随机-窄带过程

第五章窄带随机过程2

305.1、预备知识窄带随机过程Si

()So

()H()000Sx

,0

c

0

cotherSx

0,若C

0

，则称Xt为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程5.1、预备知识5.1.1复信号在研究随机过程时，最直观的表示方法是实随机过程，物理上存在的随机过程都是实随机过程。但是在某些情况下，例如在分析窄带随机过程时，把它表示为复数形式更为方便（比如，利用复数形式比较容易去掉载频，变换为基带过程）。首先介绍确定性信号的复数表示方法，进而推导出希变换表达式。5.1、预备知识一、正弦型信号的复数表示方法s(t)

acos0t

利用公式和ej0t

，得到信号频谱0

0

012j

jX()

a

e

e

说明：正弦型实信号包含正负两个单频分量。它们包含了相同的信息。为了便于分析，引入其复指数函数形式s(t)

a

ejej0t

aej0t其中，a

aej

称为复包络。5.1、预备知识2X,X

0

00,由于复信号具有单边带频谱的优点，因此应用复信号s

t来表示实信号st时，可以简化信号和滤波器的分析。可以看出，实信号st是复信号st的实部：st

Re

st复信号st的频谱为X

a

0

，表示其频谱仅包含正频率分量，并且幅度为实信号频谱的两倍：复数表示没有损失信息5.1、预备知识二、任意实信号的复数表示方法设st是任意实信号，我们知道，任意实信号都具有双边带对称频谱（按照级数展开，任意实信号可以展开为正弦型信号的组合）。现在，我们要寻找一种复信号st，使其满足如下两个条件：s

t

Re

s

t2X,X

0

00,对于正弦型信号，复指数函数正好同时满足以上两个条件。但是，对于任意的实信号st来说，同时满足上述两个条件的复信号是否存在，如果存在，其具体形式？有何特点？5.1、预备知识应用反变换，将实信号表示为

jt0jtjt0

jtjt00

1

2s

tX

e

d

1X

e d

X

e

d

1X

ed

X

e

d2

2

令A

jt0

1

2X

e

d，可得到st

A

A

2

ReA

Re2A

jt0

1s

t

Re2X

e

d

25.1、预备知识这样，我们就找到了一种复信号

jt0

1

12X

U

e

djts

t

2X

e

d

2

2首先，其满足第一个条件，st

Re

s

t

。其次，其对应的频谱为单边带频谱X

2X

U，满足第二个条件。下面将复信号st表示为解析表达式s

t

st

jsˆt

将其称为解析信号。实部已知，关键是求虚部的表达式，或者，实部st和虚部sˆt

之间存在什么关系？5.1、预备知识我们从第二个条件出发，X

2X

U，对等式两

边求

反变换。因为U

1

t

1

，所以st

st

t

1

st

jst

1jt

t

t

t

sˆt

st

1

1

s

d上式给出了解析信号的实部和虚部之间的关系，称为(Hilbert)变换,

记为st

HT

s

t

。5.1、预备知识5.1.2、变换:Hilbert

Transform1862-1943,德国数学家（1）变换h(t)

1tX(t)duu1

X(u)

1

X(t

u)Xˆ

(t)

t

u

du

sˆt

st

1t变换相当于一个正交滤波器，为什么10？/

？变量替换

u

t

u'ˆduu1

X(t

u)X(t)

5.1、预备知识1862-1943,德国数学家5.1.2、

变换:

Hilbert

Transform滤波器频域特性的推导：s

t

st

jsˆ

t

sˆ

t

j

s

t

st等式两端做 变换Xˆ

j2X

U

X

H

XH

jsgnH

1

,

0

22,

05.1、预备知识5.1.2、变换:Hilbert

Transform1862-1943,德国数学家|

H()

|arg[H()]122

变换对所有信号的幅度响应为1（全通），对所有正频率分量都移相-90度，对所有负频率分量移相+90度，所以，

变换是一种正交变换，它相当于一个正交滤波器。全通13

/

305.1、预备知识5.1.2、变换:Hilbert

Transform（2）逆变换

jXˆ

()

j(

jX())

X(),

0xˆ(t)

ˆ

X()X()

jXˆ

()

j[jX()]

X(),

0

ˆ1ˆˆ1x(t)

xˆ(t)

HT[xˆ(t)]x()d

t

1

xˆ(t

)

d

x

t

HT

[x(t)]t

1

145.1、预备知识5.1.2、变换:Hilbert

Transform（2）逆变换j-jphase

adjustmentg(t)

1

G

jsgntxˆ

x1g(t)

th(t)

1

H

jsgnt正交滤波器5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质定义：给定一个实随机过程Xt，定义一个复随机过程Xt

Xt

jXˆ

t，其中Xˆ

t

HT

Xt

是Xt的Hilbert

变换，则称Xt是实随机过程Xt的复解析过程，简称解析过程。注：将解析信号的概念直接推广应用于随机过程，但是需要研究解析过程的统计性质5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质1：若Xt为实平稳随机过程，则Xˆ

t也是实平稳随机过程，并且联合平稳。证明：因为 变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质

2：解析过程Xt的实部Xt和虚部Xˆ

t的相关函数和功率谱相同。证明：Xˆ

t

Xt

htS

ˆ

SX

H

S

2X

X做

逆变换

ˆXXR

R

5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质XX

ˆXXXˆ性质

3：

R

ˆ

Rˆ

X

，

R

R证明：

Xˆ

XXX

t

R

E

Xˆ

t

Xt

E

1dX t

1

E

Xt

Xt

d

Rˆ

同理ˆXXXˆ并且

ˆ

ˆX

X X

XRR

R

R注：与随机信号通过线性系统的分析结果相同RYX

RX

h，

RXY

RX

h5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质4：ˆXXR

ˆ

R

证明：XXR

ˆ

Rˆ

X

RX

h

RX

h

Rˆ

X

R

ˆ

XX

ˆXX

XXXXR

ˆ

0

R0

0

XX另，因为R

ˆ为奇函数，有ˆXX利用两次性质3正交。从这点上理解说明在同一时刻t，随Hilbert是正交滤波器。R

0

0

EXˆ

t

Xt

0

量Xˆ

t和Xt互相关函数为奇函数5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质5：RX

2

RX

jRˆ

X

*

XˆˆˆXXXXXˆXX

X证明：R

E

X

t

X t

E

Xt

jXˆ

t

X

t

jXˆ

t

RX

jR

jR

R

2

R

jRXX

2

R

jRˆS

ˆ

jsgn

SX

XX性质6：证明：

ˆXXXXˆR

R

R

h

ˆXXXS

jsgn

SFT观察实过程和解析过程的相关函数之间关系5.1、预备知识5.1.3、解析过程及其性质性质7：SX

4USX

证明：

由取

变换RX

2

RX

jRˆ

X

SX

2

SX

jSX

jsgn

2SX

1

sgn

4SX

U解析过程具有单边带功率谱密度，其强度为原实过程功率谱密度强度的4倍。与解析信号对比分析。5.2、窄带随机过程的表示方法So

()H()000Sx

,0

c

0

cotherSx

0,C

0Si

()为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程定义：实平稳随机过程X称X235.2、窄带随机过程的表示方法XI

(t)XQ

(t)X(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0t

X(t)cos0t

Xˆ(t)sin

0t

X(t)sin

t

Xˆ

(t)cos

t0cos

tsin0tIX

(t)XQ(t)+

-

X(t)同相、正交分量方法：莱斯表达式同相(In-phase)分量0

0正交(Quadrature)分量包络、相位表示方法：准正弦振荡表达式X(t)

A(t)cos[0t

(t)]A(t)(t)0

:中心频率或载波频率A(t)

X2

(t)

X2

(t)

:包络(过程)I

Q

arctan[XQ

(t)/XI

(t)]:相位(过程)基带过程：功率集中在零频附近245.2、窄带随机过程的表示方法I

QX(t)

X(t)

jXˆ

(t)X(t)e

j0t

[X(t)

jXˆ

(t)]e

j0t

X(t)cos

0t

Xˆ

(t)sin

0t

j

X(t)

sin

0t

Xˆ

(t)cos

0tXI

(t

) XQ

(t

)

X(t)

X

(t)

jX

(t)

ej0t

B(t)ej0tX(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0t

j

XI

(t)sin

0t

XQ

(t)cos

0t

X(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0tB(t):complex

envelope

复包络：不一定具有对称谱解析过程Rice

representation5.2.1、莱斯（Rice）表达式单边谱+下变频5.2、窄带随机过程的表示方法I

QB(t):complex

envelopeX(t)

X

(t)

jX

(t)

ej0t

B(t)ej0t

5.2.2、准正弦振荡表达式X(t)

A(t)cos[0t

(t)]准正弦振荡表达式和莱斯表达式的推导关系：一般的数学表达都有直角坐标和极坐标两种形式，准正弦振荡表达式从解析过程出发，将基带过直角坐标形式转换为极坐标形式得到的265.2、窄带随机过程的表示方法随机信号的复包络为：B(t)

XI将其表示为复指数形式：B(t)

A(t)ej(t)其中：XI

(t)A(tXQ

(t)A(t)

X2

(t)

X2

(t)I

Q(t)

arctan

XQ

(t)

/

XI

(t)所以：X(t)

X(t)

A(t)

A(t)cos(t)cos0t

相位包络复包络5.2.2、准正弦振荡表达式275.2、窄带随机过程的表示方法ej0tX(t)

X(t)

jXˆ

(t)

[X

(t)

jX

(t)]ej0tI

Q

B(t)ej0t

IB(t)

X

j0t j0

(t)RX

()

E[B

(t)e B(t

)e

]

ej0

E[B

(t)B(t

)]B

ej0R

()SX

()

SB

(

0

)SB()SX

()SX

()0

0

0For

amplitude-phase

examination!高频窄带信号的复包络即为承载信息的复基带信号！！5.2、窄带随机过程的表示方法Ex. 5.1：已知某信号为X(t)

C(t)ej0t

，其中C(t)为某宽平稳复C信号，其自相关函数为R

()

sin(

2a)

eja

，其中a

0。问X(t)有所以当0a时，X(t)有可能为某实信号的解析形式。aa

a0283a

可能是某实信号的解析信号吗？如果可能，应满足什么条件？解：由于R

()

E[X

(t)X(t

)]

R

()ej0

，所以X

CSX

()

SC

(

0)而C(t)的功率谱密度如下图所示：SC()

SX()295.2、窄带随机过程的表示方法Ex.5.2：已知某信号为X(t)

cos[0t

Y(t)]，并且Y(t)的带宽远小于0

。求信号X(t)的复包络和包络。解：由题设，Xˆ

(t)

sin[0t

Y(t)]根据定义有：XI

(t)

X(t)cos

0t

Xˆ

(t)sin

0t

cos[Y(t)]XQ

(t)

X(t)sin

0t

Xˆ

(t)cos

0t

sin[Y(t)]所以X(t)的复包络为B(t)

X

(t)

jX

(t)

ejY(t)I

Q而包络为：A(t)

|

B(t)

|

15.2、窄带随机过程的表示方法Ex.

5.3：已知某信号X(t)

A(t)cos0t

B(t)sin

0t，其中A(t)和B(t)是两个功率谱相同（

）且相互正交的平稳信号。求信号X(t)自相关函数RX

()的解析形式（预包络）。解：由题设，RX

()

RA

()cos0

。根据知Rˆ

X

()的傅氏变换应为jsgn()

[SA

(

0

)

SA

(

0

)]/

2

j/

2

[SA

(

0

)

SA

(

0

)]所以Rˆ

X

()

RA

()sin0由此有RX

()

RX

()

jRˆ

X

()

RA

()e

0j

变换的定义可SA()B

0315.2、窄带随机过程的表示方法1XI(t)和XQ(t)都是实随机过程23QE[XI

(t)]XI(t)和XQ(t)各自广义平稳，且联合平稳，并且RX

()

RX

()I

Q

RX

()cos0

RXXˆ

()sin

0ˆX

ˆX

XX

XXˆ(1)X(t)&

X(t)

:

WSS;(2)

R

()

R

();(3)

R()

R

ˆ

()E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Qhints

for

proof：基带过程XI(t)和XQ(t)的性质设X(t)是平稳过程，均值为05.2、窄带随机过程的表示方法

0

00

0ˆ0

0XX0

0

ˆ

0

0XX

Xˆˆ性质3的证明RX

E

XI

t

XI

t

I

E X

t

cos

t

X

t

sin

t X

t

cos

t

X

t

sin

t

RX

cos0tcos0

t

R

cos

t

sin

t

R

ˆ

sin

tcos

t

R

sin

t

sin

t

ˆXXR

R

ˆˆXXXXR

R因为

Iˆ0XXRX

RX

cos0

R

sin

又因为E[XI

(t)]

0广义平稳

0E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Q均方值相同5.2、窄带随机过程的表示方法456I

Q

I

QRX

XIRX

X()

R

X

()I()

RX

X

()RX

X

(0)

0,

RB

()

2[RX

()

jRX

X

()]I

Q

I

I

QRX

()

RX

()cos0

RX

X

()sin0I

Q

ISX

()

SX

()

LPSX(

0

)

SX

(

0

)I

QSX

X

()

jLPSX

(

0

)

SX

(

0

)I

Q基带过程XI(t)和XQ(t)的性质RX

X

()

E[XI

(t)XQ

(t

)]I

Q

RX

()sin

0

Rˆ

X

()cos0SB

()

4

LPSX

(

0

)X(t)为零均值高频窄带实信号在同时时间t，正交5.2、窄带随机过程的表示方法2

X2

j

XXI0

X0

X

0

0

X

0性质6(1)的证明RX

()

RX

()cos0

R

ˆ

()sin

0I

XX

RX

()cos0

Rˆ

X

()sin

0

1

R

()

ej0

e

j0

1

Rˆ

()

ej0

e

j0

S ()

1

S (

)

S (

)2

X

0

1

jsgn(

)S (

)

jsgn(

)S (

)2j

X

0

X

00

X

0

0

X0

X

1

S (

)

S (

)2

1

sgn(

)S (

)

sgn(

)S (

)2

0

34

LPS (

)

S (

)

X

0

低频限带过程For

amplitude-phase

examination!SX

()00SSXX

((

0

))[1

sgn(

0

)]/

2SX

((

0

))[1

sgn(

0)]/

2SX[1(

)sgnS(X

()0)]L/

2P[SX

(

0

)

SX

(

0

)]I

Q35：关于原点对称For

amplitude-phase

examination!5.2、窄带随机过程的表示方法5.2、窄带随机过程的表示方法2

j

X2

XXIXQX

0

X

00

X

0

0

X

0XIXQ0

XjS性质6(2)的证明RX

X

()

RX

()sin

0

Rˆ

X

()cos0I

Q

1

R

()

ej0

e

j0

1

Rˆ

()

ej0

e

j0

S ()

1

S (

)

S (

)2j

1

jsgn(

)S (

)

jsgn(

)S (

)2

()

1

S (

)

S (

)2

X

0

1

sgn(

)S (

)

sgn(

)S (

)2

0

X

0

0

X

0

LPSX

(

0

)

SX

(

0

)36

SX

X

()

jLPSX

(

0

)

SX

(

0

)I

QFor

amplitude-phase

examination!375.2、窄带随机过程的表示方法SX

()00SSXX((

0))[1

sgn(

0)]/

2SSXX((00))[1

sgn(

0

)]/

2I

Q[1

sgn(

0

)]/

2jSX

X

()

LP[SX

(

0

)

SX

(

0

)]For

amplitude-phase

examination!385.2、窄带随机过程的表示方法若SX

(|

0

|)

SX

(|

0

|):

，则SX

X

()

0

RX

X

()

0:

：正交I

Q

I

Q若随机过程具有对称于载波频率的功率谱密度，随机过程的同相分量和正交分量两个随机过程是正交的，此时：解析过程具有关于载波频率对称的单边功率谱密度基带过程具有关于零点对称的功率谱密度

2RX

()ISB

()

2SX

()IRB

()

E{[XI

(t)

jXQ

(t)]

[XI

(t

)

jXQ

(t

)]}

RX

()

jRX

X

()

jR

X

()

RX

()I

I

I

Q：关于原点对称For

amplitude-phase

examination!395.2、窄带随机过程的表示方法原点非对称载频非对称载频非对称原点对称原点对称SB

()SX

()IQXSX

()SX

()j(t)B(t)

XI

(t)

jXQ

(t)

A(t)eX(t)

B(t)ej0tXI

(t)

X(t)cos

0t

Xˆ

(t)sin

0tXQ

(t)

X(t)sin

0t

Xˆ

(t)cos

0tX(t)

A(t)cos[0t

(t)]405.2、窄带随机过程的表示方法原点对称载频对称原点对称SB

()XQSX

()I原点对称SX

()载频对称SX

()5.2、窄带随机过程的表示方法∑∑x(t)xˆ(t)cos0tsin

0tXI(t)XQ(t)-I

0

0ˆX

(t)

X(t)cos

t

X(t)sin

tXQ

(t)

X(t)sin

0t

Xˆ

(t)cos

0tHTI

0

Q

00Q

I

0

Q

02X(t)cos

0t

X

(t)

X

(t)cos

2

t

X

(t)sin

2

t

I

2X(t)sin

t

X

(t)

X

(t)sin

2

t

X

(t4)1cos

2

t

x(t)0cos

tsin

0tXI(t)XQ(t)-2LPFLPF2I、Q

正交接收同相分量正交分量中频->基带高频部分补充：基带信息的提取（解调）解调（demodulation）5.2、窄带随机过程的表示方法高频窄带系统线性包络检波器理想带通限幅器相位检波器N(t)X(t)A(t)2cos0t低通网络42cos[(t)]补充：基带信息的提取（检波）检波（包络、相位）5.2、窄带随机过程的表示方法数字检波（幅度和相位）在实际的数字

中，信号首先经过数字DDC下变频到基带，分为I、Q

，然后经过CORDIC算法，得到幅度和相位。5.2、窄带随机过程的表示方法2()2LPFX(t)

A(t)cos[0t

(t)]02X2

(t)

A2

(t)1

cos[2

t

2(t)]

A2

(t)平方律包络检波

A2

(t)

A2

(t)cos[2

t

2(t)]0高频成分44平方律包络检波：只能得到幅度，丢失相位信息，不如正交解调补充：基带信息的提取（检波）45diffracted

wavereflected

wavePDFAt2AtRayleighExponentialGaussian

narrowband

signal5.3、窄带

信号包络与相位的概率密度Fast

(short)

fading

signals

without

direct

path:移动无线信道：窄带信道高频窄带系统包络检波器理想带通限幅器低通网络相位检波器X(t)A(t)2cos0tcos[(t)]S(t)N(t)宽带噪声a2A22af (a)

exp

,

a

02瑞利分布

f

1

2

,

0

2分布5.3、窄带信号包络与相位的概率密度很多电子接收系统都是这样的，并且数字均匀分布也一样的模型。因此，研究清楚窄带

随机过程很有实际意义掌握概率密度对于确定检测门限很重要47回顾2.1.3、随机过程的概率分布利用随 量二维变换求取随机信号二维概率密度函数设随 量X1、X2

和

Y1、Y2

满足单调可逆函数关系：Y1

g1(X1,X2),

Y2

g2(X1,X2)X1

h1(Y1,Y2),

X2

h2(Y1,Y2)在可取值范围Y1、Y2

取值在Sy1y2

内的概率应与X1、X2

在Sx1x2

内的概率相等，其中x1

h1(y1,y2)，x1

h1(y1,y2)，即

fY1Y2(y1,y2)Sy1y2

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)]Sx1x21

1

1

2x

h

(y

,y

)x2

h2(y1,y2)Sx1x2y1y2fX1X2(x1,x2)

fY1Y2(y1,y2)Sy1y2求二维随量函数的概率密度48回顾2.1.3、随机过程的概率分布这样，我们最终得到（具体例子见Ch.5）：fY1Y2(y1,y2)

|

Jh(y1,y2)

|

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)]1

2h

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2利用随 量二维变换求取随机信号二维概率密度函数若

fY1Y2(y1,y2)

未知，则fY1Y2(y1,y2)

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)](Sx1x2Sy1y2)由二重积分有关知识可知Sx1x2Sy1y2

|

Jh(y1,y2)|，其中

h1

(y1

,

y2

)

h1

(y1

,

y2

)

y

yJ

(y

,

y )

det

h

(y

,

y

)h

(y

,

y )

y

y行列式进一步地，分别记t时刻包络、相位，同相、正交分量的可能取值为a、，xI、xQ，则包络、相位和同相、正交分量满足下面的关系：A(t)

X2

(t)

X2

(t)I

Q(t)

arctan

XQ

(t)

X

(t)

I

XI

(t)

A(t)cos[(t)]XQ

(t)

A(t)sin[(t)]I2

I

Qx2a

x2

g

(x

,

x

),

a

0Q

1

I

Q

arctan

xQ

g

(x

,

x

),

[0,

2]

x

I

xI

acos

h1

(a,

)xQ

a

sin

h2

(a,

)495.3、窄带

信号包络与相位的概率密度同相、正交分量和包络、相位的关系505.3、窄带信号包络与相位的概率密度同相、正交分量二维联合概率密度所以fA

(a,

)

|

J

|

fX

X

[xI

h1

(a,

),

xQ

h2

(a,

)]I

Q其中

h1

(a,

)h1

(a,

)

aJ

det

h (a,

)

h (a,

)cos

sin

a

sin

acosa

2

2

a[cos2

sin2

]

a

0由于这表明XI(t)和XQ(t)是两个均值为零，方差为2

且相互独立的

随

量，由此可得两者联合概率密度5：1信号同相、正交分量的性质XI

(t)

X(t)cos

0t

Xˆ

(t)sin

0tXQ

(t)

X(t)sin

0t

Xˆ

(t)cos

0tQ所以

XI(t)

和

XQ(t)均是

随 量。由前面的 又知E[XI

(t)]

E[XQ

(t)]

0E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

2IRX

X

(0)

0I

Q5.3、窄带信号包络与相位的概率密度52同相、正交分量，包络和相位二维联合概率密度x2x2XIXQ

I

QXI11ee1e

I

Q2222x2

x2

I

Q22f

(x

,

x )

f(xI

)fX

(xQ

)

Q2222aΑf (a,

)

a2e

22

,

a

022将上式代入fA

(a,

)

|

J

|

fX

X

[xI

h1

(a,

),

xQ

h2

(a,

)]I

Q5.3、窄带信号包络与相位的概率密度，最终得到：IQx2并利用a

x253包络和相位各自一维概率密度A0a

a2222f (a;t)

fA

(a,

)d

2

e

fA

(a),

a

00

0a2

e

a222

da2

1

f

(),

[0,

2]2f

(;t)

fA

(a,

)da

利用边沿概率密度，进一步求得瑞利分布均匀分布5.3、窄带

信号包络与相位的概率密度注意：若信号X(t)

的功率为2，则包络的均值和均方值

/2

分别为

和

22（求解见后面例题）：5.4、窄带信号包络平方的概率密度窄带

噪声包络平方的一维概率密度QC(t)

A2

(t)

X2

(t)

X2

(t)caC1

c1e2

c

c

2222f (c;t)

e

c

222

fC

(c), c

0IC(t)

0,

A(t)

0c

a2a

c

h(c),

c

0,

a

0fC

(c;t)

|

dh(c)/

dc

|

fA

(a

c)所以54指数分布0根据变换法：555.4、窄带

信号包络平方的概率密度Ex.

5.4：对于零均值，方差为2

的窄带

平稳信号，证明其包络的均值和方差分别为

/

2和(2

/

2)2

。A

a22解：由于f (a)

a

e

2

2

U(a)，所以a2

e2

2

da

a22A00E[A(t)]

af (a)da

令b

a2

0，则E[A(t)]

bb22b2b22

1

e 2

2

da

a2002

020bd(e

)2

be|e

d(

b)2

/

2

b

22e db

a2

e

2

2

da

/

20565.4、窄带信号包络平方的概率密度事实上，E[A2

(t)]

E[X2

(t)

X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Q

I

Q

2E[X2

(t)]

22由此可得D[A(t)]

E[A2

(t)]

E2[A(t)]

(2

/

2)23

a2

a

2

20

e

d(a2

2b2E[A2

(ta2

a

a2e0202

2

|0

b2e db

(2

)e |

220575.4、窄带Ex.

5.5：某信号包络平方的概率密度系统

：Y平均功率为22

，而

2

(2

/

)m2Y

ZYm

/

2Z所以Z(t)的平均功率为

22

(4

/

)m2Y

ZZ2线性窄带系统X(t)Y(t)

Z(t)线性包络检波器图中X(t)为白噪声，现测得Z(t)的均值为mZ

，求Z(t)的平均功率及其一维概率密度函数。若Y(t)的功率为1W，求Z(t)

21/2V

的概率解：由于Z(t)近似为窄带

信号，所以其包络为瑞利分布，其585.4、窄带信号包络平方的概率密度总结：信号：对于均值为0，方差为2

的高频窄带平稳同相、正交分量均是实平稳

过程复包络为复平稳

过程包络（实）一维为瑞利分布，相位一维为均匀分布包络平方一维为指数分布同相、正交分量均值均为

0，方差为2包络均值为

/2

，复包络均值为

0相位均值为1/2复包络和包络的方差均为

2259Gaussian

narrowband

signal

+

sinusoid?direct

wavereflected

wave5.5、正弦型信号与窄带

噪声包络与相位的概率密度Fast

(short)

fading

signals

with

direct

path:高频窄带系统包络检波器理想带通限幅器低通网络相位检波器X(t)A(t)2cos0tcos[(t)]S(t)N(t)宽带噪声a2A22af (a)exp

,

a

02瑞利分布

1f2

,

0

2均匀分布??5.5、正弦型信号与窄带噪声包络与相位的概率密度61正弦信号加窄带噪声之包络一维概率密度fA(a)a

0

1

2X(t)

bc包络服从广义瑞利（莱斯）分布：Aaa2

b222

ab

f (a)

e

I

,

a

020

2

Aaf (a)

a2e

22

,

a

02（3）信噪比很大时，近似为分布：A1(ab)2

ab(ab)22222f (a)

e

e ,

a

0a

12b

2零阶修正函数随机相位信号

方差为2的窄带

信号t

)

N(t)信噪比

b/

0（正弦信号不存在）时为瑞利分布；与前面的结论一致信噪比很小时，仍趋近于瑞利分布：5.5、正弦型信号与窄带噪声包络与相位的概率密度5.5、正弦型信号与窄带噪声包络与相位的概率密度Xt

acos0

0,

2Nt

atcos0t

btsin0tXt

aco

a'tcos0t

b'tsin

0t莱斯表达式准正弦震荡表达式Xt

Atcos

0t

ta'tt

arctan

b'ttAt

a't2

b't2求条件二维概率密度函数fA,|

Atat

'

acos

atb

'

asin

b

t

t独立的随量5.5、正弦型信号与窄带

噪声包络与相位的概率密度Eat

'

acosEbt

'

a

sin

均值Da

'

Db

'

2

t

t

方差

22a'b'|f

a',b'

|

tt11exp

a

'

acos

b

'

asin

2222

t

tA|

f

A

,

|

tt

tA

21exp

a2

2aA

cos

At2222

求fA|

At

t

2fAA|

AtIAt

a

aA

2

2texp

0

2

22

x2nn0

22n

n!I0

x

广义瑞利分布（莱斯分布）函数2

：第一类零阶修正

函数5.5、正弦型信号与窄带噪声包络与相位的概率密度（1）信噪比

为瑞利分布fA(a)A

0

1

2

a

信噪比很小时，趋近于瑞利分布信噪比很大时，趋近于

分布x

10exI

x

12xtA

1A

a2

fA

At

exp

t

2a

22

当At偏离a很小时，1At2a2fA

At

1

A

a2

exp

t

222

65f|(|)

2正弦信号加窄带噪声之相位一维概率密度

1

0,

022erfe2

b2

sin

()22|

bcos(

)f (

|

)

1

e

2bcos(

)222222

2sin

()

()f|

(

|

)

cos(

)e

e22当信噪比为零时，

为均匀分布；与前面的结论一致当信噪比很大时，近似为

分布：5.5、正弦型信号与窄带噪声包络与相位的概率密度5.6、