大学数学工程数学线性代数教材

(完好版)大学数学工程数学线性代数教材(完好版)大学数学工程数学线性代数教材PAGEPAGE51(完好版)大学数学工程数学线性代数教材PAGE第一章n阶队列式

在初等数学中议论过二阶、三阶队列式，而且利用它们来解二元、

三元线性方程组.为了研究n元线性方程组，需要把队列式推行到n阶，即议论n阶队列式的问题.为此，下边先介绍全摆列等知识，然

后引出n阶队列式的观点.

§1全摆列及其逆序数

先看一个例子.

引例用1、2、3三个数字，能够构成多少个没有重复数字的三

位数？

解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不一样的放法？

明显，百位上能够从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3

种放法；十位上只好从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；

个位上只好放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法.所以，共有

3216种放法.

这六个不一样的三位数是：

123，132，213，231，312，321.

在数学中，把观察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述问题就是：把3个不一样的元素排成一列，共有几种不一样的排法？

关于n个不一样的元素，也能够提出近似的问题：把n个不一样的元素排成一列，共有几种不一样的排法？

把n个不一样的元素排成一列，叫做这n个元素的全摆列，简称排

.

n个不一样元素的全部摆列的种数，往常用Pn表示.有引例的结果可知P3=3.2.1=6.1为了得出计算Pn的公式，能够模仿引例进行议论：从n个元素中任取一个放在第一个地点上，有n种取法；又从剩下的n－1个元素中任取一个放在第二个地点上，有n－1种取法；这样持续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个地点上，只Pn=n.〔n－1〕.⋯.3.2.1=n!.关于n个不一样的元素，我们规定各元素之间有一个标准序次〔例如n个不一样的自然数，可规定由小到大为标准序次〕，于是在这n个元素的任一摆列中，当某两个元素的先后序次与标准序次不一样时，就说有1个逆序.一个摆列中全部逆序的总数叫做这个摆列的逆序数.逆序数为奇数的摆列叫做奇摆列，逆序数为偶数的摆列叫做偶排.下边我们来议论计算摆列的逆序数的方法.不失一般性，不如设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准序次.设p1p2pn为这n个自然数的一个摆列，考虑元素pi(i1,2,,n)，假如比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti.全体元素的逆序数之总和ntt1t2tnti，i1即是这个摆列的逆序数.1求摆列32514的逆序数.解在摆列32514中，23排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3〞，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5〞，故逆序数为3；4的前面比4大的数只有一个“5〞，故逆序数为1；于是摆列的逆序数为t010315.§2n阶队列式的定义为了给出n阶队列式的定义，我们先研究三阶队列式的构造.三阶队列式定义为：a11a12a13a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a11a23a32a12a21a33a13a22a31.(1)简单看出：①〔1〕式右侧的每一项都正是三个元素的乘积，这三个元素位于不一样的行、不一样的列.所以，〔1〕式右端的随意项除正负号外能够写成a1p1a2p2a3p3.这里第一下标〔称行标〕排成标准摆列123，而第二个下标〔称列标〕排成p1p2p3，它是1、2、3三个数的某个摆列.这样的摆列共有6种，对应〔1〕式右端共含6项。②各项的正负号与列标的摆列比较：带正号的三项列标摆列是：123，231，312；带负号的三项列标摆列是：132，213，321.经计算可知前三个摆列都是偶摆列，尔后三个摆列都是奇摆列.3所以各项所带的正负号能够表示为(1)t，此中t为列标摆列的逆序.总之，三阶队列式能够写成a11a12a13a21a22a23(1)ta1pa2pa3p，123a31a32a33此中t为摆列ppp的逆序数，表示对1、、3三个数的全部1232摆列p1p2p3取和.仿此，我们能够把队列式推行到一般情况.定义设有n2个数，排成n行n列的表a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,作出表中位于不一样行不一样列的n个数的乘积，并冠以符号(1)t；得到形如(1)taaanp(2)1p12p2n的项，此中p1p2pn为自然数1,2,,n的一个摆列，t为这个摆列的逆序数.因为这样的摆列共有n!个，因此形如〔2〕式的项共有n!项.4全部这n!项的代数和(1)ta1pa2p2anpn1称为n阶队列式，记作a11a12a1nDa21a22a2n，an1an2ann简记作det(aij).数aij称为队列式的元素.按此定义的二阶、三阶队列式，与对角线法那么定义的二阶、三阶队列式，明显是一致的.当n1时，|a|a，注意这里|a|不是a的绝对值.例2证明对角线队列式〔此中对角线上的元素都是i，未写出的元素都是0〕12n；12n12n(n1)(1)2n.12n5证第一式是明显的，下边证第二式.假定记iai,ni1,那么依队列式定义1a1n2a2,n1nan1(1)ta1na2,n1an1(1)t12n,此中t为摆列n(n1)21的逆序数，故t012(n1)n(n1).证毕2对角线以下〔上〕的元素都为0的队列式叫做上〔下〕三角队列式，它的值与对角队列式相同.例3证明下三角队列式a11a21a220ann.Da11a22an1an2ann证因为当ji时，aij0，故D中可能不为0的元素aipi，其下标应有pii，即p11,p22,,pnn.在全部摆列p1p2pn中，能知足上述关系的摆列只有一个自然6摆列12n，所以D中可能不为0的项只有一项(1)ta11a22ann，此项的符号(1)t(1)01，所以Da11a22ann.例4设a11a1k0Dak1akkc11c1kb11b1ncn1cnkbn1bnna11a1kD1det(aij)ak1akkb11b1nD2det(bij)bn1bnn证明DD1D2.证记Ddet(dij)，此中dijaij，(i1,,k;j1,,k)7dki,kjbij，(i1,,n;j1,,n).观察D的一般项(1)td1rddk1,r1dkn,rn,krkk1k因为当ik,jk时，dij0，所以r1,,rk只有在1,,k中选用时，该项才可能不为零.而当r1,,rk在1,,k中选用时，rk1,,rkn只好在k1,,kn中选用.于是D中可能不为零的项能够记作(1)ta1pakpb1qbnq.1k1n这里，piri,qirk1k，而l为摆列p1pk(kq1)(kqn)的逆序数.以t、s分别表示摆列p1pk及q1qn的逆序数，应有lts.于是D(1)tsa1pakpb1q1bnqnp1pkq1qn1k(1)ta1pakpk(1)sb1q1bnqnp1pkq1qn8(1)ta1pakpD2p1pk1k(1)ta1pakpD2p1pk1kD1D2.§3对调为了研究n阶队列式的性质，我们先来议论对调以及它与摆列的奇偶性的关系.在摆列中，将随意两个元素对调，其他的元素不动，这类作出新摆列的手续叫做对调.将相邻两个元素对调，叫做相邻对调.定理1一个摆列中的随意两个元素对调，摆列改变奇偶性.证先证相邻对调的情况.设摆列为a1alabb1bm，对调a与b，变成a1albab1bm.明显，a1al；b1bm这些元素的逆序数经过对调其实不改变，而a、b两元素的逆序数改变成：当ab时，经对调后a的逆序数增添1而b的逆序数不变；当ab时，经对调后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以摆列a1alabb1bm与摆列a1albab1bm的奇偶性不一样.再证一般对调的情况.设摆列为a1alab1bmbc1cn，把它作m次相邻对调，调成a1alabb1bmc1cn，再作m1次相邻对调，调成9a1albb1bmac1cn.总之，经过2m1次相邻对调，摆列a1alab1bmbc1cn调成摆列a1albb1bmac1cn，所以这两个摆列的奇偶性相反.推论奇摆列调成标准摆列的对调次数为奇数，偶摆列调成标准摆列的对调次数为偶数.证由定理1知对调的次数就是摆列奇偶性变化的次数，而标准摆列是偶摆列〔逆序数是0〕，所以得悉推论建立.证毕利用定理1，我们来议论队列式定义的另一种表示法.关于队列式的任一项(1)ta1paipiajpjanp，1n此中1ijn为自然摆列，t为摆列p1pipjpn的逆序数，对调元素aipi与ajpj成(1)ta1pajpjaipianp，1n这时，这一项的值不变，而行标摆列与列标摆列同时作了一次相应的对调.设新的行标摆列1jin的逆序数为t1，那么(1)t1(1)t.故(1)t(1)rt1，于是(1)ta1p1aipiajpjanp(1)rt1a1pajpjaipianp.n1n这就说明，对调乘积中两元素的序次，进而行标摆列与列标摆列同时作出了相应的对调，那么行标摆列与列标摆列的逆序数之和其实不改变奇偶性.经过一次对调这样，经过频频对调仍是这样.于是，经过10假定干次对调，使：列标摆列p1p2pn〔逆序数为t〕变成自然摆列〔逆序数为0〕；行标摆列那么相应地从自然摆列变成某个新的摆列，设此新摆列为q1q2qn，其逆序数为s，那么有(1)ta1p1a2p2anpn(1)saq11aq22aqnn.又，假定pij，那么qji〔即aipiaijaqj〕.可见摆列jq1q2qn由摆列p1p2pn所独一确立.由此可得定理2n阶队列式也可定义为D(1)tap1ap2apnn，12此中t为行标摆列p1p2pn的逆序数.证按队列式定义有D(1)ta1p1a2p2a3p3anpn，记D1(1)tap11ap22ap33apnn.按上边议论知：关于D中任一项(1)taaaa，总有1p2p23p3npn1且仅有D1中的某一项(1)saq11aq22aq33aqnn与之对应并相等；反之，关于D1中的任一项(1)tap11ap22ap33apnn，也总有且仅有D中11的某一项(1)sa1qa2qa3q3anq与之对应并相等，于是D与D1中的12n项能够一一对应并相等，进而DD1.§4队列式的性质记a11a12a1na11a21an1Da21a22a2n，Da12a22an2，an1an2anna1na2nann队列式D称为队列式D的转置队列式.性质1队列式与它的转置队列式相等.证记Ddet(aij)的转置队列式b11b12b1nDb21b22b2n，bn1bn2bnn即bijaji,(i,j1,2,,n)，按定义D(1)tb1p1b2p2bnpn(1)tap1ap2apn.12n而由定理2，有12D(1)tap1ap2apn，12n故DD.证毕由此性质可知，队列式中的行与列拥有相同的地位，队列式的性质凡是对行建立的对列也相同建立，反之亦然.性质2交换队列式的两行〔列〕，队列式的值改变符号.证设队列式b11b12b1nb21b22b2nD1bn1bn2bnn是由队列式Ddet(aij)交换i,j两行获得的，即当ki,j时，bkpakp；当ki,j时，bipajp，bjpaip.于是D1(1)tb1pbipibjpjbnp1n(1)ta1pajpiaipjanpn1(1)ta1paipjajpianp,1n此中1ijn为自然摆列，t为摆列p1pipjpn的逆序数.设摆列p1pjpipn的逆序数为t1，那么(1)t(1)t1，故D1(1)t1a1paipjajpianpnD.证毕1以ri表示队列式的第i行，以ci表示队列式的第i列.交换i,j两13行记作rirj，交换i,j两列记作cicj.推论假如队列式有两行〔列〕完好相同，那么此队列式为零.证把完好相同的两行〔列〕交换，有DD，故D0.性质3队列式的某一行〔列〕中全部的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此队列式.第i行〔或列〕乘以k，记作rik〔或cik〕.性质4队列式中假如有两行〔列〕元素成比率，那么此队列式的值等于零.性质5假定队列式的某一列(行)的元素都是两数之和，比如a11a12(a1ia1'i)a1nDa21a22(a2ia2'i)a2n，an1an2(ania'ni)ann那么D等于以下两个队列式之和：a11a12a1ia1na11a12a1'ia1na21a22a2ia2na21a22a2i'a2n.Dan1an2aniannan1an2ani'ann性质6把队列式的某一列〔行〕的各元素乘以同一数而后加到另一列〔行〕上去，队列式的值不变.比如以数k乘第j列加到第i列上去〔记作cikcj〕，有14a11a1ia1ja1na21a2ia2ja2nan1anianjanna11(a1ika1j)a1ja1na21(a2ika2j)a2ja2n,(ij).cikcjan1(anikanj)anjann〔以数k乘第j行加到第i行上，记作rikrj〕性质3至性质6的证明，请读者自行达成.这些性质可用于简化队列式的计算.例5计算3112D5134201.11533解15例6计算31111311D13.111113解这个队列式的特色是各列4个数之和都是6.今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，而后各行减去第1行：16例7计算abcdDaababcabcda2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd解从第4行开始，后行减前行：§5队列式按行〔列〕睁开一般说来，廉价队列式的计算比高价队列式的计算要简易，于是，我们自然地考虑到用廉价队列式来表示高价队列式的问题.为此，先引进余子式和代数余子式的观点.17在n阶队列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n1阶队列式叫做元素aij的余子式，记作Mij；记Aij(1)ijMij，Aij叫做元素aij的代数余子式.比如四阶队列式a11a12a13a14a21a22a23a24Da31a32a33a34a41a42a43a44中元素a32的余子式和代数余子式分别为a11a13a14Ma21a23a24，a41a43a44A(1)32M32M32.32引理一个n阶队列式，假如此中第i行全部元素除aij外都为零，那么这个队列式等于aij与它的余子式的乘积，即DaijAij.18先aij位于第1行第1列的情况，此a11000a21a22a2nD.an1an2ann是例4中当k1的特别情况，照例4的，即有a11M11.又A11(1)11M11M11，进而Da11A11.再一般情况，此a11a1ja1nD0aij0.an1anjann了利用前面的果，把D的队列作以下：把D的第i行挨次与第i1行、第i2行、⋯、第1行，aij就到本来a1j的地点上，的次数i1.再把第j列挨次与第j1列、第j2列、⋯、第1列，aij就到左上角，的次数j1.19总之，经过ij2次对调，把aij调到左上角，所得的队列式D1(1)ij2D(1)ijD，而元素aij在D1中的余子式仍旧是aij在D中的余子式Mij.因为aij位于D1的左上角，利用前面的结果，有D1aijMij，于是D(1)ijD1(1)ijaijMijaijAij.定理3队列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n),或DaAaAaA(j1,2,,n).1j1j2j2jnjnj证a11a12a1nD000ai2000ainai1an1an2ann20a11a12a1na11a12a1nai1000ai20an1an2annan1an2anna11a12a1n00ain，an1an2ann依据引理可知Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)近似地，假定按列证明，可得Da1jA1ja2jA2janjAnj(i1,2,,)证毕n这个定理叫做队列式按行〔列〕睁开法那么.利用这一法那么并联合队列式的性质，能够简化队列式的计算.下边，我们用此法来计算例5的队列式31125134D01.211533我们保留a33，把第3行其他元素变成0，而后按第3行睁开：21例8计算aba0babD2n00.cdc0dcd2n解按第1行睁开，有22adD2(n1)bc(1)2n11D2(n1)(adbc)D2(n1)，以此作递推公式，即可得D2n(adbc)D2(n1)(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2(adbc)n1abbc)n.c(add23例9证明范德蒙队列式111x1x2xnDnx12x22xn2(xixj).(3)nij1x1n1x2n1xnn1此中记号“〞表示全体同类因子的乘积.证用数学概括法.因为D211x2x1(xixj)，x1x22ij1所以当n2时〔3〕式建立.此刻假定〔3〕式关于n1阶范德蒙行列式建立，要证〔3〕式对n阶范德蒙队列式也建立.为此，想法把Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有11110x2x1x3x1xnx1Dn0x2(x2x1)x3(x3x1)xn(xnx1)，0x2n2(x2x1)x3n2(x3x1)xnn2(xnx1)按第1列睁开，并把每列的公因子〔xix1〕提出，就有24111Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)x2x3xn.x2n2x2n2x2n2上式右端的队列式是n1阶范德蒙队列式，按概括法假定，它等于全部〔xixj〕因子的乘积，此中nij2.故Dn(x2x1)(x3x1)(xnx1)(xixj)nij2.(xixj)证毕nij2由定理3，还可得下述重要推论：推论队列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,ij，或a1iA1ja2iA2janiAnj0,ij.证把队列式Ddet(aij)按第j行睁开，有25a11a1nai1ainaj1Aj1aj2Aj2ajnAjn,aj1ajnan1ann在上式中把ajk换成aik(k1,,n)，可得a11a1nai1ain第i行ai1Aj1ai2Aj2ainAjnai1ain第j行an1ann当ij时，上式右端队列式中有两行对应元素相同，故队列式为零，即得ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0,(ij)上述证法如按列进行，可得a1iA1ja2iA2janiAnj0,(ij)证毕26§6克莱姆法那么含有n个未知数x1,x2,,xn的n个线性方程的方程组a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2,(4)an1x1an2x2annxnbn,与二、三元线性方程组相近似，它的解能够用n阶队列式表示，即有克莱姆法那么假如线性方程组〔4〕的系数队列式不等于零，即a11a1nD0，an1ann那么，方程组〔4〕有独一解x1D1,x2D2,,xnDn,DDD〔5〕此中Dj(j1,2,,n)是把系数队列式D中第j列的元素用方程组右端的自由项取代后所获得的n阶队列式，即a11a1,j1b1a1,j1a1nDj.an1an,j1bnan,j1ann证用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj挨次乘方27程组〔4〕的n个方程，再把它们相加，得nnnak1Akjx1akjAkjxjaknAkjxnk1k1k1nbkAkj,k1依据代数余子式的重要性质可知，上式中xj的系数等于D，而其他xi(ij)的系数均为0；又，等式右端即是Dj.于是DxjDj,(j1,2,,n).〔6〕当D0时，方程组〔6〕有独一的一个解〔5〕.因为方程组〔6〕是由方程组〔4〕经乘数与相加两种运算而得，故〔4〕的解必定是〔6〕的解。今〔6〕仅有一个解〔5〕，故〔4〕假如有解，就只好是解〔5〕.为证明〔5〕是方程组〔4〕的独一解，还需考证解〔5〕确是方程组〔4〕的解，也就是要证明D1D2Dnbi,(i1,2,,n)，ai1ai2ainDDD为此，考虑有两行相同的n1阶队列式biai1ainb1a11a1n(i1,2,,n)，bnan1ann它的值为0.把它按第1行睁开，因为第1行中aij的代数余子式为28b1a11a1,j1a1,j1a1n(1)1j1，bnan1an,j1an,j1ann(1)j2(1)j1DiDj,所以有0biDai1D1ainDn，即ai1D1ai2D2ainDnbi,(i1,2,,n).DDD例10解线性方程组2x1x25x3x48,x13x26x49,2x2x32x45,x14x27x36x40.解3327,722981519306D12181,52047628511906D251108,02107621811396D32527,02140621581309D42127,051470于是得x13,x24,x31,x41.克莱姆法那么有重要的理讲价值，撇开求解公式〔5〕，克莱姆法那么可表达为下边的重要定理.定理4假如线性方程组〔4〕的系数队列式D0，那么〔4〕一定有解，且解是独一的.定理4的逆否定理为定理4'假如线性方程组〔4〕无解或有两个不一样的解，那么它的30系数队列式必为零.线性方程组〔4〕右端的自由项b1,b2,,bn不全为零时，线性方程组〔4〕叫做非齐次方程组，当b1,b2,,bn全为零时，线性方程组〔4〕叫做齐次方程组.关于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,〔7〕an1x1an2x2annxn0.x1x2xn0必定是它的解，这个解叫做齐次方程组〔7〕的零解.假如一组不全为零的数是〔7〕的解，那么它叫做齐次方程组〔7〕的非零解.齐次方程组〔7〕必定有零解，但不必定有非零