,m3=37

t,其他数据同题4-1。即，a

=3

m,b

=1.5

m，c

=6

m,l=10

m,求左右两轨的反力。解：画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平行力系。ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O取坐标如图，列平衡方程第四章平面一般力系例4-6在例4-1中，设m2=20t,48ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O得其中可用进行校核。第四章平面一般力系ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB图449求出的左右轨的反力均不为负值，可见所取平衡锤的质量可以保证安全。ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O第四章平面一般力系求出的左右轨的反力均不为负值，可见所取平衡锤50qACBDMe2aa4a思考题4-8的图F4a图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？思考题4-8第四章平面一般力系qACBDMe2aa4a思考题4-8的图F4a51静定和超静定的概念：静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出这些未知量。qACBDMe2aa4aF4a第四章平面一般力系静定和超静定的概念：静定问题：一个静力平衡问52超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a第四章平面一般力系超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡53注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。第四章平面一般力系qACBDMe2aa4aF4a注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对54平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？F1FnoF2思考题4-9第四章平面一般力系平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个55平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？F1F2Fn思考题4-10第四章平面一般力系平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？F1F2Fn56平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？yoxF1F2Fn？思考题4-11第四章平面一般力系平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？yoxF1F57平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+M2+┅+Mn=0,或

M=∑M=0M1M2Mn平面力偶系图式思考题4-12第四章平面一般力系平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+M2+58§4-6物体系统的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系§4-6物体系统的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约591.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力：在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGAB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE第四章平面一般力系1.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。CD602.物体系平衡问题的静定或超静定物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不第四章平面一般力系2.物体系平衡问题的静定或超静定物体系是61若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。稳固的。注意：(1)在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。(2)在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。第四章平面一般力系若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问62例4-7求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。例4-7的图CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系例4-7求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。例63CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE分析：未知量9个，5个支座反力，处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。解：（1）研究EG梁第四章平面一般力系AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.564xy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG（2）研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy第四章平面一般力系xy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG（2）研究6510kNFCyFCxFDFEyFExCExy（3）研究AC梁AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面一般力系10kNFCyFCxFDFEyFExCExy（3）研究AC66AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面一般力系AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面67思考题4-13若将A处改为活动铰支座，则未知量数目为8个，但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在x轴上的投影不为零时，系统能否平衡？xyCD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系思考题4-13若将A处改为活动铰支座，则未知量数68例4-8图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q

(kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。qCABhl/2l/2CABFAxFAyFBxFBy

q第四章平面一般力系例4-8图示三铰拱上，作用着均匀分布于左69解：（1）研究整体其受力如图所示。CABFAxFAyFBxFBy

q第四章平面一般力系解：（1）研究整体其受力如图所示。CABFAxFAyFB70CABFAxFAyFBxFBy

q（2）研究AC,并画其受力图。qCAFAxFAyFCyFCx第四章平面一般力系CABFAxFAyFBxFByq（2）研究AC,并71系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。CABFAxFAyFBq习题：用另一种方法解例4-8。第四章平面一般力系系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。CABFAxFAyF72思考题4-14判断图中受力图是否正确？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?qCABhl/2l/2第四章平面一般力系思考题4-14判断图中受力图是否正确？qChABFAy=73由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错的。qCAFCyFCxFAy=0.5ql(b)0.5qlqChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)第四章平面一般力系由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错的。qCAF74§4-7滑动摩擦一切物体都具有不同程度的粗糙面，当物体沿支承面运动时，由于接触面间的凹凸不平，就产生了对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。2.摩擦力也可分为静摩擦和动摩擦。

(1)静摩擦：两物体仍保持静止仅有相对运动的趋势时的摩擦。

1.摩擦力分为滑动摩擦和滚动摩擦。(1)滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势。(2)滚动摩擦：相对运动为滚动或具有滚动趋势。第四章平面一般力系§4-7滑动摩擦一切物体都具有不同程度的75(2)动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。本节讨论静滑动摩擦的情形，且只讨论干摩擦的问题，研究具有静滑动摩擦的平衡问题。图中为一放置在水平的粗糙面上的物体。分析它在几种情况下的受力图：FFNF(a)F(c)F2FFNFmaxF2(b)FFFNFF1F1第四章平面一般力系(2)动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。本763.具有滑动摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题的解法与没有摩擦的平衡问题一样，其特点是：（1）受力分析时应考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动的趋势方向相反；（2）除满足力系的平衡条件外，各处的摩擦力必须满足摩擦力的物理条件，即（3）平衡问题的解一般是以不等式表示的一个范围，称为平衡范围。第四章平面一般力系3.具有滑动摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问77例4-9重量为P

的物体置于斜面上，如图所示。已知物块与斜面之间的静摩擦系数f

s，问：(1)斜面的倾角j

增大到多少时（以j1表示），物块将下滑？PxyFFN(a)Pxy第四章平面一般力系例4-9重量为P的物体置于斜面上，如图所示。已知物块78（2）在j<j1的情况下，须在物块上沿斜面至少施加多大的力FT

才能使物块下滑？PxyFFNFT(b)（3）欲使物体沿斜面向上滑动，须在物块上沿斜面至少施加多大的力FT？PxyFFNFT(c)第四章平面一般力系（2）在j<j1的情况下，须在物PxyFFNFT(b)（379解：（1）画受力图如右。列平衡方程考虑极限平衡状态有：（1）（2）从而得到：PxyFFN(a)第四章平面一般力系解：（1）画受力图如右。列平衡方程考虑极限平衡状态有：（1）80（2）画受力图如右列平衡方程考虑极限平衡状态有：从而得到：PxyFFNFT(b)当时，物块才能下滑。第四章平面一般力系（2）画受力图如右列平衡方程考虑极限平衡状态有：从而得到：P81（3）画受力图如右列平衡方程从而得到：PxyFFNFT(c)考虑极限平衡状态有：当时，物块才能上滑。第四章平面一般力系（3）画受力图如右列平衡方程从而得到：PxyFFNFT(c)82思考题4-15如图所示的物块，若斜面的倾角大于j1

，而欲阻止物块下滑，问沿斜面至少须在物块上施加多大的力FT?PxyPxyFFNFT(c)第四章平面一般力系思考题4-15如图所示的物块，若斜面的倾角大于j1，而83F=0.5kN(a)P=1.0kNF=0.5kN(b)P=1.0kN思考题4-16自重P=1.0kN的物体放在水平支承面上，并分别如图(a)、(b)所示，受力F

作用。已知物块与水平支承面之间的静摩擦系数为fs=0.40，问在图示的两种情况下物块是否会滑动？第四章平面一般力系F=0.5kN(a)P=1.0kNF=0.5kN(b)P=184例4-10梯子AB

长为2a，重为P，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上。设梯子与墙壁和梯子与地板的静摩擦系数均为fs,问梯子与水平线所成的倾角j多大时，梯子能处于平衡？ABP(a)BPAFAxFAyFByFBxxy(b)第四章平面一般力系例4-10梯子AB长为2a，重为P，其一85解：梯子靠摩擦力才能保持平衡。A、B两处的摩擦力都达到最大值，梯子受力如图(b)所示。(1)(2)(3)BPAFAxFAyFByFBxxy(b)第四章平面一般力系解：梯子靠摩擦力才能保持平衡。A、B两处的摩擦力都达到最大值86(4)(5)将（4）、（5）代入（1）、（2）得由以上两式解出BPAFAxFAyFByFBxxy(b)最后得出第四章平面一般力系(4)(5)将（4）、（5）代入（1）、（2）得由以上两式解87再将代入上式，解出应满足的条件是：BPAFAxFAyFByFBxxy(b)第四章平面一般力系再将代入上式，解出应满足的条件是：BPAFAxFAyFByF88思考题4-17梯子AB长为2a，重为P，其一端置于水平面上，另一端靠在光滑的铅垂墙上。设梯子与地板的静摩擦系数为fs,求(1)已知梯子与水平线所成的倾角j,为使梯子保持静止,问重为P1

的人活动范围多大?(2)倾角j多大时,不论人在什么位置梯子都能处于平衡？ABP(a)P1第四章平面一般力系思考题4-17梯子AB长为2a，重为P，其一端置于89第四章结束第四章平面一般力系第四章结束第四章平面一般力系90第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化§4-3分布荷载§4-4平面一般力系的平衡条件§4-5平面平行力系的平衡条件§4-6物体系统的平衡问题§4-7滑动摩擦§4-1力线平移定理前言第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化§4-391

位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。定义：前言第四章平面一般力系工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交92图4-1钢桁梁桥简图P1P2P3FEyFAyFAx图4-1所示钢桁梁桥简图，在初步分析时可简化为平面一般力系。第四章平面一般力系图4-1钢桁梁桥简图P1P2P3FEyFAyFAx图4-193如图4-2所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化为平面一般力系。图4-2屋架及计算简图(a)(b)第四章平面一般力系如图4-2所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化94图4-3所示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座反力可视为一个平面一般力系。图4-3起重机简图(a)PFAyFBy(b)P第四章平面一般力系图4-3所示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座反力可视为95§4-1力线平移定理F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c)图4-4力线平移定理的证明定理：作用在刚体上某点的力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F

对平移点之矩。证明如下图所示：第四章平面一般力系§4-1力线平移定理F′(a)ABdFABdFF′(b)96F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c)图4-4力线平移定理的证明第四章平面一般力系可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。F′(a)ABdFABdFF′(b)BdF′AM=Fd(c97如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。CFF′CFCM图4-5(a)(b)第四章平面一般力系如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球98思考题4-1用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明图中的力对轮子的外效应有何不同？图4-6r(a)O1Fr(b)O2F/2F/2第四章平面一般力系思考题4-1用力线平移定理将图(a)、(b99§4-2平面一般力系向一点简化设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,…,Fn,如图4-7所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。F1F2Fn图4-7应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移（图4-8b),再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-8c)。过程为：第四章平面一般力系§4-2平面一般力系向一点简化设在某一刚体100平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR′（合力）MO（合力偶）图4-8平面一般力系的简化(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2′OF1′Fn′M1M2Mn(c)OyxMOFR′(d)(4-2)第四章平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成FR′（101事实上，可直接用原力系F1，F

2，...F

n

的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。(4-3)由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。第四章平面一般力系事实上，可直接用原力系F1，F2，...F102力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。平面一般力系的三种简化结果：1.力系简化为力偶2.力系简化为合力FR′就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。OMOFR′图4-9(1)第四章平面一般力系力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。平面一般力系103力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFR′FR′图4-10力系简化为合力(2)(c)OO′dFR′第四章平面一般力系力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。MO1043.力系平衡MOOO’FR′平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理第四章平面一般力系3.力系平衡MOOO’FR′平面一般105如下图所示，显然有图4-11合力矩定理证明图示证明：MOOO′(a)FR′(b)OO′FR′dFR′FR′第四章平面一般力系如下图所示，显然有图4-11合力矩定理证明图示证明：M106例题4-1图示一塔示起重机。机架m1=50t,重心在O点。已知起重机的最大起吊质量m2=25t,欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3

应如何？图中a=3m,b=1.5m,c=6m,l=10m。ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别为m1g、m2g、m3g，这是一个平面一般力系的特例——平面平行力系。解：第四章平面一般力系例题4-1图示一塔示起重机。机架m1=50107FR

的方向铅垂向下。取坐标如图，可知合力FR的投影为ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O合力的作用线与x

轴的交点的坐标设为x，由合力矩定理有第四章平面一般力系FR的方向铅垂向下。取坐标如图，可知合力FR的投影为ABm108式中x随

m2、m3

而变，其他各量都是不变的。(a)ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O欲使起重机不翻倒应有：0<x<a(1)空载时，m2=0，x>0,

由

(a)

式得m1(a+b)-m3c>0第四章平面一般力系式中x随m2、m3而变，其他各量都是不变的。(a)ABm109ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图O（2）满载时,

m2=25t,x<a,由(a)式得欲使起重机不致翻倒，应有36.11t<m3<37.5t为了保证安全，可取m3=36.5~37t。第四章平面一般力系ABm1gm2gm3gcblxyaxFR例4-1题图110一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？F1F2FnAB图4-13FRAB答：合力与两点连线平行时可能。思考题4-1第四章平面一般力系一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，111在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2FnA图4-14思考题4-2第四章平面一般力系在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？F1F2F112有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？F1F2FnAB图4-15思考题4-3第四章平面一般力系有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化113§4-3分布荷载集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。FN第四章平面一般力系§4-3分布荷载集中力或集中荷载：力或荷载114几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。

线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。(1)集中荷载的单位，即力的单位(N,kN)。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。1.荷载的单位第四章平面一般力系几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个115(2)体分布荷载的单位：N/m3，(3)面分布荷载的单位：N/m2，(4)线分布荷载的单位：N/m。(1)均布荷载：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：其作用线通过梁的中点。Fq=10.91kN/mFBFAl=16m1.分布荷载的计算方法第四章平面一般力系(2)体分布荷载的单位：N/m3，(1)均布荷载116如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2)非均布荷载：荷载集度不是常数。第四章平面一般力系如坝体所受的水压力等。ABqyyC(2)非均布荷载：荷载117例4-2求图示梁上分布荷载的合力。AB例4-2图xxylxcFR解：取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为微段上的荷载为：以A为简化中心，有第四章平面一般力系C例4-2求图示梁上分布荷载的合力。AB例4-2图xxyl118AB例4-2图xxylxcFR由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：第四章平面一般力系CAB例4-2图xxylxcFR由此可见，分布119例4-3已知水坝的坝前水深h=10m,求1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系例4-3已知水坝的坝前水深h=10m120解：在深度为y处，水的压强取1m长的坝考虑时，作用于把坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系解：在深度为y处，水的压强取1m长的坝考虑时，作用于把坝121该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3处。ABqyyCFdhqdy1m第四章平面一般力系该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在122§4-4平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。MOOO’FR′平面一般力系的平衡方程为：第四章平面一般力系§4-4平面一般力系的平衡条件平面一般力系平123例4-4图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重

P=4kN,荷载F=10kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。ABDEPF(a)C2m1m1m第四章平面一般力系例4-4图示一悬臂式起重机简图，A、B、C124解：（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。未知量三个：FAx、FAy、FT，独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。第四章平面一般力系ABDEPFFT(b)xyFAxFAy解：（1）取AB梁为研究对象。未知量三个：FAx、FAy、F125由（3）解得以FT之值代入（1）、（2），可得：第四章平面一般力系ABDEPFFT(b)xyFAxFAyFAx=16.5kN,FAy=4.5kN。由（3）解得以FT之值代入（1）、（2），第四章平面一般力126即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：ABDEPFFT(b)xyFAxFAy如果例4-4中的荷载F可以沿AB梁移动，问：荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力FT最大？其值为多少？思考题4-4第四章平面一般力系即铰链A的反力及与x轴正向ABDEPFFT(b)xyFAxF127看可否求出FT、FAx、FAy；（1）由右图所示的受力图，试按思考题4-5：ABDEPFFT(b)xyFAxFAy（2）由右图所示的受力图，试按第四章平面一般力系看可否求出FT、FAx、FAy；看可否求出FT、FAx、FAy；（1）由右图所示的受力图，试128（3）由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFT(b)xFAxFAy例4-4题受力图C第四章平面一般力系（3）由右图所示的受力图，试按看可否求出FT、FAx、FAy129平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B两点连线不垂直于x轴。ABFRx第四章平面一般力系平面一般力系平衡方程的其他形式：1.二矩式注意：A、B两1303.三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。第四章平面一般力系ABFRC3.三矩式注意：A、B、C三点不在一条线上。第四章平面131由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其中必有一个是从属的？ABDEPQFT(b)xFAxFAy例4-4题受力图C思考题4-6第四章平面一般力系由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其132例4-5图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座反力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a例4-5的图解：(1)选AB梁为研究对象。

(2)画受力图如右图所示。

(3)取坐标如图。第四章平面一般力系例4-5图示简支梁AB。梁的自重及各处摩133（4）列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx第四章平面一般力系（4）列平衡方程解得y(b)qACBDMe2aa4aFAxF134在例4-5中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考题4-7：第四章平面一般力系在例4-5中，试以下列三个方程求解，看会有什135§4-5平面平行力系的平衡条件平面平行力系：yOxF1F2Fn图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系的平衡条件为：第四章平面一般力系§4-5平面平行力系的平衡条件平面平行力系：yOxF1F2136即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式yOxF1F2Fn注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。第四章平面一般力系即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对137例4-6在例4-1中，设m2=20

t,m3=37

t,其他数据同题4-1。即，a

=3

m,b

=1.5

m，c

=6

m,l=10

m,求左右两轨的反力。解：画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平行力系。ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O取坐标如图，列平衡方程第四章平面一般力系例4-6在例4-1中，设m2=20t,138ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O得其中可用进行校核。第四章平面一般力系ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB图4139求出的左右轨的反力均不为负值，可见所取平衡锤的质量可以保证安全。ABm1gm2gm3gcblxyaFNAFNB

图4-12例4-6的图O第四章平面一般力系求出的左右轨的反力均不为负值，可见所取平衡锤140qACBDMe2aa4a思考题4-8的图F4a图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？思考题4-8第四章平面一般力系qACBDMe2aa4a思考题4-8的图F4a141静定和超静定的概念：静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出这些未知量。qACBDMe2aa4aF4a第四章平面一般力系静定和超静定的概念：静定问题：一个静力平衡问142超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a第四章平面一般力系超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡143注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。第四章平面一般力系qACBDMe2aa4aF4a注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对144平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？F1FnoF2思考题4-9第四章平面一般力系平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个145平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？F1F2Fn思考题4-10第四章平面一般力系平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？F1F2Fn146平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？yoxF1F2Fn？思考题4-11第四章平面一般力系平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？yoxF1F147平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+M2+┅+Mn=0,或

M=∑M=0M1M2Mn平面力偶系图式思考题4-12第四章平面一般力系平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+M2+148§4-6物体系统的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系§4-6物体系统的平衡问题物体系：由几个物体通过一定的约1491.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。内力：在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mGAB20

kNFAxFAyFBCFCyFCx2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE第四章平面一般力系1.内力和外力外力：系统以外的物体给所研究系统的力。CD1502.物体系平衡问题的静定或超静定物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是超静定的。总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不第四章平面一般力系2.物体系平衡问题的静定或超静定物体系是151若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。稳固的。注意：(1)在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。(2)在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。第四章平面一般力系若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问152例4-7求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。例4-7的图CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系例4-7求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。例153CD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG2kN/mEGFEyFExFG10kNFCyFCxFDFEyFExCE分析：未知量9个，5个支座反力，处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。解：（1）研究EG梁第四章平面一般力系AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5154xy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG（2）研究CE梁10kNFCyFCxFDFEyFExCExy第四章平面一般力系xy由对称关系得：2kN/mEGFEyFExFG（2）研究15510kNFCyFCxFDFEyFExCExy（3）研究AC梁AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面一般力系10kNFCyFCxFDFEyFExCExy（3）研究AC156AB20

kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面一般力系AB20kNFAxFAyFBCFCyFCxxy第四章平面157思考题4-13若将A处改为活动铰支座，则未知量数目为8个，但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在x轴上的投影不为零时，系统能否平衡？xyCD3m1.5m4.5m3mAB20

kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四章平面一般力系思考题4-13若将A处改为活动铰支座，则未知量数158例4-8图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q

(kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。qCABhl/2l/2CABFAxFAyFBxFBy

q第四章平面一般力系例4-8图示三铰拱上，作用着均匀分布于左159解：（1）研究整体其受力如图所示。CABFAxFAyFBxFBy

q第四章平面一般力系解：（1）研究整体其受力如图所示。CABFAxFAyFB160CABFAxFAyFBxFBy

q（2）研究AC,并画其受力图。qCAFAxFAyFCyFCx第四章平面一般力系CABFAxFAyFBxFByq（2）研究AC,并161系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。CABFAxFAyFBq习题：用另一种方法解例4-8。第四章平面一般力系系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。CAB