2020北京数学高三一模19题汇编

2020北京数学高三一模19汇编1、（2020北京朝阳一模）已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.（Ⅰ）求椭圆的方程和圆的方程；（Ⅱ）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.2、（2020北京东城一模）已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线，与椭圆分别交于点，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.3、（2020北京房山一模）已知椭圆C:x2a（I）求椭圆C的方程和离心率的大小；（II）设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另一个交点为P，直线AN与椭圆C的另一个交点为Q，判断直线PQ与4、（2020北京丰台一模）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围.5、（2020北京适应一模）已知函数，.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极小值；（Ⅲ）求函数的零点个数.6、（2020北京自适应一模）已知函数，实数．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围．7、（2020北京海淀一模）已知函数f（I）当a=-1①求曲线y=fx②求函数fx（II）求证：当a∈(-2,0)时，曲线y=f8、（2020北京密云一模）已知函数f(Ⅰ)求曲线y=fx在点(Ⅱ)求函数fx的单调区间(Ⅲ)判断函数fx的零点个数9、（2020北京平谷一模）已知函数其中a∈R.(I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))的切线方程;(II)求证:f(x)的极大值恒大于0.10、（2020北京人大附一模）已知函数f（Ⅰ）若a=2,求fx在（Ⅱ）求fx在区间[1,（III）若fx在区间[1,e]上恰有两个零点，求11、（2020北京15中一模）．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．12、（2020北京石景山一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．13、（2020北京顺义一模）已知函数f（I）当a=1时，求曲线y=f（II）若f(x)在区间(0,+∞)（III）当a=-1时，试写出方程f14、（2020北京通州一模）已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．15、（2020北京西城一模）设函数f(x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))(Ⅱ)已知导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当16、（2020北京延庆一模）已知函数fx=（Ⅰ）当a=1时，求曲线y（Ⅱ）若函数f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值，求答案：1、解：（Ⅰ）因为圆过点，所以圆的方程为：.因为过点且斜率为的直线方程为，又因为过点，所以.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为，所以，解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）直线与椭圆相切.理由如下：设圆上动点，所以.依题意，设直线：.由得.因为直线与椭圆相切，所以.所以.所以.因为，所以.所以.设直线：，由得.则.所以直线与椭圆相切………14分2、解：（Ⅰ）因为，所以.因为四边形为正方形，且面积为,所以，.所以，.所以椭圆.…………4分（Ⅱ）设平行直线，，不妨设直线与交于，由，得，化简得：，其中，即.所以，，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知，所以，，，，所以.所以当且仅当时，的最大值为.此时四边形周长最大值为.…………14分3、解：（Ⅰ）依题意得，所以椭圆的方程为，离心率的大小（Ⅱ）因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，设，坐标为，，则，由，得直线的方程为整理得或得交点的纵坐标为同理交点的纵坐标为所以，直线与轴平行解法二：设直线的方程为，直线的方程为令得，坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以整理得或得交点的纵坐标为同理得所以，直线与轴平行.解法三：设直线的方程为，直线的方程为令得坐标为，同理坐标为因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以代入椭圆方程得或所以 得交点的纵坐标为同理得所以，直线与轴平行.4、解：（Ⅰ）因为，所以.由题知，解得.…………4分（Ⅱ）当时，，所以.当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.…………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：因此，当时，有极小值.综上，的取值范围是.…………15分5、解：(1)定义域为：R切点为在处的切线方程为：.(2)令，解得：（）在、单调递增，在单调递减.在处取得极小值为.(3)由（2）知的极大值为,，，函数的零点个数为1.6、【解答】解：（1）．，，令，可得，（舍．①当时，．函数在区间上单调递减，在区间，上的单调递增；②当时，函数在区间上单调递减．（2）存在，使得不等式成立存在，使得不等式成立，令，，，，，，在递减，在，递增，，依题意只需即可．令，，可得．在递增，在递减，且（2）．实数的取值范围，，．7、【解析】（I）①切线方程为y②f'x=ex所以，当x变化时，f'x与x(-∞,0)0(0,1)f-0+f↘↗所以f（II）当a∈(-2,0)时，曲线y=f(x方法一：F①当x∈(0,1)时，ex所以Fx在(0,1)②当x∈1,+∞所以Fx在1,+∞综上可知：Fx在(0,+∞)又因为F由零点存在定理可知：Fx=ex所以当a∈(-2,0)时，曲线y=f方法二：F'x设gg'x∃x0∈(1所以gx，g0,x(g-0+g↘极小值↗g因为1x0所以F(x)F1e=e1FF根据零点存在性定理可得一定存在一个x1，所以当a∈(-2,0)时，曲线y=f8、（Ⅰ）解：因为，，所以． ， 又因为， 所以切线方程为. （Ⅱ）解：因为， （1）当时因为，所以的单调增区间是，无单调减区间.（2）当时令，则．=1\*GB3①当时，与在上的变化情况如下：—0+↘↗所以的单调减区间是，单调增区间是．②当时，与在上的变化情况如下：+0—↗↘所以的单调增区间是，单调减区间是．综上所述，当时，的单调增区间是，无单调减区间；当时，的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调增区间是，单调减区间是．9、解：（I）由f得f=-[=当a=0时，f1则fx在(1,f化简得：y=1（II）f'x=0,得x=2①当a=-2时，f'x≤0所以，函数fx无极值.·············②当a＞-2时，x(-∞,--(-2(2,+∞)f-0+0-f↘极小值↗极大值↘···········11分fx的极大值为f2=③当a＜-2时，x(-∞,2)2(2,--(-f-0+0-f↘极小值↗极大值↘···········14分fx的极大值为f-a综上，fx的极大值恒大于0···············110、解：（I）affx在(1,f1（II）由f由a>0及定义域为(0,+∞)，令f'(x①若a≤1,即0<a≤1,在(1,e)上，因此,f(x)在区间②若1<a<e,即1<a<e2,f'(x)>0，f(③若a≥e,即a≥e2,在(1,因此,f(x)在区间综上，当0<a≤1时，fminx当a≥e2时，(III)由（II）可知当0<a≤1或a≥e2时，当1<a<e2时，要使1所以，a的取值范围为e,1211、解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x．∴，f′（0）＝1，且f（1）＝﹣1．所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0．（II）若f（x）≤x恒成立，即f（x）﹣x≤0恒成立．设g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣ax2+（2a﹣1）x．只要g（x）max≤0即可；g′（x）＝＝﹣．①当a＝0时，令g′（x）＝0，得x＝1．x，g′（x），g（x）变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘所以g（x）max＝g（1）＝﹣1＜0，故满足题意．②当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝﹣（舍），或x＝1；x，g′（x），g（x）变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘所以g（x）max＝g（1）＝a﹣1≤0，得0＜a≤1．③当a＜0时，存在，满足g（2﹣）＝ln（2﹣）＞0，所以f（x）＜0不能恒成立，所以a＜0不满足题意．综上，实数a的取值范围为[0，1]．12、解：（Ⅰ）由已知c=1又a2=b所以椭圆方程为x22+y（Ⅱ）设直线l的方程为y联立x22+2k2+1x则x1+x2=所以xM所以kOM所以kOM×k（III）若四边形OAPB为平行四边形，则OA+所以xyp应为点P在椭圆上，所以(4解得k2=所以当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为k=±13、（I）a=1时，（或在这里求的f'x=∴f0=所求切线方程为y=x（II）方法一：f若fx=ex-x2在(0,+∞)即a≤ex2设gx=ex令g'x当x∈(0,1)时，g'x<0,当x∈(1,+∞)时，g'x>0,所以函数gx的最小值为g1=所以a∈(-∞,e方法二：f若fx=ex-x2在等价于(设hx=当x∈(0,+∞)时，ex分类讨论：①当2a≤1，即a≤所以hx=ex-所以a≤12时，满足②当2a>1,即a>1当x∈(0,ln2a)当x∈(ln2a,+∞)所以函数hx的最小值为hln由2a(1-ln2a)≥0综上：a∈(-∞,e（III）2个-------14分14、解：（Ⅰ）由题意得，………………1分b=1,又解得………………4分所以椭圆方程为………………5分（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知………………6分则直线AM的方程为………………7分直线AN的方程为………………8分则E点坐标为，F点坐标为………………10分假设存在定点G（0，n）使得∠OGE=∠OFG，即tan∠OGE=tan∠OFG（也可以转化为斜率来求）………………11分即即………………12分即所以………………13分所以存在点坐标为满足条件.………………14分15、解（1）∵f'即f'2（2）∵∵x>0,令hx=0得x∵f'x在(1,e由此可知x(1,a(f-0+f减极小增∴fx在(1,a∴f=设gg∴ga在(2,2∴当x∈(1,e16、（Ⅰ）解：.切线的斜率；曲线在原点处的切线方程为：.……………5分（Ⅱ）……………7分（1）当则……………9分0（0，）（）0递增递减法1：……………10分在恒成立，.