圆与相似三角函数综合问题-2022年中考数学压轴题（原卷）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题14圆与相似三角函数综合问题

【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【例3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．（1）求证：；（2）设，求的面积（用的式子表示）；（3）若，求的长．【例4】（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．【例5】（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．【例6】（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H．（1）求证：是的切线；（2）当时，求的值．【题组一】1．（2021·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．(1)求证：AE＝AF．(2)若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．2．（2021·广东韶关·一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．3．（2021·广东花都·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径．(1)尺规作图：作∠ABD＝∠ABC，与⊙O交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接CD交AB于点E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半径长．4．（2021·广东深圳·三模）如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．(1)求证：FD＝FC；(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长．【题组二】5．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．(1)求证：AC为⊙O切线．(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．6．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．7．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，．（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．①求证：；②若，，求的长．8．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．【题组三】9．（2021·广东·西南中学三模）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．求证：（1）DP＝AB；（2）DE为半圆O的切线；（3）连结OE，求tan∠BOE的值．10．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）求证：AF平分∠BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．11．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）已知是圆直径，点为圆上一点，于，过作切线，交延长线于．（1）求证：为圆切线；（2）连接并延长交于，若为弧中点，，求．12．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，已知，在ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半径．【题组四】13．（2020•西乡塘区模拟）如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．（1）求∠EAM的度数；（2）求证：AC2＝2BM•OB；（3）若OA=3，求△CNE14．（2020•黄石模拟）如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若DF＝22，∠F＝45°，求由线段BF、FD及BD所围成的图形（阴影部分）面积．（3）若tanA=13，BD＝1，求15．（2020•路北区二模）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）半圆O上；当AE=AF时，tan∠AEF的值是1（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．16．（2020•博罗县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD＝∠A，连接BE，交CG于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝BF•BE；（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．【题组五】17．（2020•成华区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接BC，求证：BC2＝2BE•BO；（3）当BD=185，sin∠F=318．（2020•姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE⊥AB；（2）求证：DF2＝FH•FC；（3）若DH＝9，tanC=34，求半径19．（2020•惠城区校级二模）如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．（1）求证：AB•CD=14AC（2）如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；（3）如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．20．（2020•石家庄模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．（1）AG＝6；（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；②当半圆O'交BC于P，R两点时，若PR的长为53π，求此时半圆O'与正方形ABCD③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．【题组六】21．（2020•天台县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作▱ABCE，点E在⊙O内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；（3）求证：△CDF～△AEF；（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．22．（2020•越秀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=43，BE＝72，求线段23．（2020•苍溪县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．24．（2020•宁波模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90