数学新教材解读及考点剖析专题13 乘法公式与全概率公式

全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所专题13乘法公式与全概率公式[新教材的新增内容]背景分析:在旧教材中对全概率公式没有介绍，但在选择性必修三7.1.2全概率公式，进行了专门的学习.通过全概率公式的学习为解决各种各样的限制条件或其样本空间较为复杂的概率问题提供了有力的工具.1.条件概率一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)=.2.概率乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率乘法公式（multiplicationformula）.3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式．[新增内容的考查分析]1.全概率公式的计算(全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．)【考法示例1】1.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（）A.0.025 B.0.08 C.0.07 D.0.125【答案】A【解析】【分析】利用全概率计算公式即可求解.【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故选：A．【考法示例2】2.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.2.全概率公式的计算的综合应用（在计算复杂事件的概率是，运用全概率公式，可以将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．)【考法示例3】3.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及.【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得，，故选：B．【考法示例4】4.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．【答案】0.4825【解析】【分析】根据条件概率性质与互斥事件概率公式即可得结果．【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95.5%，P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%，P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5，P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0.05，所以故答案为：0.4825[新增内容的针对训练]5.袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概率公式和全概率公式可求得答案.【详解】分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，则，由全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.故选：A.6.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（）(设男子和女子的人数相等)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.【详解】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，则,可得.故选：B.7.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（）A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652【答案】A【解析】【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.【详解】以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故选：A8.在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（）A.任意一位病人有症状S的概率为0.02B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【答案】ABC【解析】【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.【详解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由贝叶斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故选：ABC9.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)【答案】0.087【解析】【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果．【详解】因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为所以．故答案为：．【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键．10.商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱．这一箱含有一个次品的概率约为________．(结果保留三位有效数字)【答案】【解析】【分析】设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的，B0，B1，B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品，分别求得的值，进而根据公式求得，即可求解.【详解】设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的，B0，B1，B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品．则，,.故答案为：11.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球．这6个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为________．若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为________．【答案】①.②.【解析】【分析】设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球,A2＝从甲袋放入乙袋的是红球,B＝从乙袋中任取一球是红球,利用P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)和P(A1|B)求解.【详解】设A1＝从甲袋放入乙袋的是白球；A2＝从甲袋放入乙袋的是红球；B＝从乙袋中任取一球是红球；P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝，P(A1|B)＝.故答案为：；.12.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．【答案】.【解析】【分析】设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球；则A1，A2，A3两两互斥，由P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)可得答案.【详解】设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球；则A1，A2，A3两两互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，所以B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B，P(B)＝P(A1B∪A2B∪A3B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝.13.10个乒乓球有7个新球3个旧球．第一次比赛时随机取出2个，用过后放回．现在第二次比赛又取出2个，问第二次取到几个新球的概率最大？【答案】第二次取到一个新球的概率最大．【解析】【分析】设Ai为第一次取到i个新球，i＝0，1，2，Bj为第二次取到j个新球，j＝0，1，2，由全概率公式得P(Ai)＝，i＝0，1，2，P(Bj|Ai)＝，i，j＝0，1，2，代入计算得P(B1)，P(B2)，比较可得结论.【详解】设Ai为第一次取到i个新球，i＝0，1，2，Bj为第二次取到j个新球，j＝0，1，2，P(A