二阶常微分方程边值问题

二阶常微分方程边值问题PAGEPAGE10课程名称： 数值代数课程设计 指导教师： 刘兰班级： 姓名： 学号：实验项目名称：二阶常微分方程边值问题实验目的及要求：二阶常微分方程边值问题d2u

2u0, 1x1 dx2 (x2)2 1 u(1) 3 ，x)（该问题真解为：

1x2）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利MATLAB实验原理：一、微分方程：微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始t=t0t>t0逐步求出微分方程的近似解。微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的否趋于真解（即收敛性，等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。二、二阶常微分方程二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：y(x)f(x,y,y)，axb 边值条件有如下三类[9]：第一类边值条件y(a)， y(b) (2.2)第二类边值条件y(a)， y(b) 第三类边值条件[19]y(a)0

y(a) ，0，

y(b)1

y(b) (2.4)0 1

0 ，0 1，

0 ，0 1，

0 ，0 ，

0。在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。f定理：设方程(2.1fy在区域{(x,y,y)|axb,y,y}内连续，并且(ⅰ)

f(x,y,y)0,yf(x,y,y)

(x,y,y)；(ⅱ)

y

在内有界，即存在常数M，使得f(x,y,y)My ，(x,y,y)，则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。我们假设函数f(x,y,y)可以简单地表示成f(x,y,y)p(x)yq(x)yr(x)，即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题yp(x)yq(x)yr(x),y(a),y(b)

axb

(2.5)三、有限差分法：有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本有限差分逼近的相关概念f(x)光滑，且0h1Taylory(xh)y(x)hy(x)h2y(x)h3y(x)2 3 (2.19)y(xh)y(x)hy(x)h2y(x)h3y(x)2 3 (2.20)由(2.19)可以得到一阶导数的表达式y(x)

y(xh)y(x)h

y(x)h

y(x)h 2 3 (2.21a)或者y(x)y(xh)y(x)O(h)h (2.21b)同理由(2.20)式可得y(x)

y(x)y(xh)h

y(x)h2

y(x)h 2 3 (2.22a)或者y(x)y(x)y(xh)O(h)h (2.22b)其中O(h)表示截断误差项.因此，可得一阶导数的y(x)的差分近似表达式为y(x)y(xh)y(x)h (2.23)y(x)

y(x)y(xh)h (2.24)由(2.21)和(2.22(2.23)和(2.24y(x即为O(h)，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得y(xh)y(xh)2hy(x)

2h3

y(x)3 (2.25)从而可以的到y(x)

y(xh)y(xh)h2

y()或者y(x)

2h 6 (2.26a)y(xh)y(xh)O(h2)2h (2.26b)其中，xhxh.可得一阶导数y(x)的差分近似表达式为y(x)y(xh)y(xh)2h (2.27)由此可知，(2.16)差商逼近微商y(x)的精度为二阶，即为O(h2)。类似地，我们还可以给出二阶微商y(x)和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得2y(xh)y(xh)2y(x)h2y(x)h212进而有

y(4)(x) y(xh)2y(x)y(x y(x) y(4))h2 12 (2.28)其中xhxh.因此，二阶导数y(x)的差分近似表达式[8为y(xh)2y(x)y(xh)y(x)h2

O(h2)

(2.29)实验内容（方法和步骤差分法代码如下clc;clearh=0.05;%xa,ba=-1;b=1;x=a:h:b;n=length(x);%定义ysymsy;y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));holdongridonyx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n);fori=2:n-1yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;endplot(x,y,'r','linewidth',2)plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);实验结果与分析：差分法