经典力学：第4章 分析力学

§4分析力学§4-1约束和广义坐标§4-2达郎贝尔原理§4-3保守系统的拉格朗日运动方程§4-4多谐振子系统§4-5哈密顿函数和正则方程§4-6泊松括号和泊松定理§4-7哈密顿原理§4-8正则变换§4-9哈密顿-雅科毕理论§4-1约束和广义坐标一、约束与分类1、约束：限制各质点自由运动的条件。2、分类(1)几何约束和运动约束(微分约束)几何约束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0运动约束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0(i=1,2,…k)式中k为约束个数,独立约束的个数≤3n。(2)稳定约束和非稳定约束

稳定约束:约束方程不显含t的约束。非稳定约束:约束方程显含t的约束。例：稳定的几何约束：fi(r1,r2,

…rn

)=0

稳定的运动约束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

)=0

(i=1,2,…k)(3)可解约束和不可解约束不可解约束：约束方程为等式。

可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。例：不可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn,t)=0

可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn,t)≥0或≤0。(4)完整约束和非完整约束非完整约束:有两种情况(a)可解约束;(b)微分约束中若约束方程不能单独积分(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分).

完整约束:除上述两种情况外的约束.今后主要研究受完整约束的力学体系,即研究完整系的力学问题.例1：一球面摆，O点固定；OM为轻刚性杆，杆长为l；M点系一质点，其质量为m。

设O点为直角坐标原点，则质点M的约束方程为：

x2+y2+

z2-

l2=0它是稳定、不可解、几何、完整约束。若O点不固定，在x方向有一恒定速率c，t=0时O点处于坐标原点，则约束方程为:(x–ct)2+y2+

z2-

l2=0它是非稳定、不可解、几何、完整约束。若OM为不可伸长的柔软绳，则约束方程为：O点固定：x2+y2+

z2-

l2≤0O点不固定：(x–ct)2+y2+

z2-

l2≤0它是可解约束。约束空间为以O为球心、l为半径的球体。OMl例2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：

vC

=C（微分约束）积分得：xC

=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x3§4-2达郎贝尔原理一、虚位移

假想的、符合约束条件的、无限小的、即时的位置变更，δr.注意:(1)某一固定时刻,即:dt=0.(2)与实位移dr无关.理解:dr

=δr+

vo

dt

当vo

→∞,dt→0,

dr→δr.BB’B”Adrδrvvodt’vodt”voAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βαAOyxD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα对于非理想约束的处理：理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。具体处理方法是：

把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视为待求的主动力。§4-3拉格朗日方程5.7轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在x方向的运动微分方程。已知抛物线方程为x2=4ay，式中a为常数。ωmgvrxxoy四、拉格朗日方程的应用

拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：对约束的处理使方程数减少；表述形式统一；适用范围普遍；用标量能量函数描述运动易于处理;处理方法可以归纳为一种固定格式，易于掌握。五、非完整约束的拉格朗日方程mlθ§4-4多谐振子系统mgmglly1y2kθ1θ2§4-5哈密顿函数和正则方程一、哈密顿函数例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别写出自由质点在势场U(r)中运动的哈密顿函数.5.7轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在x方向的运动微分方程。已知抛物线方程为x2=4ay，式中a为常数。ωmgvrxxoyωmgvrxxoy§4-6泊松括号和泊松定理§4-7哈密顿原理力学第一性原理1、牛顿定律2、虚功原理3、达朗贝尔原理4、最小作用量原理（1）等时不等能变分——哈密顿原理（2）不等时等能变分——莫培督原理oxyAB若拉格朗日函数为用哈密顿原理可导出完整保守力系的拉格朗日方程为：pABDh2h1irxn1