《导数的实际应用》课件

1.3.3导数的实际应用

11.3.3导数的实际应用1

导数的实际应用：

1、费用最省问题

2、容积最大问题

3、利润最大问题

4、距离最短问题

5、物理问题2导数的实际应用：2利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：1、细致分析实际问题中各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式

y=f(x),在根据实际问题确定函数的定义域。2、求f’(x),解方程f’(x)=0，求出定义域内所有的实数根。3、比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据实际意义确定函数的最大值或最小值。3利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：3

在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。4在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．5解决优化问题的方法：5解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决优化问题的基本思路：6解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积7例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它所以令解得x1=a，x2=a（舍去），在区间(0，a)内，且当0<x<a时，V’(x)>0，当

a<x<a时，V’(x)<0，8所以令解得x1=a，x2=a（舍去）

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱子容积很小，

因此当截下的正方形边长是a时，容积最大。因此x=a是极大值点，9由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2，横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数,k>0)，所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，10例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正在开区间(0，d)内，令f’(x)=k(d2－3x2)=0，

解得x=±d，其中负根没有意义，舍去.当0<x<d时，f’(x)>0，当d<x<d时，f’(x)<0，

因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，11在开区间(0，d)内，解得x=±d，其中负么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的这就是横梁强度的最大值，这时

即当宽为d，高为时，横梁的强度最大。13这就是横梁强度的最大值，这时即当宽为例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？14例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是1解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间(0≤x≤300)因为所以令T’(x)=0，则有15解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间(0≤x≤300)即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍去负值，取x0=112.5.因为T(0)=11，T(300)=11.2，T(112.5)=则10是三数中最小者，

所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输时间最小。16即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？解：由欧姆定律得电流强度在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=17例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什实验表明，当ε，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，

当R很小时，电源的功率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。18实验表明，当ε，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，令即，解得R=r，因此，当R=r时，输出的功率最大。19令即，解得R例5．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得则S(R)=2πR+2πR2

=+2πR220例5．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选令解得R=从而h=

即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省21令解得R=从而h=即h=2R，因为S(R)只例6．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？解：收入利润(0<q<100)22例6．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+令L’=0,即求得唯一的极值点q=84.答：产量为q=84时，利润L最大23令L’=0,即求得唯一的极值点q=84.答：产量为1.3.3导数的实际应用

241.3.3导数的实际应用1

导数的实际应用：

1、费用最省问题

2、容积最大问题

3、利润最大问题

4、距离最短问题

5、物理问题25导数的实际应用：2利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：1、细致分析实际问题中各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式

y=f(x),在根据实际问题确定函数的定义域。2、求f’(x),解方程f’(x)=0，求出定义域内所有的实数根。3、比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据实际意义确定函数的最大值或最小值。26利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：3

在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。27在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．28解决优化问题的方法：5解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决优化问题的基本思路：29解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积30例1.在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它所以令解得x1=a，x2=a（舍去），在区间(0，a)内，且当0<x<a时，V’(x)>0，当

a<x<a时，V’(x)<0，31所以令解得x1=a，x2=a（舍去）

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱子容积很小，

因此当截下的正方形边长是a时，容积最大。因此x=a是极大值点，32由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2，横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数,k>0)，所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，33例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正在开区间(0，d)内，令f’(x)=k(d2－3x2)=0，

解得x=±d，其中负根没有意义，舍去.当0<x<d时，f’(x)>0，当d<x<d时，f’(x)<0，

因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，34在开区间(0，d)内，解得x=±d，其中负么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的这就是横梁强度的最大值，这时

即当宽为d，高为时，横梁的强度最大。36这就是横梁强度的最大值，这时即当宽为例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？37例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是1解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间(0≤x≤300)因为所以令T’(x)=0，则有38解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间(0≤x≤300)即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍去负值，取x0=112.5.因为T(0)=11，T(300)=11.2，T(112.5)=则10是三数中最小者，

所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输时间最小。39即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？解：由欧姆定律得电流强度在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=40例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什实验表明，当ε，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，

当R很小时，电源的功率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。41实验表明，当ε，r一定时，