2023版高三一轮总复习数学新教材新高考课时分层作业汇编

549/549课时分层作业(一)集合一、选择题1．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{2} B．{2,3}C．{3,4} D．{2,3,4}B[因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3}，故选B．]2．(2021·湖南五市十校三模)设集合A＝{0，2，4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0，1，2，3，4}，则m＋n的值是()A．1 B．3C．5 D．7D[因为集合A＝{0，2，4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0，1，2，3，4}，则B＝{1，3}，所以1、3是方程x2－mx＋n＝0的两根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝m,1×3＝n))，因此，m＋n＝4＋3＝7.故选D．]3．(2021·山东滨州一模)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{eq(\a\vs4\al\co1(x，y))|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B的子集的个数为()A．4 B．7C．8 D．16C[∵集合A＝{1,2,3}，平面内以eq(\a\vs4\al\co1(x，y))为坐标的点集合B＝{eq(\a\vs4\al\co1(x，y))|x∈A，y∈A，x＋y∈A},∴B＝{eq(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq(\a\vs4\al\co1(2，1))},∴B的子集个数为：23＝8个．故选C．]4．(2021·深圳罗湖区模拟)设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝eq\r(x－1)}，则A∪B＝()A．R B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C[∵A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，B＝{x|y＝eq\r(x－1)}＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤－1或x≥1}．故选C．]5．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,5－x)∈N，x∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y2－3y－4≤0))))，则A∩B＝()A．{2，3} B．{2，3，4}C．{－1，2，3} D．{－1，2，3，4}D[由题意，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,5－x)))∈N，x∈Z))＝{－1，2，3，4}，B＝{y|y2－3y－4≤0}＝{y|－1≤y≤4}，所以A∩B＝{－1,2,3,4}．故选D．]6．(2021·福建厦门外国语学校模拟)已知集合A、集合B＝{2，3，a，b}，且A∩B＝{3，4}，则下列结论正确的是()A．有可能a＋b＝8 B．a＋b≠8C．a＋b<8 D．a＋b>8B[∵B＝{2，3，a，b}，A∩B＝{3，4}，∴4∈B，∴a＝4或b＝4，但a，b不能同时为4.∴a＋b≠8.故选B．]7．(多选)已知集合A，B是两个非空整数集，若∁ZA⊆B，则下列结论正确的是()A．B⊆A B．A∪B＝ZC．∁ZB⊆A D．A∩B＝∅BC[依题意，作出Venn图如图所示，由图知，BA，A∪B＝Z，∁ZB⊆A，A∩B≠∅.故选BC．]8．(多选)(2021·河北衡水中学三模)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则下列命题中正确的是()A．若A＝B，则a＝－3B．若A⊆B，则a＝－3C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6D．若a＝3，则A∩B＝{x|－3<x<6}ABC[由已知得：A＝{x|－3<x<6}，令g(x)＝x2＋ax＋a2－27.A：若A＝B，即－3,6是方程g(x)＝0的两个根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,a2＝9))，得a＝－3，正确；B：若A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－3＝a2－3a－18≤0,g6＝a2＋6a＋9≤0))，解得a＝－3，正确；C：当B＝∅时，Δ＝a2－4eq(\a\vs4\al\co1(a2－27))≤0，解得a≤－6或a≥6，正确；D：当a＝3时，有B＝{x∈R|x2－3x－18<0}＝{x|－6<x<3}，所以A∩B＝{x|－3<x<3}，错误．故选ABC．]二、填空题9．设集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁RA)∩B＝________.(1,3)[因为A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}．又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁RA)∩B＝(1,3)．]10．某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有________名；最少有________名．3222[设参加两项活动的学生人数为x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤x≤32，))可得0≤x≤32.则eq(\a\vs4\al\co1(40－x))＋x＋eq(\a\vs4\al\co1(32－x))≤50，解得x≥22.因此，同时参加两项活动的学生最多有32名，最少有22名．]11．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝__________.0或eq\f(1,4)[因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝b2，,a＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))故a＝0或eq\f(1,4).]12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3,5}，则用列举法表示A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝________.{－1，－3,1,3}[当a＝1，b＝3时，2a－b＝－1，当a＝1，b＝5时，2a－b＝－3，当a＝2，b＝3时，2a－b＝1，当a＝2，b＝5时，2a－b＝－1，当a＝3，b＝3时，2a－b＝3，当a＝3，b＝5时，2a－b＝1，∴A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝{－1，－3,1,3}．]1．集合论是德国数学家康托尔(G.Cantor)于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card(A)表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.若对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．某校举办运动会，高一(1)班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一(1)班参加本次运动会的人数共有()康托尔(1845～1918)A．28 B．23C．18 D．16C[设参加田赛的学生组成集合A，则card(A)＝14，参加径赛的学生组成集合B，则card(B)＝9，由题意得card(A∩B)＝5，所以card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝14＋9－5＝18，所以高一(1)班参加本次运动会的人数共有18.]2．(多选)当一个非空数集F满足条件“若对任意a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，eq\f(a,b)∈F”时，称F为一个数域．以下四个关于数域的命题中，真命题为()A．0是任何数域的元素B．若数域F有非零元素，则2022∈FC．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D．有理数集为数域ABD[若a∈F，则a－a＝0∈F，A正确；若a∈F且a≠0，则1＝eq\f(a,a)∈F，由此2＝1＋1∈F,3＝1＋2∈F，依次类推2022∈F，B正确；P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但eq\f(3,6)∉P，所以P不是数域，C错误；若a，b是任意两个有理数，则a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，D正确．故选ABD．]3．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．27[不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．]

课时分层作业(二)常用逻辑用语一、选择题1．(2021·山东菏泽一模)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，x2<0C．∃x∈R，x2<0 D．∃x∈R，x2≤0C[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题：∀x∈R，x2≥0的否定是：∃x∈R，x2<0.故选C．]2．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件B[由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．]3．(2021·湖南长郡中学模拟)1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”等价命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选B．]4．已知命题p：∃x∈(0,1)，ex－a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是()A．a>1B．a≥eC．a≥1D．a>eB[∵¬p：∀x∈(0,1)，ex－a<0为真命题，∴a＞ex在(0,1)上恒成立，∴a≥e.]5．(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件CD[对于A，当a＝b时，ac＝bc成立，当ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A不是真命题．对于B，当a＝－1，b＝－2时，a＞b，a2＜b2，当a＝－2，b＝1时，a2＞b2，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B不是真命题．对于C，当a＜3时，一定有a＜5成立，当a＜5时，a＜3不一定成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C是真命题．对于D，易知“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是真命题．故选CD．]6．(2021·湖南师大附中模拟)某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩n(n∈N*)个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是()A．n≥800 B．n＞5000C．n＜800 D．n＜5000B[由0.8n＋2000＜1.2n，得0.4n＞2000，即n＞5000，故选B．]7．(2021·广东高三月考)使得“x>1”成立的一个必要且不充分的条件是()A．x2>1 B．x3>1C．eq\f(1,x)>1 D．x>2A[使x>1成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含x>1，但不完全一致，A选项解集为x>1或x<－1，成立，A选项正确；B选项解集为x>1，为充要条件，B选项错误；C选项解集为0<x<1，不成立，C选项错误；D选项错误．故选A．]8．(多选)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A．l⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γ D．l⊂α，m⊂β，l⊥mABC[由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意，对于选项D，l⊂α，m⊂β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意．故选ABC．]二、填空题9．已知命题p：∀x∈R，x3>3x，则该命题是________(填“真命题”或“假命题”)．假命题[当x＝0时，x3＝3x＝0，所以命题p：∀x∈R，x3>3x为假命题．]10．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．f(x)＝sinx，x∈[0,2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(答案不唯一，再如fx＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x＝0,\f(1,x)，0<x≤2))))[根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0)．]11．(2021·日照二模)若不等式eq(\a\vs4\al\co1(x－a))2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))[由eq(\a\vs4\al\co1(x－a))2<1得a－1<x<a＋1，因为1<x<2是不等式eq(\a\vs4\al\co1(x－a))2<1成立的充分不必要条件，∴满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤1,a＋1≥2))且等号不能同时取得，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,a≥1))，解得1≤a≤2.]12．若“∃x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，则实数a的取值范围为________．a≥eq\f(35,6)[因为“∃x∈[4,6]，x2－ax－1>0”为假命题，所以∀x∈[4,6]，x2－ax－1≤0恒成立，即x－eq\f(1,x)≤a在[4,6]恒成立，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))max且x∈[4,6]，又因为feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x－eq\f(1,x)在[4,6]上是增函数，所以feq(\a\vs4\al\co1(x))max＝feq(\a\vs4\al\co1(6))＝6－eq\f(1,6)＝eq\f(35,6)，所以a≥eq\f(35,6).]1．(2021·上海交大附中模拟)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁A[若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为－1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意．综上所述，甲命题为假命题．故选A．]2．(2021·启东模拟)根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________．13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，……[答案]∀x∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2课时分层作业(三)等式性质与不等式性质一、选择题1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A．]2．(2021·广东珠海二模)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>0C．a2>b2 D．a<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))C[因ab<0，a>b，则a>0，b<0，eq\f(1,a)>0，eq\f(1,b)<0，A不正确；eq\f(b,a)<0，eq\f(a,b)<0，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<0，B不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．故选C．]3．若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[eq\r(a)－eq\r(b)>0⇒eq\r(a)>eq\r(b)⇒a>b≥0⇒a2>b2，但a2－b2>0eq\r(a)－eq\r(b)>0.]4．已知2<a＋b<5,0<a－b<1，某同学得出了如下结论：①1<a<3；②1<b<2；③eq\f(1,2)<b<eq\f(5,2)；④－4<a－2b<0.其中正确的结论是()A．①③④ B．②④C．①② D．①③D[由2＜a＋b＜5,0＜a－b＜1，得2＜2a＜6，即1＜a＜3，①正确；由2＜a＋b＜5，－1＜b－a＜0得1＜2b＜5，即eq\f(1,2)＜b＜eq\f(5,2)，即③正确，②错误；因为a－2b＝－eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(3,2)(a－b)，且－eq\f(5,2)<－eq\f(1,2)(a＋b)<－1,0<eq\f(3,2)(a－b)<eq\f(3,2)，所以－eq\f(5,2)<a－2b<eq\f(1,2)，④错误．]5.(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A．aeq\s\up12(eq\f(1,2))<beq\s\up12(eq\f(1,2)) B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．ac3<bc3ABC[因为y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))在(0，＋∞)上单调递增，所以aeq\s\up12(eq\f(1,2))<beq\s\up12(eq\f(1,2))；因为y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；因为eq\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)；当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立．]6．(多选)(2021·江苏盐城中学模拟)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0，且c<0，则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)BC[选项A：当c＝0时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b,a<0))⇒a2>ab，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b,b<0))⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，所以本命题是真命题；选项C:a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，∵c<0，∴eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)，所以本命题是真命题；选项D:若a>0，b<0时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)显然不成立，所以本命题是假命题．故选BC．]7．(多选)(2021·山东新高考模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是()A．xy＞yz B．xy＞xzC．xz＞yz D．x|y|＞|y|zACD[∵x＞y＞z且x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0，y可正可负可为零，∴ACD不正确，只有B正确．故选ACD．]8．(多选)(2021·山东临沂一模)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是()A．xc2>yc2 B．eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lnyABD[对于A选项，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以xc2>yc2是x>y的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y；但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因为x，y的正负不确定)，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0是x>y的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，则eq(\a\vs4\al\co1(x＋y))eq(\a\vs4\al\co1(x－y))>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如eq(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝－2)))，所以|x|>|y|是x>y的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若lnx>lny，则x>y，反之x>y得不出lnx>lny，所以lnx>lny是x>y的充分不必要条件，故选项D正确．故选ABD．]二、填空题9．(2021·北京市丰台区二模)能够说明“若a，b，m均为正数，则eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．1,1(答案不唯一)[若eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)是假命题，则eq\f(b＋m,a＋m)≤eq\f(b,a)，又a，b，m都是正数，∴a(b＋m)≤b(a＋m)，∴am≤bm，∴a≤b，故当a＝b＝1时，eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)是假命题．]10．若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空)．＞[(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.]11．若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，eq\f(1,2)，2ab从小到大排列为________．a<2ab<eq\f(1,2)<b[∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)<b<1，∴2b>1且2a<1，∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)<eq\f(1,2).即a<2ab<eq\f(1,2).综上得，a＜2ab＜eq\f(1,2)＜b.]12．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．(1)6(2)12[令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则z＜y＜x＜2z.(1)若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.]1．现有三个房间需要粉刷，粉刷要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，粉刷三种颜色涂料的费用分别为a，b，c(单位：元/m2)，且a<b<c.粉刷完这三个房间所需的总费用(单位：元)最低是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋czB[由x<y<z，a<b<c，知ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx.同理ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz，又az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.故总费用最低为az＋by＋cx.故选B．]2．已知a，b，c为正实数，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，cn与an＋bn的大小关系为________．(用“>”连接)cn>an＋bn[∵a，b，c为正实数，∴an>0，bn>0，cn>0.∵a2＋b2＝c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＝1，∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1.∵n∈N，n>2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(n)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(n)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(an＋bn,cn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(n)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＝1，故cn>an＋bn.]

课时分层作业(四)基本不等式一、选择题1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(1,2) D．2D[4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，即2≥eq\r(2ab)，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.]2．若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8 B．6C．4 D．2C[依题意ab＝a＋b，∴a＋b＝ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，即a＋b≤eq\f(a＋b2,4)，∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，∴a＋b的最小值为4.]3．(2021·淄博实验中学模拟)下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋eq\f(2,x) B．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)C[当x＜0时，选项A错误；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D错误；又y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq\f(1,\r(x2＋2))＋eq\r(x2＋2)＞2，故选项B错误．故选C．]4．若－4＜x＜1，则f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1D[∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5，∴f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq\f(x2－2x＋1＋1,2x－1)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－x＋\f(1,1－x)))≤－eq\f(1,2)×2eq\r(1－x·\f(1,1－x))＝－1，当且仅当1－x＝eq\f(1,1－x)，即x＝0时等号成立．∴函数f(x)有最大值－1，无最小值，故选D．]5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝eq\r(pp－ap－bp－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为()A．3eq\r(7) B．8C．4eq\r(7) D．9eq\r(3)A[由题意得p＝7，S＝eq\r(77－a7－b7－c)＝eq\r(77－b7－c)≤eq\r(7)·eq\f(7－b＋7－c,2)＝3eq\r(7)，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3eq\r(7)，故选A．]6．(多选)(2021·辽宁葫芦岛一模)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4 B．eq\f(ab,a＋b)有最大值eq\f(1,2)C．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a2＋b2有最小值eq\f(1,2)ACD[因为a>0，b>0且a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，故A正确；又因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立，即ab的最大值为eq\f(1,4)，所以eq\f(ab,a＋b)＝ab≤eq\f(1,4)，故B错误；eq\r(a)＋eq\r(b)＝eq\r(a＋b＋2\r(ab))≤eq\r(1＋2\r(\f(1,4)))＝eq\r(2)，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD．]7．(2021·惠来县第一中学高三月考)古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A．大于10g B．小于10gC．大于等于10g D．小于等于10gA[由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2.由杠杆的平衡原理：bm1＝a×5，am2＝b×5.解得m1＝eq\f(5a,b)，m2＝eq\f(5b,a)，则m1＋m2＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b).下面比较m1＋m2与10的大小：(作差比较法)∵a≠b，∴eq(\a\vs4\al\co1(m1＋m2))－10＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b)－10＞2eq\r(\f(5b,a)×\f(5a,b))－10＝10－10＝0，即m1＋m2>10.所以这样可知称出的黄金质量大于10g．故选A．]8．设a>b>0，则a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是()A．1 B．2C．3 D．4D[∵a>b>0，∴a－b>0，∴a(a－b)>0，a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a2＋ab－ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)＝a2－ab＋eq\f(1,aa－b)＋ab＋eq\f(1,ab)＝a(a－b)＋eq\f(1,aa－b)＋ab＋eq\f(1,ab)≥2＋2＝4，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－b＝\f(1,aa－b)，,ab＝\f(1,ab)，))即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)时等号成立．∴a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是4.]二、填空题9．(2021·青岛二模)命题“∃x∈R，ex<a－e－x”为假命题，则实数a的取值范围为__________．(－∞，2][∵命题”∃x∈R，ex<a－e－x“为假命题，∴∀x∈R，ex＋e－x≥a恒成立，∵ex＋e－x≥2eq\r(ex·e－x)＝2，当且仅当x＝0时等号成立，故实数a的取值范围为(－∞，2]．]10．已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．2＋eq\r(3)[因为3a＋b＝2ab，所以eq\f(3,2b)＋eq\f(1,2a)＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq\f(3a,2b)＋eq\f(b,2a)≥2＋eq\r(3)，当且仅当eq\f(3a,2b)＝eq\f(b,2a)时取等号，即a＋b的最小值为2＋eq\r(3).]11．(2021·天津南开中学模拟)若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝2，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________；eq\f(x－y,(\a\vs4\al\co1(x＋y))2)的最大值为________．eq\r(2)eq\f(1,8)[∵log2x＋log2y＝2，∴xy＝4.∵实数x，y满足x>y>0，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(2,x)·\f(1,y))＝eq\r(2)(当且仅当eq\f(2,x)＝eq\f(1,y)，即x＝2eq\r(2)，y＝eq\r(2)时等号成立)，eq\f(x－y,x＋y2)＝eq\f(x－y,x－y2＋4xy)＝eq\f(1,x－y＋\f(16,x－y))≤eq\f(1,8)，当且仅当x＝2eq\r(2)＋2，y＝2eq\r(2)－2时等号成立．]三、解答题12．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解](1)因为xy＝2x＋8y≥2eq\r(2x·8y)，即xy≥8eq\r(xy)，即xy≥64，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当eq\f(2x,y)＝eq\f(8y,x)，即x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为eq\f(1800a1＋x,x)元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．[解](1)设甲工程队的总造价为y元，则y＝3(300×2x＋400×eq\f(24,x))＋14400＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋14400≥1800×2×eq\r(x×\f(16,x))＋14400＝28800(元)，3≤x≤6，当且仅当x＝eq\f(16,x)，即x＝4时等号成立．故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．(2)由题意可得1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋14400>eq\f(1800a1＋x,x)对任意的x∈[3,6]恒成立．故eq\f(x＋42,x)＞eq\f(a1＋x,x)，从而eq\f(x＋42,x＋1)>a恒成立，令x＋1＝t，eq\f(x＋42,x＋1)＝eq\f(t＋32,t)＝t＋eq\f(9,t)＋6，t∈[4,7]．又y＝t＋eq\f(9,t)＋6在t∈[4,7]单调递增，故ymin＝12.25.所以a的取值范围为(0,12.25)．1．(多选)(2021·湖南师大附中高二月考)设a，b∈R，则下列结论正确的是()A．若a>b>0，则eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)B．若a<b<0，则eq(\a\vs4\al\co1(a－1))2<eq(\a\vs4\al\co1(b－1))2C．若a＋b＝2，则2a＋2b≥4D．若2a＋eq\f(1,b)>2b＋eq\f(1,a)且a>0，b>0，则a>bACD[若a>b>0，则0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，故A正确；若a<b<0，则a－1<b－1<－1，则eq(\a\vs4\al\co1(a－1))2>eq(\a\vs4\al\co1(b－1))2，故B不正确；若a＋b＝2，则2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(22)＝4，故C正确；设函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)，则f(x)在eq(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))上单调递增，若2a＋eq\f(1,b)>2b＋eq\f(1,a)，则2a－eq\f(1,a)>2b－eq\f(1,b)，且a>0，b>0，则a>b，故D正确．故选ACD．]2．(2021·辽宁开原三模)如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为________．448[令BM＝x(x＞0)，由题意可知△CDN∽△MBC，则eq\f(DN,BC)＝eq\f(CD,BM)，即eq\f(DN,3)＝eq\f(4,x)，∴DN＝eq\f(12,x)，即S矩形AMPN＝AM·AN＝(4＋x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(12,x)))＝24＋3x＋eq\f(48,x)≥24＋2eq\r(3x·\f(48,x))＝48，当且仅当3x＝eq\f(48,x)，即x＝4时，取等号，故当BM＝4时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48.]3．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y＝－eq\f(x2,3)，记窗户的高(点O到BC边的距离)为feq(\a\vs4\al\co1(t)).(1)求函数feq(\a\vs4\al\co1(t))的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC边应设计成多少厘米？(2)要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成多少厘米？[解](1)因为抛物线方程为y＝－eq\f(x2,3)，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(t2,3))).又因为AB＝DC＝eq\f(8－2t,2)＝4－t，所以点O到AD的距离为eq\f(t2,3)，所以点O到BC的距离为eq\f(t2,3)＋4－t，即feq(\a\vs4\al\co1(t))＝eq\f(t2,3)－t＋4eq(\a\vs4\al\co1(0<t<4)).因为t＝eq\f(－1,－2×\f(1,3))＝eq\f(3,2)(0<t<4)，所以当t＝eq\f(3,2)时有最小值，feq(\a\vs4\al\co1(t))min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2),3)－eq\f(3,2)＋4＝eq\f(3,4)－eq\f(3,2)＋4＝eq\f(13,4)，此时t＝eq\f(3,2)，BC＝2t＝2×eq\f(3,2)＝3，故BC应设计为3厘米．(2)窗户的高与BC长的比值为g(t)＝eq\f(\f(t2,3)－t＋4,2t)＝eq\f(1,6)t＋eq\f(2,t)－eq\f(1,2)(0<t<4)，因为eq\f(1,6)t＋eq\f(2,t)－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(1,6)t·\f(2,t))－eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3)－eq\f(1,2)，当且仅当eq\f(t,6)＝eq\f(2,t)，即t＝2eq\r(3)时取等号，所以要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC＝2t＝4eq\r(3)厘米．

课时分层作业(五)二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝()A．(－2,3) B．(1,3)C．(3,4) D．(－2,4)B[由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1,3)．]2．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)C[关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．]3．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)或x<t))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)或x>t)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t)))))D[原不等式可化为(x－t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0，∵0<t<1，∴t<eq\f(1,t)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))).]4．已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台C[由题设，产量为x台时，总售价为25x.欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．]5．已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()ABCDB[∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝eq\f(1,a)，－2×1＝－eq\f(c,a)，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点(－1,0)，(2,0)．故选B．]6．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是()A．b<0且c>0B．a－b＋c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2,1)ABD[对于A，a<0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝eq\f(b,a)，－1×2＝eq\f(c,a)，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)＝－1，x1x2＝eq\f(c,a)＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2,1)，所以D正确．]二、填空题7．不等式eq\f(ax,x－1)＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为________．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[原不等式转化为eq\f(a－1x＋1,x－1)＜0，由条件可知a－1＜0且eq\f(－1,a－1)＝2，解得a＝eq\f(1,2)，∴a的值为是eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).]8．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________．(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)＞0，解集为{x|x＞6或x＜－4}．解集中只有－5在集合A中．]9．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[∵1<x<4，∴a>eq\f(2x－1,x2)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)))，满足1<x<4的一切x的值恒成立，∵eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1,2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).]三、解答题10．已知二次函数f(x)＝x2＋mx－6(m>0)的两个零点为x1和x2，且x2－x1＝5.(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)<4－2x.[解](1)由题意得：x2＋mx－6＝0(m>0)的两个根为x1和x2，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－m，,x1x2＝－6，))故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2＋24＝25，解得m2＝1，∵m>0，∴m＝1，∴f(x)＝x2＋x－6.(2)由f(x)<4－2x，得x2＋x－6<4－2x，即x2＋3x－10<0，对应方程的两根为－5和2，且对应抛物线开口向上，解得－5<x<2，故不等式的解集是{x|－5<x<2}．11．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解](1)根据题意，得200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000，整理得5x－14－eq\f(3,x)≥0，即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－eq\f(1,5)，又1≤x≤10，所以3≤x≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y元，则y＝eq\f(900,x)·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))eq\s\up12(2)＋\f(61,12)))，故当x＝6时，ymax＝457500.故甲厂以6千克/时的速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元．1．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是()A．－5 B．－eq\f(13,3)C．－4 D．－3C[∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))恒成立，又x∈[1,3]时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤－4，∴a≥－4.故a的最小值为－4.]2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．9[由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋b－eq\f(a2,4).∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－eq\f(a2,4)＝0，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2).由f(x)<c，得－eq\f(a,2)－eq\r(c)<x<－eq\f(a,2)＋eq\r(c)，又f(x)<c的解集为(m，m＋6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m①，,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6②，))②－①，得2eq\r(c)＝6，∴c＝9.]3．已知函数f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为eq\f(\r(2),2)，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.[解](1)∵函数f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，需满足题意，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝2a2－4a≤0，))解得0<a≤1，综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)＝eq\r(ax＋12＋1－a)，由题意及(1)可知0≤a≤1，∴当x＝－1时，f(x)min＝eq\r(1－a)，由题意得，eq\r(1－a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝eq\f(1,2)，∴不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－eq\f(3,4)<0.解得－eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，∴所求不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).1.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是()A．函数f(x)的值域为[－4，＋∞)B．f(x)的零点有4个C．不等式f(x＋2)＜5的解集为(－7,3)D．方程|f(x)|＝4的根有4个ACD[对于A，由于函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)＝x2－4x≥－4，故函数f(x)的值域为[－4，＋∞)，A正确；对于B，当x≥0时，由f(x)＝x2－4x＝0，得x＝0或x＝4.由于函数f(x)为偶函数，故f(x)还有一个零点x＝－4，f(x)的零点有3个，故选项B错误；对于C，当x≥0时，由f(x)＝x2－4x＜5，得0≤x＜5；当x＜0时，根据偶函数图象的对称性知不等式f(x)＜5的解集为{x|－5＜x＜0}，所以不等式f(x)＜5的解集为{x|－5＜x＜5}，所以不等式f(x＋2)＜5的解集为{x|－5＜x＋2＜5}＝{x|－7＜x＜3}，故C正确；作出函数y＝|f(x)|的图象(图略)，易得方程|f(x)|＝4的根有4个，D正确．故选ACD．]2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,－fx，x＜0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．[解](1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－1，,f－1＝a－b＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因为F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0,－fx，x<0))，所以F(2)＋F(－2)＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在x∈(0,1]恒成立，根据单调性可得eq\f(1,x)－x的最小值为0，－eq\f(1,x)－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.

课时分层作业(六)函数的概念及其表示一、选择题1．(2021·重庆育才中学模拟)某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是()ABCDC[由于开始匀速行驶，所以离学校的距离匀速减少，中间一段停留，与学校距离没变，然后加速赶到学校，与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快，故选C．]2．函数y＝eq\f(ln1－x,\r(x＋1))＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1]C[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋1>0，,x≠0，))解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．故选C．]3．设函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)(x≠－1) B．f(x)＝eq\f(1＋x,x－1)(x≠－1)C．f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1) D．f(x)＝eq\f(2x,x＋1)(x≠－1)C[令t＝eq\f(1－x,1＋x)，则x＝eq\f(1－t,1＋t)，∴f(t)＝eq\f(1－t,1＋t)，即f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)．]4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0，,x2－x，x≤0，))若feq(\a\vs4\al\co1(a))＝2，则feq(\a\vs4\al\co1(a＋2))的值可能为()A．1 B．2C．2或－1 D．1或3D[当a>0时，log2a＋1＝2，解得a＝2，当a≤0时，a2－a＝2，解得a＝－1，所以实数a的值是2或－1，∴feq(\a\vs4\al\co1(2＋2))＝f(4)＝log24＋1＝3或f(－1＋2)＝f(1)＝log21＋1＝1，故选D．]5．(多选)(2021·湖北宜昌模拟)下列命题中，正确的命题有()A．函数feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x与g(x)＝eq\r(x2)是同一个函数B．命题“∃x∈[0,1]，x2＋x≥1”的否定为“∀x∈[0,1]，x2＋x<1”C．已知x∈R，则“x>0”是“|x－1|<1”的充分不必要条件D．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<0,2x，x≥0))，则f(1)＋f(－1)＝1BD[对于A,feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x和g(x)＝eq\r(x2)的定义域都为R，而g(x)＝eq\r(x2)＝|x|，对应关系不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以A错误；对于B，“∃x∈[0,1]，x2＋x≥1”的否定为“∀x∈[0,1]，x2＋x<1”，所以B正确；对于C，由|x－1|<1，得0<x<2，因为当0<x<2时，x>0一定成立，而x>0时，不一定有0<x<2，所以“x>0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件，所以C错误；对于D，因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<0,2x，x≥0))，所以f(1)＋f(－1)＝21＋2×(－1)＋1＝1，所以D正确，故选BD．]6．(2021·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞1，,x2－1，x≤1，))则f(x)＜f(x＋1)的解集为()A．(－1，＋∞) B．(－1,1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C[当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－eq\f(1,2)＜x≤0.当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0.∴0＜x≤1恒成立；当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)恒成立．综上，f(x)＜f(x＋1)的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).故选C．]二、填空题7．(2021·山东名校模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则f(2x＋1)的定义域为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))[由－x－x2＞0得－1＜x＜0，所以－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－eq\f(1,2).故f(2x＋1)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).]8．(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，x>2，,|x－3|＋a，x≤2，))若f(f(eq\r(6)))＝3，则a＝__________.2[因为eq\r(6)>2，所以f(eq\r(6))＝6－4＝2，所以f(f(eq\r(6)))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.]9．已知函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋eq\f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.eq\f(7,2)eq\f(9,4)[令x＝2，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\f(1,2)f(－2)＝4，①令x＝－eq\f(1,2)，得f(－2)－