新高考艺术生数学基础复习讲义 考点48 逻辑联结词及数学归纳法（教师版含解析）

考点48逻辑联结词及数学归纳法知识理解一．简单的逻辑联结词知识理解(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．考向分析考向一命题的否定考向分析【例1】(2021·四川成都市·高三二模(理))命题“，”的否定为()A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：，．故选：C．【举一反三】1．(2021·全国高三月考(理))命题“，”的否定是()A．， B．，C．， D．【答案】B【解析】命题“，”为特称命题，该命题的否定为“，”.故选：B.2．(2021·湖南岳阳市)命题“，”的否定是()A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.故选：C.3．(2021·泰州市第二中学)巳知命题：，，则命题的否定为()A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】命题：，，则命题的否定为，.故选：B考向二逻辑连接词求参数【例2】(2021·全国高三专题练习)若命题“”是假命题，则实数a的范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】若命题“”是假命题，则命题“”是真命题，当时，，所以.故选：A.【举一反三】1．(2021·天水市第一中学高三月考(理))已知命题，.若为假命题，则的取值范围为()A． B． C． D．【答案】A【解析】为假命题，，为真命题，故恒成立，在的最小值为，∴.故选：A.2．(2020·北京人大附中高三月考)若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是()A．[1，+∞) B．[0，+∞) C．(，1) D．(，0]【答案】A【解析】命题“，使得成立”为假命题,则它的否定命题:“，”为真命题所以解得，所以实数a的取值范围是故选：A.3．(2020·江西高三期中(文))存在，使得，则的最大值为()A．1 B． C． D．-1【答案】C【解析】由不等式，可化为，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以函数的最大值为，要使得存在，使得，则，则的最大值为.故选：C.考向三数学归纳法【例3-1】(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C.【例3-2】．(2020·全国高三专题练习)设等比数列满足.(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，，，证明见解析；(2).【解析】(1)由题意，等比数列满足，可得，，，猜想的通项公式为，证明如下：(数学归纳法)当时，显然成立；①假设时，即成立；其中，由②故假设成立，综上(1)(2)，数列的通项公式.(2)令，则前项和①由①两边同乘以2得：②由①②的，化简得.【举一反三】1．(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是()A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.2．(2021·全国高三专题练习)设集合Tn＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n∈N*)，将Tn的所有3元子集(含有3个元素的子集)中的最小元素的和记为Sn．(1)求S3，S4，S5的值；(2)试求Sn的表达式．【答案】(1)S3＝1，S4＝5，S5＝15；(2).【解析】(1)当n＝3时，T3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S3＝1；当n＝4时，T4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S4＝1×3+2＝5；当n＝5时，T5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，．(2)由S3＝1，S4＝5，S5＝15，S6＝35…归纳猜想出(n≥3)．下面用数学归纳法证明猜想：①当n＝3时，S3＝1＝，结论成立；②假设n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即Sk＝，则当n＝k+1时，Tk+1＝{1，2，3，4，…，k，k+1}，∴当n＝k+1时，结论成立．综上：由①②可得．强化练习强化练习1．(2021·涡阳县育萃高级中学)已知命题，，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】命题为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：：故选：B2．(2021·漠河市高级中学高三月考(文))下列说法正确的是()A．若为真命题，则为真命题B．命题“若，则”的否命题是“若，则”C．“”是“”的充要条件D．若：，，则：，.【答案】D【解析】对于A选项，若为真命题，可能真假，则为假，故A选项错误.对于B选项，命题“若，则”的否命题是“若，则”，故B选项错误.对于C选项，当时，，所以“”不是“”的充要条件，C选项错误.根据全称量词命题的否定的知识可知，D选项正确.故选：D3．(2021·全国高三专题练习)下列关于命题的说法中正确的是()①对于命题P：，使得，则，均有②“”是“”的充分不必要条件③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”④若为假命题，则､均为假命题A．①②③ B．②③④C．①②③④ D．①③【答案】A【解析】①对于命题，使得，则均有，故①正确；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，则“”是“”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故③正确；④若为假命题，则，至少有一个为假命题，故④错误．则正确的命题的有①②③．故选：A4．(2021·河南高三其他模拟(文))命题“”的否定为()A． B．C． D．【答案】C【解析】命题“”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“”.故选：C.5．(2021·山东菏泽市·高三一模)命题“”的否定是()A． B．C． D．【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：，的否定是：，.故选：C6．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))设命题，，则为()A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命题为全称命题，该命题的否定为，.故选：D.7．(2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)“”是“，是假命题”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“，是假命题”可得命题“，是真命题”当时，即时，不等式恒成立；当时，即时，则满足，解得，综上可得，实数，即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，又由“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，故选：B.8．(2021·全国高三专题练习)若命题“时，”是假命题，则的取值范围()A． B． C． D．【答案】D【解析】若命题“，时，”是假命题，则命题“，时，”是真命题,则，设，当时，,则.故选：D．9．(2020·江苏海门市·高三月考)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是()A． B． C． D．【答案】D【解析】“”为真命题，可得，因为，故选:D.10．(2021·全国高三专题练习)已知命题“，”是假命题，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为命题“，”是假命题，所以对恒成立，所以恒成立．因为，所以，则，故．故选：A11．(2020·全国高三专题练习)用数学归纳法证明“”，从“k到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，等式的左边，当时，等式的左边，所以当从“到”左端增乘的代数式为.故选：B.12．(多选)(2021·恩施市第一中学)下列命题正确的有()A．命题“，”的否定是“，”．B．函数向右平移个单位得到函数解析式为．C．函数的零点为，．D．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角．【答案】AB【解析】对A，根据全称命题的否定性质，A为正确的；对B，向右平移个单位得到函数；对C，函数零点是数而不是点，故C错误；对D，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D错误；故选：AB.13．(多选)(2021·全国高三专题练习)下列命题中正确的是()A．， B．，C．， D．，【答案】BD【解析】对于选项A：当时，，所以恒成立，故选项A不正确；对于选项B：当时，，且，所以，故选项B正确；对于选项C：当时，，，则，故选项C不正确；对于选项D：当时，，由对数函数和指数函数的性质可知，当时，，故选项D正确；故选：BD14．(多选)(2021·全国高三专题练习)若，使得成立是假命题，则实数可能取值是()A． B． C．3 D．【答案】AB【解析】由条件可知，是真命题，即，即，设等号成立的条件是，所以的最小值是，即，满足条件的有AB.故选：AB15．(2021·江西高三其他模拟(文))已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】因为命题“存在，使”是假命题，所以命题“，使得”是真命题，当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；当时，得，解得.故答案为：16．(2021·全国高三专题练习)若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．【答案】【解析】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，设，，易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：．17．(2020·江西高三其他模拟(文))若命题，为假命题，则m的取值范围是______．【答案】【解析】命题，为假命题，：，为真命题，则，解得，即m的取值范围是.故答案为：.18．(2020·北京密云区·高三期中)若“，使得.”为假命题，则实数a的最大值为___________.【答案】3【解析】由“∃x0>1，使得.”为假命题，可知，“”为真命题，恒成立，由，当且仅当时取等号，即a的最大值为3.故答案为：3.19．(2021·湖南永州市·高三二模)若对，都有，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】解：因为，都有，所以，都有，令，，因为，在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围是；故答案为：20．(2020·全国高三月考(文))已知命题，，命题；若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】设命题，成立对应的的范围为集合，若，，则，所以而，当且仅当，即时等号成立，所以，故，所以，因为是的充分不必要条件，所以，所以，即实数的取值范围为.故选答案为：21．(2020·凌海市第二高级中学高三月考)命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】命题“”为真命题，且，，则，故实数的取值范围是.故答案为：.22．(2020·上海徐汇区·高三一模)用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项(填多少项即可)．【答案】5【解析】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.故答案为：523．(2020·浙江高三其他模拟)用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.【答案】【解析】当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是24．(2021·全国高三专题练习)设数列满足，.(1)计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；(2)记，求数列的前n项和.【答案】(1)，，；证明见解析；(2).【解析】(1)由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；(2)因为.∴，①，②①-②得：.∴.25．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足：，点在直线上.(1)求，，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.【答案】(1)，；(2)证明见解析.【解析】(1)因为点在直线上所以，因为，故，，，由上述结果，猜想：.(2)，当时，成立，，假设当时，成立，那么，当时，成立，由，可得.26．(2