工程测量常用数学知识和计算公式总结

测量公算计式平面直角坐标北纵轴为轴且示表南方向北为正，轴且示表西方向东为正，���XYN

X向南为负。横轴为向西为负。象限分布为顺时针。为了避免测区内的标出现负值，可将坐标原点选择在的西南角上（可将测区坐标原点加一个大数）。EYo六位数（如：）566666.00换算（施工、测图坐标）标坐小、标坐大施为工标坐系，XOI为坐图测系标。�

AOB设

为筑建基线的一个上主点，它在施aⅡ工坐标系中为的坐标为点在测图系中的坐标，之间的夹角。将测坐标，其计算式为（见下图）Ⅱ

ⅡA

B,

在，测图标系坐中，为施坐工标原YⅡ0YBⅡXⅡY,

Ⅱ

X0Y,

0Ⅱa为X与轴

A轴AⅡ施的点工标坐换算成ⅡoX

Ⅱ=X0+AⅡcosa-BⅡsinaYⅡ=Y0+AⅡsina-BⅡcosa将测图换成施工坐标，其计算式为：x0xⅡOⅠ））AⅡ=(XⅡ-X0

cosa+（YⅡ-Y0

sinaBⅡ=(XⅡ-X0）sina+（YⅡ-Y0）cosa任意距离点F坐的标（知已X1

,1Y

；X2

,2Y

)求X3

,Y3

坐标。函角三数（出得�sinA=

Y1-Y2)/d

AX3X=

1

F+c

osAY3Y=

1

F+s

inAX2Y2X1Y1X3Y3A点B点Fd（L）在平面内，已知A点，

B坐标，亮点见离公得距式设：则：角度（点（点BAy1,y1)x2,y2)=c

os-1[(y2

-y1

)/(x2

-x1

)]BC|

AB

|=

x1

-

x2)2

+

(y1

+

y2)2AB

=

A2

+

C2（三角函数）测量中常用数学基础知识一、几何基础知识�、换算表的通示常有值和弧角度制两种。1周圆度弧13=

60º

1º=6

0′1′6=

0″

360º2=

π度弧180º=ππ180°1°=度弧1度弧

=（）=

206265′′180π测量中常用数学基础知识二、三角形（

三）形角内和等于1180º12（

三）角面形积等于×(底×）高2Ca1角三形面的积：A

=

BC

sni

α2B（

在）三中形，斜等于两直条边的和平角方。3Aac

a

b2

=

2

+

2cc

a

b=2

+

2Cb

c

a=2

−

2

=(c

a)(c

a)−+Bb=2

−

2

=a

c

b−

−(c

b)(c

b)测量中常用数学基础知识（

知已）：正和角度斜求长，。4斜长

=长正除以cosa=

正增（量斜长）长正c

so

a3、在中，圆心角等于它所对弧的度数如图C弧长

ACB

=

R

•

a：中式R-半径

a

-弧度ABaAM

=

RsinM2aa2==RAB

2AM

2Rsina2aaMC

=

R

−

R

cos

=

R(1−

cos)O22圆心角测量中常用数学基础知识（二）三函数基础知识与测量直角坐标系增量（坐标正算）X2

=

X1+

D12cosaY2

=

Y1+

D12si

na测量中常用数学基础知识（二）三函数基础知识与测量直角坐标系如图为测量坐标系数学上三角和解析几何中的有关公式，可以直接应用测到量算计中来。、三函数的定义，角余切（三的角数函正弦（割余）（seca弦余）（sina分）别义定如下：）正切（cosa）tana1a割正）（cotacoseca边对边斜边邻∆y12D12∆x12D12∆y12∆x12∆x21∆y21D21边邻边对边斜边邻sin

a

====Δy

12t

oc

a==2（x2，y2）acosa

=tan

a

=sec

a

==边斜边对边邻∆x21D211（x1，y1）边斜os

cea==边对∆y21O角a三反的角函数分别用以符号示下：表arccosa余反（弦）arcsina（反正arccota（反余切）弦）arctana(正反切）测量中常用数学基础知识2、坐标正算。如图已知x1，y1

a

D12求x2，y2。Δx12=D

12cosaΔy12=D

12sinax2=x

1+Δx12y2=y

1+Δy12、坐标反算。如图已知，

；

，x1

y1

x23求和y2

D12

a=−2

+

+

2

=2+2D12

x(

2

x1)

y(

2

y1)

Δx12

Δy12Δy12a=ar

ct

naΔx12坐标反算坐标反算时，角度的确限象定见下图，表和度角从是轴Xaa顺时针旋转到直线形成夹的角。01.02.03.04象限01北（）东02东（）南03南（）西04北（）西Δx+---+-Δy++a0~90º90º~180º

180º~270º

270º~360º坐标反算例题：如图所示，为场两地控制点，欲建立以，

为主轴线的施工方AB

CDMN格网筑建工测程量）页p124-125.(解测设步骤如下：（

施在）工总平面设布上方网位格计出算各（标坐注控意，点制1与方格网的必须是同一建筑坐标系，用下表示）。各点坐标如X,Yxm=5

33.200xn=5

74.830xo=7

00.00xa=7

00.00ym2=

75.420yn5=

56.750yo4=

50.00ya2=

50.00xb7=

00.00xc8=

00.00xd6=

00.00yb=6

50.000yc=4

50.000yd=4

50.000型器算计数值转换度角成骤步CASi0fx-4850P按值数输+10COSSHITFSHITFtan-1SHITF=>DMS⊿（

度角）ANS

EXE

=坐标反算（

）计算测设数据。确定以2极位点角计的算式为NXΔ

NoYΔ

Noa

arctan===

°

′

′′arctan1.172553

49

32

28=XΔ2+yΔ2=164.509m(NNOo)SNONOXΔ

nmYΔ

nṁβ

arctan===

°

′

′′arctan0.147976

8

252̇θ

α

β

49

32

28

8

25

2

57

57

30=

+

=

°

′

′′

+

°

′

′′

=

°

′

′′（3）实测1）在N安点经置纬仪，后视M正以点，镜倒顺时针测θ57º57′30″

角，定出NO方向线，从2）

移仪器于取中，定出N起点量1645.

09m出定

o时这，主线轴交点就测出来了。o后，点视OB线向方，从N点，时逆针测O起点量a=49º32′28″

顺（时针测200m，出定

B点正，倒镜90º定出

OC，向方从100m定，出

D点横纵两主轴条线完设毕，测a1310º27′32″

正倒镜180º

，定出

OA方向线，从o点起量

100m，顶出o点起量

200m定出

A点，样这方格网基线即测完。转C点。再倒镜纵横轴线直角误差不赢超过180º

出定，OD向方，从5″。o起点量坐标的解析计算一、点在平面直角坐标系的表示方法平面角系是由两条互相垂直坐标轴所组成的。条线称，与原点相交的两坐标轴值为零如下图所示，在平面上任意一点至.轴直垂距离做该点叫的纵坐标用Y表示。至XX轴垂直距离叫做该点的横坐标，用。示表Y地任意一点的平面位置，在图纸上通常用（

，

）表示。图中A

x

y150，170。）点坐标AX

1=

50m，y1=

70m可，（成写xAxayOya坐标的解析计算二、坐标增量两点的之量，差叫纵坐标增量表之。示差叫横坐量增标用，Δxx，用在图中，若。示表ΔyA（xa

，ya

）标坐点为（

，

，）A

xa

yaaAβ点坐标为B（

，

，）则

点对B

xb

yb点的量增为BΔxAabyΔx

=x

a-xbΔy

=y

a-yb三、计算两点间的距离ΔyB（xa

，ya

）ba从右图中看出，用为与

相互垂，直就组成以Δx

ΔyoΔx和Δy为边的角直三，形AB离距

L三是角形三角关系坐标增量的斜，边所以距点两离ABL

=

∆x2

+

∆y2坐标的解析计算（例

设）（

，

）A

xa5=

67.600

ya7=

63.450

,B1（，），增求量xb4=

83.260

yb7=

12.710Δ？两？间点的距离

？。x=

Δy=L=x解：纵坐标增量A（xa

，ya

）aΔx

x=

a-xb5=

67.600-483.2608=

4.340mΔy

y=

a-yb7=

63.450-712.7105=

0.740m两点距离βΔxabyΔyB（xa

，ya

）L=

∆

2

+

∆

2

=

847.3402

+

50.7402

=

98.427mxyba三角关系坐标增量坐标的解析计算如图已知解：距点两离斜点两线ABL9=

8.427m,AB求

对点与横夹轴角量增的点Ba5=

8º58′6″

A，？？Δy=Δx=xA（xa

，ya

）sinas=

in58º58′6″=0

.85688cosac=

os58º58′6″=0

.51551aβΔxabyΔx

=L

•sina=9

8.427×0.856888=

3.340mΔx

=L

•cosa=9

8.427×0.515515=

0.740mΔyB（xa

，ya

）ba三角关系坐标增量坐标的解析计算五、求两条直线的夹角已知三点求，以ABC点位角极的C段线a=?,AC=?B,

C=?三点坐标分别为：xa

=337.200

ay

=312.100xb

=310.700

by

=325.400xc=

272.300

=c

y

157.300解：

1、图画）根据已知，吧点位大致在坐标平面上1（点位的下左关系是纵上，横轴大者在右）2）过

C（点作极坐纵横标补这，时两条线直间的角度关系就明朗化了。2，计算坐标增量（1）A点对

C的点量增Δxa

c=

xa

-

xc=

337.200-272.300=64.900mΔya

c=

ya

-

cy=

312.100-157.300=154.800m（

）

对点2

B增的点量CΔxb

c=

xb

-

xc=

310.700-272.300=38.400mΔyb

c=

ya

-

cy=

325.400-157.300=168.100m坐标的解析计算、计算对坐标（横轴）的夹角3）

线斜对轴横的夹角1

AC、求段线长4∆xac

67.900∆yac

154.800θ

=

°

′

′′22

44

45ACx

ca=

∆

2

+

∆

2y

ca==64

.90

2

+154

.8038

.40

2

+168

.102

=2

=167

.

854

m172

.

430

mtgθ

===

0.41925BC=

∆

2

+

∆

2x

cb

y

bc）

线斜对轴横的夹角2

BCβ∆xbc

38.400∆ybc

168.100tgβ

===

0.22844β

=

°

′

′′12

52

3）两条线、

夹的角AC

BC3α

=

θ

−

β

=22

4

4

4

5°′′′

−12

5

2

3

9

5

2

4

2°′

′′

=

°

′′′坐标解析计算应用注意如下几个问题-

结小首要先建立纵，横以坐标增量为边而组成直三角形的概念；否则了其算计它江从无下手。轴标坐的都夹是锐计算三函角数，时线直与为边�����轴的夹角对应Y线直。与夹轴角应对边为X换算程过注意不要弄错。ΔyΔx计直条线夹时极称）分先要出别算锐个两角，然后加再相如（例

）或减相（如例）算夹出角。34在平坐面（时图画）意注要下点上关右左系，防止位相对标置将，角两（或变相加减）造成错误。两制控钟任都可以意做为极角（观站点）其计算结果是一的样但，认后定现场须时施必一这用测作为否。站则因极点不，同原计算数据能部使用使须必用一同坐标值，坐筑建标或测量施；工坐标或坐大标或测图坐标；�标坐小两者不能混用大换成小坐标实例例1将）

B点换大成小坐标解：设A坐小标（点原）xa=00.

00，ya=00.

001、B点对

A的点量增ΔxBA=5054.

11-5009.

00=45.

11ΔyBA=4771.

14-4212.

96=558.

182、转换为极坐标（r=？

θ=）？

BA对纵轴夹角及距离SHIF

Tpol(45.

115,

58.

18)EXEr=559.

9998433θ=853.

79612963、加角度差β=853.

7961296+4.6

20183071=89.9

9979603=90.0

004、转换为直角坐标（

B点坐小）标X=?Y,

=?SHIF

Tr

ec（55.9

9998433，90.0

00）a（后视与测站对点X轴角度）差小X

b

=00.

00yb小=559.

99大换成小坐标实例例2）将

D点换大成小坐标1、D对点

A（测站，原点增）量ΔxDA=525.3

46-500.9

00=24.4

46ΔyDA=475.5

03-421.2

96=54.2

072、转换为极坐标（r=？

θ=）？

DA对纵轴距离及夹角（，）SHIF

Tpol

244.

46

542.

07

EXEr=594.

6432346θ=657.

2581723、加角度差a（后视与测站对点X轴角度）差AC对X夹轴角β=65.7

258172+4.6

20183071=70.3

46000274、转换为直角坐标（

D点坐小）标

x=？，

y=？SHIF

Trec（59.4

6432346，70.3

4600027）EXE小小Xd

=200.

00Y

d

=559.

99大换成小坐标实例例3）将

C点换大成小坐标1、C点对

A（点原测、站）点增量ΔxCA=520.8

35-500.9

00=19.9

35ΔyCA=419.6

85-421.2

96=-1.6

112、转换为极坐标（r=？

θ=）？

CA对纵轴距离及夹角（，）SHIF

Tpol

199.

35

-16.

11

EXEr=199.

9998868θ=-46.

201830713、加角度差β=-4.6