江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学含含

江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学含含江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学含含江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学含含2019届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参照公式：锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面积，h为高．圆锥侧面积公式：S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1.已知会集A＝{0，1，2}，会集B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．2.函数f(x)＝lg（3－x）的定义域为________．3.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同样的数，则这2个数的和为6的概率是________．4.依照以下列图的伪代码，最后输出的i的值为________．5.已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．26.抛物线y＝8x的焦点到双曲线2x－162y＝1渐近线的距离为________．97.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a6＝－a312，则S6＝________．S38.已知函数f(x)＝1xx－22，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．9.若2cos2α＝sinπ－α，α∈4π，π，则sin2α＝________．210.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使→得DE＝3EF，则AF→·BC的值为________．11.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列{Sn＋n}也为公差为d的等差数列，则d＝________．12.已知x>0，y>0，x＋y＝1x＋4y，则x＋y的最小值为________．13.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．14.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．若不等式xf′x（)－af(x)≤2对所有x∈R恒建立，则b＋ca的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.(1)求cosB的值；→(2)若|CA→－CB|＝2，△ABC的面积为22，求边b.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1)求证：BC⊥平面VCD；(2)求证：AD∥MN.17.(本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的地域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，以下列图，假设楼宇大小高度忽略不计．(1)求四栋楼宇围成的四边形地域ABDC面积的最大值；(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总花销的最小值．18.(本小题满分16分)已知椭圆C：2x2＋a2y2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为42.设A为椭圆C的左极点，直线lb过点D(1，0)，且与椭圆C订交于E，F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′求．证：k·k为′定值．19.(本小题满分16分)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有n＋1a1b1＋a1b2＋⋯＋anbn＝(n－1)·2＋2.(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若不等式λ1－12b11－12b2⋯1－12bn<12bn＋1对所有正整数n都建立，求实数λ的取值范围；*(3)已知k∈N，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，获取一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：可否存在正整数m.使得Tm＝2019？若是存在，求出m的值；若是不存在，请说明原由．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)．(1)若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；(3)若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同样的零点x1，x2，且x1<x2.不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)恒建立，求实数m的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.(本小题满分10分)求函数y＝3cos2x－π的图象在x＝35π处的切线方程．1222.(本小题满分10分)2已知定点A(－2，0)，点B是圆x＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程.23.(本小题满分10分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值．24.(本小题满分10分)已知x，y为整数，且x>y>0，θ∈0，π2，n为正整数，cosθ＝xx22－y22，sinθ＝＋y2xy2x＋y2，记An＝(x2＋y2n)cosnθ，Bn＝(x2＋y2n)sinnθ．(1)试用x，y分别表示A1，B1；(2)用数学归纳法证明：对所有正整数n，An均为整数．2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参照答案1.{0，2}2.{x|x≤2}3.154.85.3π6.3657.128.(2，3)9.－7810.1311.1212.313.[－2，2]14.－16，＋∞15.(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，(1分)且ccosB＋bcosC＝3acosB，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，(3分)则3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，(5分)又A∈(0，π)，则sinA>0，(6分)则cosB＝13.(7分)(2)因为B∈(0，π)，则sinB>0，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.(9分)→因为|CA→－CB→|＝|BA|＝c＝2，(10分)又S＝12acsinB＝12a×2×223＝22，解得a＝3.(12分)由余弦定理得，b222＝a＋c－2accosB＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b＝3.(14分)故边b的值为3.16.(1)在四棱锥VABCD中，因为VD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以VD⊥BC.(3分)因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)又CD?平面VCD，VD?平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.(7分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，(8分)又AD?平面VBC，BC?平面VBC，则AD∥平面VBC，(11分)又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD?平面ADNM，则AD∥MN.(14分)17.(1)因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，所以∠BDC＝120°，(2分)在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)2所以2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，则BD·CD≤43，(4分)当且仅当BD＝CD时等号建立，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝1＝cos30°233.地域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝12×2×2×sin60°＋12BD·CD·sin120°＝433(平方千米)．(7分)(也许：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，地域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×12AB·BD＝433(平方千米)．(7分))(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总花销为y元，在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈0，π3，(8分)则DE＝23，BE＝3cosθ233tanθ，AE＝AB－BE＝2－233tanθ，(9分)所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a233cosθ＋a·2－233tanθ＝23a32－sinθcosθ＋2a，θ∈0，π3.(10分)2－sinθ－1＋2sinθ记f(θ＝），令f′(＝θ）＝0，2cosθcosθ解得θ＝π∈0，6π3.(11分)当θ∈0，π6时，f′(θ，)<函0数f(θ为）减函数；当θ∈π，6π3时，f′(θ，)>函0数f(θ为）增函数．所以当θ＝π时，f(θ取）最小值，6此时ymin＝4a(元)．(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形地域ABDC面积的最大值为433平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总花销的最小值为4a元．(14分)18.(1)由长轴长2a＝4，准线间距离2×2a＝42，c解得a＝2，c＝2，(2分)222则b＝a－c＝2，即椭圆方程为2x＋42y＝1.①(4分)2(2)若直线l的斜率不存在，则EF＝6，△AEF的面积S＝12AD·EF＝362不合题意；(5分)若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，②代入①得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒建立．设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1，2＝224k＋2±223k2），④(6分)2（1＋2kEF＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2＋2223k22.(7分)·1＋2k点A到直线l的距离d为3|k|1＋k2，(8分)则△AEF的面积S＝1d·EF＝212·3|k|1＋k2·1＋k2223k＋222＝·1＋2k42323k＋2k2＝10，(9分)1＋2k解得k＝±1.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分)(3)设直线AE：y＝y1(x＋2)，x1＋2令x＝3，得点M3，5y1x1＋2，同理可得点N3，5y2x2＋2，所以点Q的坐标为3，5y12（x1＋2）＋5y22（x2＋2）.(12分)所以直线QD的斜率为k′＝54y1x1＋2＋y2x2＋2，(13分)而y1＋x1＋2y2＝x2＋2k（x1－1）x1＋2＋k（x2－1）x2＋2＝k2x1x2＋x1＋x2－4x1x2＋2（x1＋x2）＋4.(14分)由(2)中③得，x1＋x2＝24k1＋2k2，x1x2＝22k－42，代入上式得，(15分)1＋2ky1＋x1＋2y2＝kx2＋24k222－8＋4k－4（1＋2k）222＝2k－4＋8k＋4＋8k－12k2＝－18k23k.则k′＝－56k，所以k·k＝′－56为定值．(16分)19.(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，3因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q＝64，n解得q＝2，则an＝2.(1分)当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，(2分)n＋1当n≥2时，a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn＝(n－1)·2＋2，①a1b1＋a2b2＋⋯＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，②由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n.综上，bn＝n.(4分)(2)不等式λ1－12b11－12b2⋯1－12bn<12bn＋1对所有正整数n都建立，即λ1－121－14⋯1－12n<1，2n＋1因为1－121－14⋯1－12n>0，当λ≤0时，不等式显然建立；(5分)当λ>0时，则不等式等价于1－121－14⋯1－12n2n＋1<1，λ设f(n)＝(1－12)(1－14)⋯(1－12n)2n＋1，f（n＋1）则f（n）＝1－12⋯1－11－⋯1－212n11－2n＋212n2n＋12n＋3＝2n＋1·2n＋32n＋2＝4n4n2＋8n＋32＋8n＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>⋯>f(n)>⋯，所以1λ>f(n)max＝f(1)＝3，223

则0<λ＜，

323综上λ＜.(8分)3(3)在数列{cn}中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：(1＋2＋3＋⋯＋k)＋(212＋2＋⋯＋2k－1)×2＝k（k＋1）2k＋1＋2－4.(10分)10当k＝9时，其和是45＋2－4＝1065<2019，当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分)又因为2019－1065＝954＝477×2，(14分)2所以当m＝9＋(2＋2＋⋯＋28)＋477＝996时，Tm＝2019.即存在m＝996，使得Tm＝2019.(16分)20.当a＝1，b＝1时，f(x)＝lnx－x，(1分)则f′(＝x)1x－1，则f′(＝1)11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，则所求切线方程为y＝－1.(4分)(2)当a＝1时，f(x)＝lnx－bx，则f′(＝x)1x－b＝1－bxx，(5分)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，①若b≤0，则f′(x)>0恒建立，则函数f(x)的增区间为(0，＋∞)；(6分)②若b>0，则由f′(＝x)0，得x＝1b，当x∈0，1b时，f′(x)>，0则函数f(x)的单调增区间为0，1b；(7分)当x∈1b，＋∞时，f′(x)<，0则函数f(x)单调减区间为1b，＋∞.(8分)综上，当b≤0时，函数f(x)单调递加，增区间为(0，＋∞)；当b>0时，函数f(x)的单调增区间为0，1b，单调减区间为1b，＋∞.(3)因为x1，x2分别是方程alnx－x＝0的两个根，即alnx1＝x1，alnx2＝x2.两式相减a(lnx2－lnx1)＝x2－x1，则a＝x2－x1，(9分)x2lnx1x2－x1则不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)，可变为<(1－m)x1＋mx2，x2lnx1两边同时除以x1得，x2－1x1<1－m＋x2lnx1mx2，(10分)x1令t＝x2t－1，则x1lnt<1－m＋mt在t∈(1，＋∞)上恒建立．因为1－m＋mt>0，lnt>0，所以lnt－t－11－m＋mt>0在t∈(1，＋∞)上恒建立，(11分)令k(t)＝lnt－t－11－m＋mt，则k′(＝t)22（t－1）[mt－（m－1）]2＝t（1－m＋mt）2（m－1）2m（t－1）t－2m2，t（1－m＋mt）①当2（m－1）2≤1，即m≥m12时，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒建立，则k(x)在(1，＋∞)上单调递加，又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒建立；(13分)②当2（1－m）2>1，即0<m<m12时，当t∈1，2（1－m）2时，k′(t)<，0m则k(x)在1，2（1－m）2上单调递减，m则k(x)<k(1)＝0，不吻合题意．(15分)综上，m≥12.(16分)21.因为y＝3cos2x－π3，所以y′＝－6sin2x－π3，(4分)所以函数图象在x＝5π处的切线斜率k＝－6sin125π－6π3＝－6.(6分)当x＝5π时，y＝3cos125π－6π3＝0，(7分)所以所求切线方程为y－0＝－6x－5π12，即y＝－6x＋5π.(10分)222.设点M(x，y)，点B(x0，y0)．因为M为AB的中点，所以x＝x0－2，y＝2y0＋0，(4分)2所以x0＝2x＋2，y0＝2y.(6分)将点B(x0，y0)代入圆x2＋y2－8x＋12＝0得(2x－2)2＋4y2＝4，化简得(x－1)22＋y＝1.即点M的轨迹方程为(x－1)22＋y＝1.(10分)23.(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，→故可以{AB→，AC→，AA1}为正交基底，建立以下列图的空间直角坐标系．(1分)因为AB＝2，AC＝4，AA1＝3，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)．因为D是BC的中点，所以D(1，2，0)．→所以DC1＝(－1，2，3)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面A1B1D的法向量，→→因为A1B1＝(2，0，0)，B1D＝(－1，2，－3)，→A1B1·n1＝0，2x1＝0，所以→B1D·n1＝0，即－x1