教学第二章控制系统的数学模型课件

第二章控制系统的数学模型§2.1引言§2.2运动对象的微分方程§2.3线性微分方程的求解§2.4控制系统的复域数学模型§2.5控制系统的结构图§2.6信号流图和梅逊公式§2.7数学模型的实验测定第二章控制系统的数学模型§2.1引言1动力系统的分析可归结为如下几步：

定义系统及其相关的组成部分；对系统作必要的假设，建立该系统的数学模型；

根据所建立的数学模型写出微分方程；求解微分方程，得出输出变量的表达式；对所求得的解进行检验；

根据检验的结果，必要的时候进行重新分析；

动力系统的分析可归结为如下几步：定义系统及其相关的组成部分2建立控制系统数学模型的方法有以下两种：

分析法实验法所建立的数学模型有如下几种表现形式：时域表示法复域表示法频域表示法

建立控制系统数学模型的方法有以下两种：分析法所建立的数学3列写系统数学模型的步骤可归纳如下：分析系统及元部件的工作原理，从中确定系统的输入量和输出量；根据所分析系统（或元部件）在工作过程中所遵循的物理、化学或其它相关规律，写出它们各自的微分方程；根据所确定的系统输入量和输出量，消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式即为所求的数学模型列写系统数学模型的步骤可归纳如下：分析系统及元部件的工作原4如下图所示为由组成的四端无源网络。试列写以为输入量，为输出量的网络微分方程。如下图所示为由组成的四端无源网络。试列写以5解：设回路电流为和。根据克希霍夫定律可得如下方程：其中：

解：设回路电流为和。根据克希霍夫定律可得6可以求得和如下所示：通过计算可以得到以下的数学模型：可以求得和如下所示：通过计算可以得到以下7线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下：

叠加性

当时，上述方程的解为；而当时，上述方程的解为，则当时，上述方程的解为均匀性

假设（为常数），则方程的解为

线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下：叠加性当8非线性元件微分方程的线性化

单变量的非线性系统

多变量的非线性函数

非线性元件微分方程的线性化单变量的非线性系统多变量的非线9传递函数

定义在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉氏变换的比值

计算方法设线性定常系统由下述阶线性常微分方程描述：

传递函数定义在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉10性质性质1传递函数是复变量的有理真分式函数，，且具有复变量函数的所有性质性质2传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与外部输入形式（如幅值、大小等）无关性质3传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但它不提供任何关于该系统的具体物理结构性质4当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根据其输出响应来研究系统的传递函数性质5传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果将用来置换，则可将传递函数替换成微分方程性质6传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应性质性质1传递函数是复变量的有理真分式函数，11举例根据前面介绍的网络所得到的微分方程：在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：系统的传递函数为：举例根据前面介绍的网络所得到的微分方程：12典型环节的传递函数

比例环节式中：为增益；特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟；实例：电子放大器、齿轮、感应式变送器等惯性环节式中：为时间常数；特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡；实例：液体加热系统和轮系结构等等典型环节的传递函数比例环节式中：为增益；惯性环节式13微分环节理想微分：

一阶微分：

二阶微分：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即属于微分环节

微分环节理想微分：一阶微分：二阶微分：特点：输出量正比14积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等均属于积分环节振荡环节式中：为阻尼比；为固有频率；特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出时会出现振荡实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该环节积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出15纯时间延迟环节式中：为延迟时间；特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型一般均包含有延迟环节纯时间延迟环节式中：为延迟时间；特点：输出量能准确复16结构图的基本组成方框（环节）（BlockDiagram）表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积，即，如下图所示结构图的基本组成方框（环节）（BlockDiagram）17信号线(Signalline)

信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图所示）信号线(Signalline)信号线为带有箭头的直线，箭18比较点（或综合点）（SummingPoint）比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相减的量，必须具有相同的量刚比较点（或综合点）（SummingPoint）比较点表示19引出点（或测量点）（BranchPoint）引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所示）引出点（或测量点）（BranchPoint）引出点表示信20结构图的基本连接方式

串联连接特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积，即：结构图的基本连接方式串联连接特点：前一环节的输出量就是后21并联连接简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数之和，即：推而广之，对于个环节并联，则简化后的等效传递函数为：并联连接简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有22反馈连接负反馈连接正反馈连接反馈连接负反馈连接正反馈连接23结构图的简化引出点的移动引出点前移引出点后移结构图的简化引出点的移动引出点前移引出点后移24比较点的移动比较点前移比较点后移比较点的移动比较点前移比较点后移25信号流图的基本术语

信号流图示意图如下图所示：信号流图的基本术语信号流图示意图如下图所示：26节点（Node）代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中的1，2，，6均为节点）支路（Branch）表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当于乘法器，如示意图中的等均为支路，而数字

等为相应支路的增益

节点（Node）代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图27源节点(SourceNode)在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点，如示意图中的节点即为源节点

阱节点（SinkNode）

在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意图中的节点即为阱节点混合节点（MixedNode）

在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中的等节点就是混合节点源节点(SourceNode)在源节点上，只有信号输出的28前向通路(ForwardPass)

信号从源节点到阱节点传递时，每个节点只通过一次的通路，被称之为前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益。一般用表示。根据这个定义，如示意图中的系统一共有如下几条前向通路：①

②

③

前向通路(ForwardPass)信号从源节点到阱节点传29回路（Loop）信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。回路中所有支路的乘积称为回路增益，用表示。如示意图中的系统一共有如下几条回路：

①

②③

④⑤⑥⑦回路（Loop）信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相30不接触回路（NontouchingLoop）当两个回路之间没有公共节点时，这两个回路就叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。如示意图中的系统一共有如下几条不接触回路：不接触回路（NontouchingLoop）当两个回路之31信号流图的性质

信号流图适用于线性系统支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，它起到乘法器的作用，信号只能沿支路上的箭头单向传递，当信号从一个节点传递到另一个节点时，将被乘以支路增益变成另一个信号节点标志系统的变量，一般节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示对于混合节点而言，可以通过增加一个具有单位增益的支路把它作为阱节点来处理对于一个给定的系统，节点变量的设定是任意的，因此，信号流图不是唯一的信号流图的性质信号流图适用于线性系统32—从到的第条前向通路传递函数梅逊公式介绍

R-C:△称为系统特征式其中:—所有单独回路增益之和∑La∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和△k称为第k条前向通路的余子式求法:去掉第k条前向通路后所求的△—从到的第33举例利用梅逊增益公式求如下图所示系统的闭环传递函数

举例利用梅逊增益公式求如下图所示系统的闭环传递函数34该系统共有3个前向通路，分别为：该系统共有4个单独回路，分别为：该系统共有3个前向通路，分别为：该系统共有4个单独回路，分35系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益为：故根据Mason公式，可得系统的闭环传递函数为：系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益为：故根据Mas36第二章控制系统的数学模型§2.1引言§2.2运动对象的微分方程§2.3线性微分方程的求解§2.4控制系统的复域数学模型§2.5控制系统的结构图§2.6信号流图和梅逊公式§2.7数学模型的实验测定第二章控制系统的数学模型§2.1引言37动力系统的分析可归结为如下几步：

定义系统及其相关的组成部分；对系统作必要的假设，建立该系统的数学模型；

根据所建立的数学模型写出微分方程；求解微分方程，得出输出变量的表达式；对所求得的解进行检验；

根据检验的结果，必要的时候进行重新分析；

动力系统的分析可归结为如下几步：定义系统及其相关的组成部分38建立控制系统数学模型的方法有以下两种：

分析法实验法所建立的数学模型有如下几种表现形式：时域表示法复域表示法频域表示法

建立控制系统数学模型的方法有以下两种：分析法所建立的数学39列写系统数学模型的步骤可归纳如下：分析系统及元部件的工作原理，从中确定系统的输入量和输出量；根据所分析系统（或元部件）在工作过程中所遵循的物理、化学或其它相关规律，写出它们各自的微分方程；根据所确定的系统输入量和输出量，消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式即为所求的数学模型列写系统数学模型的步骤可归纳如下：分析系统及元部件的工作原40如下图所示为由组成的四端无源网络。试列写以为输入量，为输出量的网络微分方程。如下图所示为由组成的四端无源网络。试列写以41解：设回路电流为和。根据克希霍夫定律可得如下方程：其中：

解：设回路电流为和。根据克希霍夫定律可得42可以求得和如下所示：通过计算可以得到以下的数学模型：可以求得和如下所示：通过计算可以得到以下43线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下：

叠加性

当时，上述方程的解为；而当时，上述方程的解为，则当时，上述方程的解为均匀性

假设（为常数），则方程的解为

线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下：叠加性当44非线性元件微分方程的线性化

单变量的非线性系统

多变量的非线性函数

非线性元件微分方程的线性化单变量的非线性系统多变量的非线45传递函数

定义在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉氏变换的比值

计算方法设线性定常系统由下述阶线性常微分方程描述：

传递函数定义在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉46性质性质1传递函数是复变量的有理真分式函数，，且具有复变量函数的所有性质性质2传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与外部输入形式（如幅值、大小等）无关性质3传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但它不提供任何关于该系统的具体物理结构性质4当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根据其输出响应来研究系统的传递函数性质5传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果将用来置换，则可将传递函数替换成微分方程性质6传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应性质性质1传递函数是复变量的有理真分式函数，47举例根据前面介绍的网络所得到的微分方程：在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：系统的传递函数为：举例根据前面介绍的网络所得到的微分方程：48典型环节的传递函数

比例环节式中：为增益；特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟；实例：电子放大器、齿轮、感应式变送器等惯性环节式中：为时间常数；特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡；实例：液体加热系统和轮系结构等等典型环节的传递函数比例环节式中：为增益；惯性环节式49微分环节理想微分：

一阶微分：

二阶微分：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即属于微分环节

微分环节理想微分：一阶微分：二阶微分：特点：输出量正比50积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等均属于积分环节振荡环节式中：为阻尼比；为固有频率；特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出时会出现振荡实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该环节积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出51纯时间延迟环节式中：为延迟时间；特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型一般均包含有延迟环节纯时间延迟环节式中：为延迟时间；特点：输出量能准确复52结构图的基本组成方框（环节）（BlockDiagram）表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积，即，如下图所示结构图的基本组成方框（环节）（BlockDiagram）53信号线(Signalline)

信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图所示）信号线(Signalline)信号线为带有箭头的直线，箭54比较点（或综合点）（SummingPoint）比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相减的量，必须具有相同的量刚比较点（或综合点）（SummingPoint）比较点表示55引出点（或测量点）（BranchPoint）引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所示）引出点（或测量点）（BranchPoint）引出点表示信56结构图的基本连接方式

串联连接特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积，即：结构图的基本连接方式串联连接特点：前一环节的输出量就是后57并联连接简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数之和，即：推而广之，对于个环节并联，则简化后的等效传递函数为：并联连接简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有58反馈连接负反馈连接正反馈连接反馈连接负反馈连接正反馈连接59结构图的简化引出点的移动引出点前移引出点后移结构图的简化引出点的移动引出点前移引出点后移60比较点的移动比较点前移比较点后移比较点的移动比较点前移比较点后移61信号流图的基本术语

信号流图示意图如下图所示：信号流图的基本术语信号流图示意图如下图所示：62节点（Node）代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中的1，2，，6均为节点）支路（Branch）表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当于乘法器，如示意图中的等均为支路，而数字

等为相应支路的增益

节点（Node）代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图63源节点(SourceNode)在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点，如示意图中的节点即为源节点

阱节点（SinkNode）

在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意图中的节点即为阱节点混合节点（MixedNode）

在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中的等节点就是混合节点源节点(SourceNode)在源节点上，只有信号输出的64前向通路(ForwardPass)

信号从源节点到阱节点传递时，每个节点只通过一次的通路，被称之为前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益。一般用表示。根据这个定义，如示意图中的系统一共有如下几条前向通路：①

②

③

前向通路(ForwardPass)信号从源节点到阱节点传