zw-2指数型、对数型函数模型应用举例

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985/211重点高校大学生实时一对一第2指数型、对数型函数模型的应用举例【知识提炼】1.指数函数模型表达形式:f(x)=_abx+c.条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1.2.对数函数模型表达形式:f(x)=_mlogax+n.条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.【即时小测】1.思考下列问题(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质?提示:主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢.(2)数据拟合时,得到的函数为什么需要检验?提示:因为根据已给的数据,作出散点图,根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合,但用得到的函数进行估计时,可能误差较大或不切合客观实际,此时就要再改选其他函数模型.2.某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y=1024e-5x,则

(

)A.该函数是增函数

B.该函数是减函数C.x=D.当x=0时,y=1【解析】选B.显然该函数是减函数,B正确,C,D变形或求值错误.y5 1

024

1

lg3.某电子产品的价格为a元,降价10%后,又降价10%,销售量猛增,该公司决定再提价20%,提价后这种电子产品的价格为

(

)A.0.972元

B.0.972a元

C.0.96元

D.0.96a元【解析】选B.a(1-10%)2·(1+20%)=0.972a.4.已知函数f(x)定义在(0,+∞)上,测得f(x)的一组函数值如表:x123456f(x)1.001.541.932.212.432.63试在函数y=

x

,y=x,y=x2,y=2x-1,y=lnx+1中选择一个函数来描述,则这个函数应该是

.【解析】通过表中数值,画出散点图,可判断此图象增长的比较缓慢,更符合y=lnx+1来描述.答案:y=lnx+1【知识探究】知识点

指数型、对数型函数模型的应用举例观察

内容,回答下列问题:问题1:应按照怎样的步骤解应用题?问题2:根据收集到的数据的特点如何建立拟合函数模型?【总结提升】1.解函数模型确定的应用题的基本步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得出数学模型.(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.2.拟合函数模型的应用题的解题步骤作图:即根据已知数据,画出散点图.选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图象特征,找几个比较接近的函数模型尝试.求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式.检验:将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证、得出最适合的函数模型.【题型探究】类型一

指数函数模型【典例】1.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年(1年为12个月)平均增长率为

.2.医学上为研究传染病

细胞的发展规律及其预防,将细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,

细胞的个数与天数的记录如下表:天数123456细胞的个数12481632.但注射某已知该

细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候将种药物,可杀死其体内该

细胞的98%.为了使小白鼠在试验过程中不 ,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天,lg2=0.3010)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天)【解题探究】1.典例1中12月底的生产总值是多少?提示:设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为a(1+p)12.2.典例2中属于哪方面的数学问题,应首先建立哪两个量之间的关系?提示:这个问题属于增长率问题,首先建立

细胞的个数与天数之间的关系式,然后通过研究函数关系式对问题作出解答.【解析】1.设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为a(1+p)12,故年平均增长率为答案:(1+p)12-1=(1+p)12-1.aa

1

p12

a2.(1)由题意知第一次注射药物前 细胞的个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y=2n-1(n∈N*).为了使小白鼠在试验过程中不

,则2n-1≤108,两边取对数,解得n≤27,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.(2)由题意知第一次注射药物后小白鼠体内剩余的 细胞个数为226×2%.再经过x天后小白鼠体内的

细胞个数为226×2%×2x,由题意226×2%×2x≤108,两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8,解得x≤6,即再经过6天必须注射药物,即第二次最迟应在第33天注射药物.【方法技巧】解决有关增长率问题的关键和措施解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它

单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较.具体分析问题时,应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再概括为数学问题,最后求解数学问题即可.【变式训练】光线每透过1块玻璃,其强度就要减弱

1

,要使光线的强10块这样的玻璃.度减弱到原来的1

以下,则至少要透过3【解析】设刚开始的光线强度为1，则透过1块这样的玻璃后，光线强度为1-n，即0.9<，n＞10.4，故至少要透过11块这样的玻答案：111；10

10

1010透过2块这样的玻璃后，光线强度为(1

1

)(1

1

)(1

1

)210

10

10透过3块这样的玻璃后，光线强度为(1

1

)2

(1

1

)(1

1

)310

10

10则透过n块这样的玻璃后，光线强度为(1

1

)n1

(1

1

)(1

1

)n

.n1

110

3令

(1

)

13璃，才能使光线的强度减弱到原来的

1以下.3类型二

对数函数模型3,单当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?某条鲑鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍.【典例】

鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1

log2位是m/s,θ是表示鱼的耗氧量的单位数.100【解题探究】典例(2)中“游速提高1m/s”的含义是什么?提示:游速提高1m/s实质是v2-v1=1,212

3

100

2

3

100

1

log即1

log

1.所以耗氧量为原来的9倍.【解析】(1)由v=

1

log

可知，当θ=900时，2

3

10032

3

100

2v

1

log

900

1

log

9

1m

/

s.1(2)由v2-v1=1，即1

log212

3

100

2

3

100

1

log

1，得2

9.【延伸探究】1.(改变问法)在典例中若条件不变,求解的问题改为:当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是多少?【解析】将θ=8100代入函数关系式,得v=1

log381=1

×4=2,所以一2

2条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是2m/s.2.(改变问法)在典例中若条件不变,计算一条鲑鱼时耗氧量的单位数.【解析】令v=0,得

1

log

0，即则θ=1100,所以一条鲑鱼2

3

100

100时耗氧量为100个单位.【方法技巧】对数函数应用题的解题思路有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.【补偿训练】1.衡量

级数的“里氏”是指源

的能量)的常用对数值,显然里氏级别越高,强度(即

时震的强度也就越大.如

1923年的

是里氏8.9级,氏8.3级,试计算一下,

1923年的旧金山1906年的

是里强度是

旧金山1906年的强度的多少倍?【解析】设

1923年的 强度为x, 旧金山1906年的=100.6≈4.即

1923年的 强度约是

旧金山1906年的强度的4倍.y108.38.9强度为y,则8.9=lgx,8.3=lgy,所以x=108.9,y=108.3,所以x

102.我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,I

I为分贝,LI≥0,其中I0=1×10-12W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题:0常用声音的强度水平L

表示,它们满足以下公式:L

=10·lg

I

(单位I(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12W/m2,耳语的强度是1×10-10W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平.(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所

的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?【解题指南】(1)代入公式LI=10·lg

即I

可求解.I0(2)列出LI满足的条件,解不等式.【解析】(1)由题意可知:树叶沙沙声的强度是I1=1×10-12W/m2,则=10lg102=20,即耳语的强度强度I大于或等于10-12W/m2,I3(2)由题意知:0≤LI<50,即0≤10lg10-12≤I<10-7.所以新建的安静小区同时应小于10-7W/m2.所以,

L=10lg104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.0II1I1=1,所以

L=10lg1=0,即树叶沙沙声的强度水平为0分贝;耳语的强0II2度是I2=1×10-10W/m2,则I2

=102,所以L水平为20分贝;恬静的无线电广播的强度是I3=1×10-8W/m2,则I3

=104,I0<I

50,所以,1≤

<I105,即I0

I0【延伸探究】器发出的音乐强度水平为60分贝,1.在本题条件下,若某电子音乐试求该电子

器的强度.【解析】由10·lg

I=60,即lgI010-12=1×10-6W/m2.=I

6,所以I0=I

106,即I=106×1×I02.若安静小区为了进一步提高居民的生活居住环境,规定小区内公共场所

的强度水平必须保持在40分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?【解析】由题意知:0≤LI<40,即0≤10lg10-12≤I<10-8.所以新建的安静小区同时应小于10-8W/m2.<I

40,所以,1≤

<I104,即I0

I0强度I大于或等于10-12W/m2,类型三

建立拟合函数模型解决实际问题【典例】1.下列函数关系中,可以看作是指数型函数y=kax(k∈R,a>0且a≠1)模型的是

(

)A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C.如果

ts内骑车行驶了1km,那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系D.信件的邮资与其质量间的函数关系2.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如表所示.年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象.建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象.根据所建立的函数模型,估计若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷?【解题探究】1.典例1中y=kax有怎样的变化趋势?提示:此函数为指数型函数,变化趋势符合指数函数的变化规律.2.典例2中如何应用表中的数据?提示:可首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型.【解析】1.选B.A中信号弹的高度先增加再减少,不符合y=kax的变化;B中若已知人口数为m,则x年后有m(1+1%)x,符合y=kax;C,D中函数关系也不符合指数型函数变化规律.2.(1)描点、作图,如图(甲)所示:(2)从图(甲)中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx(a,b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,45.8

a

24.0b数模型:y=2.2+1.8x,作出函数图象如图(乙),可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.得21.1

a

1用0.4计b，算器可得a≈2.2,b≈1.8.这样,得到一个函(3)由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x,则由y=2.2+1.8×25,求得y=47.2,即当积雪深度为25cm时,可以灌溉土地约为47.2公顷.【延伸探究】典例2(3)中估计若今年最大积雪深度改为30cm,问可以灌溉土地多少公顷?【解析】由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x,则由y=2.2+1.8×30,求得y=56.2,即当积雪深度为30cm时,可以灌溉土地约为56.2公顷.【方法技巧】建立函数拟合与的基本步骤【变式训练】图中一组函数图象,它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配:情境A:一份30分钟前从冰箱里取出来,然后被放到微波炉里加热,最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻);情境B:一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个

者收藏,并且被保存得很好);情境C:从你刚开始放水

,到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度;情境D:根据乘客人数,每辆

车一趟营运的利润.其中情境A,B,C,D分别对应的图象是

.【解析】对于A,加热时升温快,然后再变凉,

为①;对于B,过时的物品价值先下降,直到收藏后价值才会升值,因此显然为③;对于C,由于 一般是间歇性用水,所以 水高度函数图象有多重折线,因此显然为④;对于D,乘客人数越多,利润越大,显然是②.答案:①③④②【补偿训练】环境污染已经严重危害人们的健康,某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如下表:月数1234…污染度6031130…污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:2问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由.f(x)=20|x-4|(x≥1),g(x)=

20

(x-4)2(x≥1),h(x)=30|log

x-2|3(x≥1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.【解析】用h(x)模拟比较.理由:因为f(2)=40,g(2)≈26.7,h(2)=30,f(3)=20,g(3)≈6.7,h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值,所以用h(x)模拟比较合理.规范解答指数、对数函数模型在实际问题中的应用【典例】(12分)某开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足的曲线.写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t).据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求一