2018年数学选修2-1试题练习Ⅲ

2018年数学选修2-1试题练习III单选题(共5道)1、若函数f(X)的导函数为f(x)=-sinx,则函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A90°B0°C锐角D钝角2、在直二面角a-1-0中，AGa,Bep,A,B都不在l上，AB与a所成角为x,AB与p所成角为y,AB与1所成角为z,则cos2x+cos2y+sin2z的值为()B2C3D-F3、曲线y="sinx+e"x在点(0，1)处的切线方程是()Ax－3y+3=0Bx－2y+2=0C2x－y+1="0"D3x－y+1=04、若曲线f(x)=ax2+1nx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是()AaHOBa20CaVODaWR5、方程一+—=1表示的图形是（）l.vl1聞A一条直线B两条平行线段C一个正方形D一个正方形（除去四个顶点）简答题（共5道）6、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1,CC1的中点，求异面直线7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ZDAB二ZABC二—,且AB=BC=2AD=2，侧面PAB丄底面ABCD，^PAB是等边三角形.（1）求证：BD丄PC；（2）求二面角B-PC-D的大小.8、设点P(xO,y0)在直线x=m(yH土m,OVmVl)上，过点P作双曲线x2-y2=l的两条切线PA、PB，切点为A、B,定点M(―,0),(1)求证：三点A、M、B共线；(2)过点A作直线x-y=O的垂线，垂足为N，试求AAMN的重心G所在曲线方程。9、如图，在四棱锥m二中，底面士二j是正方形，侧面-底面三「二，三，F分别为三二，三二中点，一二上“二二=二;=匚.求证：三厂〃平面.-3C；求二面角E-DF-A的余弦值；在棱乂上是否存在一点0,使笛一平面匚■，？若存在，指出点。

10、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PAI平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2，10、(1)求证：BD丄平面PAC；(2)求二面角E-AF-C的大小.填空题(共5道)11、已知向量；二(1,1,0),b=(-1,0,AP=2．2),且也+4AP=2．2),且也+4与2©-b互相垂直,12、如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正

方体中，①AB与CD相交；②MN〃PQ:③AB〃PE；@MN与CD异面；⑤MN〃平面PQC.其中真命题的是（填序号）．ifi.已知点E.『分用在正为嫌ABCD"州耳KMSBSrCC.上.K^£=2£BfCF=2fC.,礙13、底FW瞪疔商翊二丽电的正切何等于.-?：'，，；'14、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是15、若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）。(0,¥)'故选C答案：tc解：过A、B分别作AC丄l于C,BD丄l于D,过B作直线平行于1,过C作直线平行于BD,两直线交于E,连接AD、AC、AE•因a—1—B为直二面角，BD在0上，1=a"0,BD丄1,故BD丄a.同理AC丄0.又ZBAD.ZABC分别为AB与a、0所成的角，有ZBAD=x,ZABC=y.又EC//BD,EC丄1,AC丄0,jn2r厂2ap2有AE丄1,AE丄BE,ZEBA二z.・・.cos2x+cos2y+sin2z="'"=2故选B.AB-AB-AE-答案：C答案：C答案:tc解：x>0,y>0,方程一+一=1为x+y=l;x>0,yv0,方程一+—=1为x-y=1;\x\\y\\x\\y\xv0,y>0,方程一+―=1为-x+y=l;xv0,yv0,方程一+—=1为-x+-y=l;.・

1.11lyl\x\\y\方程丄圧=1表示的图形是一个正方形（除去四个顶点）.故选：D.1x11护11-答案：取DD1的中点G,可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF//AG,则ZGAE是异面直线AE与BF所成的角.连GF,设正方体棱长为a,方一一上、,•:•:•••ZBCO二ZDBA,・・・BD丄OC,・・・BD丄PC.(2)取PC中点E,连接BE,DE,TPB二BC,・・・BE丄PC,又TBD丄PC,BEGBD二B,•PC丄平面BDE,・・・PC丄DE,・・・ZBED就是二面角B-PC-D的平面角.TAB二BC=2AD=2,ZABC二—，・・・BE二PF二-PC"厂,PD二BD=厂,・・.DE"厂，・・.BE2+DE2二BD2,・・.ZBED二—.即二面角B-PC-D的大小为：—•答案：解：(1)设4〔知刃』〔花必)，由已知得到F必工。,且吒=1■芯-yl=-,设切线PA的方程为：耳-皿心，由；"得I：冷工础*IJj-ZTYi?-X',从而儿-用〔门-匕$-比-⑺-门，解得一「，因此PA的方程为：："巧L,同理PB的方程为：-Jg：,又在PA、PB上，所以讣=*叫1：畑=炳L,即点*」宵仏①都在直线儿丁-―上，又A/.l.n）也在直线儿丁-―上，所以三点A、M、B共线。⑵垂线AN的方程为：f+】，由厂；=「得垂足川『于，，即为重心G所在曲线方程。觀觀iw9答案：（I）详见解析，（II）罕（III）不存在•试题分析：（I）证明线面平行，关键在于找出线线平行•本题条件含中点，故从中位线上找线线平行•三，F分别为三二，三二中点，在△_二—「中，三是邑中点，「是上:？中点，所以又因为W二平面三匸，乂二平面.-3C，所以三二〃平面.-3C.（II）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面一二上二—底面-二::二，可得底面-二匚二的垂线，再作DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小•首先建立空间坐标系.取-<3中点.由侧面.-■<；—底面三匚二易得.-■：?_面三『二.以匸为原点分别为—匸轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（III）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否上因为底面三匚是正方形，所以三匸与三二互相平分.又因为F是三二中点,所以f是「中点.在中，是三二中点，是V中点，所以又因为三F二平面三「，壬「二平面?BC，所以三F〃平面.-3C.4分(II)取-二中点。.在△一二J中，因为3，所以_P7__口.因为面H_底面三『二，且面三二面三二＞上二，所以匸£_面三『二.因为二平面三二j所以一P_•防.又因为F是上匸中点，所以三二丄，一1.二〕，二一1.J，「芒，二丄U.于是-上=u，22;--工，育一…•因为：二—面一二匚二，所以尸一「V是平面三＜3的一个“一_n[花_轴一工法向量.设平面酣Q的一个法向量是h=因为‘―’所以T柘即[nDE-0^^-—3-0:令疋-1则—jt-尸).所以丽”m_哉L糧—学•由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余弦值为疳.10分(III)假设在棱乂上存在一点。，使OF_面三二F.设...--.，则fc-.-...-.由(II)可知平面&二「的一个法向量是「一「症.因为2=_面，所以d”于是，•.-...-一_---上.，即--...--心.•又因为点&在棱5C■上，所以M与pl共线•因为t一一甘，空一「广…,所以二二亍二-丐.所以:-,，无解•故在棱口亡上不存在一点&，使面三F成立.14分・・・PA丄BDTPAGAC二A・・・BD丄平面PAC；(2)解：以A为原点，如图所示建立直角坐标系，则A(0,0,0),E(2,1,0)，F(1，1，1)・••齐二⑵I，I，I)设平面FAE法向量为花[2r+v=0—、(x,y,z),则，•可取丨|・.・汕=二」"'，.\cos0=|、^.T+y+c=0話汙日亍十耳所以0=卩，即二面角E-AF-C的大小为£.(1)证明：•・•底面ABCD为正方形，・・・AC丄BDTPA丄平面ABCD,•PA丄BDTPAGAC二A・・・BD丄平面PAC；(2)解：以A为原点，如图所示建立直角坐标系，则A(0,0,0),E(2,1,0),F(1,1,1)・••石丨，I，||设平面FAE法向量为；二f2.T+y—0—、(x,y,z),则，•：可取■■=11?-二，I|?"SAcos0=|匕+尸+忑=0冷台日亍十牡所以0』，即二面角E-AF-C的大小为-1-答案：二解：•.•向量=(1,1,0),-=(-1,0,2),・•・&+：二(k-1,k,2),2~-7

=(3,2,-2)**k+b与2盘-b互相垂直，则(kf』+b)((2口-b)=3(k_l)+2k-4=5k-7=0解得k二寸故答案为：可2-答案