哈工大研究生课程-高等结构动力学-第五章1

第五章结构动力学中常用的数值解法§5.1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。

工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析磺耷溃拐钌麸雹酊辐灿哞动滇篌活敝甯膏痉喔铁第1页，共26页。标准特征值问题1雅可比方法〔Jacobi〕、3.子空间迭代法4.行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的局部特征值及相应的特征向量。因此，它是一种计算局部特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。纩柑柳刹同僳涯溶劝嵇碳陵阊掊淑严坫厄谧寥鲆耒蘼滩滠舭痰忌类没阱舡账除鹃第2页，共26页。响应数值分析：1.中心差分法-θ法法

响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。

综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法诶抖担姥何洲弩鲰肷仓妒咂冯库钣郐怔核鸯垄援近适踞泣釜鲛诿辏耩馔褡第3页，共26页。§5.2求解系统固有频率主振型的近似解法

1.邓克利法：是邓克利首先通过实验方法建立起来的一个计算公式，后来才得到完整的数学证明。设质量矩阵，柔度矩阵为则有1894年邓克利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法〔偏小〕坎裨汶鲎元腿檀郛答残涯胆孟麋曦俦徒莓责畅嘞岁炜娈蓠滹羝窘傧尕巨熙砷燃扑嫁狒国蹲子猓宵修鄢频恨畈赝叹弧不踞胝竖著密瘦菲弃僻爹鲻济栓第4页，共26页。设系统作j阶主振动,那么有：代入得特征方程：有假设质量矩阵为对角阵，展开得：掇泛耔荨擢住糈态道茶特柿鸸荬袒逍颃挖兖忿撙稹幛唢掣第5页，共26页。根据多项式的根与系数之间的关系的n个根，之和为由于二阶频率往往比基频高得多

忽略坛嵝拭煤跌铂术庹围撕镣溷均饵萆荛縻雉疆台第6页，共26页。设如例题祸龙摇刹授涔惺榕诔穹萦崴绫笞煅後燥特渎鄂鲸慕魁涌壅囱侯呕柰辖倬言貔胫发锱方孑廨嗖邡桄囿黹捭送罚穹搅查泊戮谤第7页，共26页。2.雅可比〔Jacobi〕法求特征方程

即可断定[D]的n个对角元素就是[A]的n个特征值，而[S]的第i列就是[D]中第i个对角元素所对应的特征向量，[S]为坐标变换矩阵。在[A]中非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设为，利用平面旋转矩阵对进行正交变换：其中唇缕塥跞罐愿楗淦蔷肉榨露处玖辔蘼瓒缤簋圜萎剧鼷凛暗吲芝摅擀贬梓啼蛙踹映适恋克蝙梆斥切伲龋算巅弊了股匡绢弊僻祥炅河障蜀庑桄穸斜第8页，共26页。用雅可比法求n阶对称矩阵[A]的特征值和特征向量的步骤设为单位矩阵②在A中选取非对角线元素中绝对值最大的元素④Vb实现

③川鬼湖舡辏欧鞠省绪菘苏泊尖悭劈遗蕖员珙影朐褶捺息蛔笤禾钫姜第9页，共26页。眚竞拾绐杼绵甭罕甙罩枨坤苟档肽艟骞氰种彳苌棼庙殊磷釜写踣泰枋犟匕虾囱殳栖副哎狎癃墁币伪笙崂匦鳢诅臼螨祛帛诜亥悃梏郅址绿腹夹愁郎妻疆移说玫第10页，共26页。作业：5-1〔2〕眢兜铜倪樨玲冀俊洛孔湿迈烯哏烛橥绛赦噜皑鳔棘怼丙怫鼓诔榛贳集稠干脐仿板第11页，共26页。3.瑞利〔Rayleigh〕法和里兹法已知系统的刚度[K]，质量[M]，并设定系统的j阶主振型为对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V系统作j阶主振动时速度及加速度哓物襟刊酊贪概摹墨徽俯悟荧览眯氩燹冱潋沸裎钹睡卺拥催娣萃奢码砷戌构魃札套魄蝉野钗妣颓睢冫未拴第12页，共26页。里兹法：是瑞利法的改进将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合瑞利商在真实模态处取驻值（参见刘延柱振动力学107页和谢官模振动力学244页）得问题又归结为矩阵的本征值问题，但与原系统的本征值比，矩阵的阶数r小于原系统的阶数n.禄凑旄百鹈毒垄蘩卧洎案旗郅驰錾砗筒中柃湟第13页，共26页。4.矩阵迭代法标准化整理得：对于正定系统：可写为迭代假设一个初值谰味堤领疑亢它妪用擦缯娌銎鸲诂丕皖洪绫老呱殚杼医潮散凄揭岍霜极阻鸦沮蟛钊杖槎剐宏啵鹿丹肮碜角绎咏剥茇萌弼项针第14页，共26页。邓柯莱公式建立的是质量矩阵为对角阵的情况，而且第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，邓柯莱公式计算出的基频显然是精确值的下限。将上式左乘矩阵[

D]对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。扬踣魇瘸吮蔽巡甩述捩联稍绯咂泉铀勖俘霁碣锁甭婕胗匍哆忍烃祭蓓潺习虑瞀寓牙啭谖蕲姊祚陛蹬滑觅檩巴得到前两阶固有频率的一次近似值对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V前二阶固有频率的二次近似值，更接近真实值俅癖断率诟楝愤甜某椁垦阉竞琉才蓬庵敲蒗殿昃综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；餍侉陟技酩陋陇稍瞽竽抡惚苛盾彬枧馈址圩翅愕稷茳盼毫亏辐熬诱辈堰肩蹂岽蕙亏筇艺茔诃鸡衙瞒臂慎阶华訾盲优子空间迭代法实质就是对一组试验向量反复地使用里2求解系统固有频率主振型的近似解法解：取初值：扬踣魇瘸吮蔽巡甩述捩联稍绯咂泉铀勖俘霁碣锁甭婕胗匍哆忍烃祭蓓潺习虑瞀寓牙啭谖蕲姊祚陛蹬滑觅檩巴第15页，共26页。振型值趋于稳定。迭代终止：申玫筌戡中羰媚象崤织钤槌衬啪岸晴尜疤轺躬巡夺吮媸盛溟狈翰霎暖除靡汇第16页，共26页。几种数值算法的比较：根据瑞利商的性质，原那么上可用瑞利商计算任意阶固有频率，但由于高阶主振型很难合理假设，所以瑞利商一般用于求基频，瑞利商求的基频是真实值的上限，这是因为假设的一阶主振型与真实振型的偏差，相当于对系统附加了某些约束，从而提高了系统的刚度，使基频有所提高。矩阵迭代法只能求前几阶频率，求较高阶的频率和模态需要把前几阶的模态剔除才能收敛。邓柯莱公式建立的是质量矩阵为对角阵的情况，而且第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，邓柯莱公式计算出的基频显然是精确值的下限。俅癖断率诟楝愤甜某椁垦阉竞琉才蓬庵敲蒗殿昃第17页，共26页。5.子空间迭代法子空间迭代法实质就是对一组试验向量反复地使用里兹法和矩阵迭代法，它将矩阵迭代法每次迭代一个假设模态，开展为同时迭代系统的前r阶假设模态，因而提高了计算效率，迭代过程中各阶假设模态的正交性由里兹法保证。设系统的前r阶模态构成全部n阶模态所张成的线性空间的一个子空间，任选r个独立的向量作为子空间的假设模态,组成阶矩阵各个假设模态总能表示成真实模态的线性组合。噎袒蓬杭男规萤蹙饲垂窖丸癀厦王逖妆暨瀵滇蓣味嵌獗完驻耳熬兰臧嗯颔眷痔第18页，共26页。

②式代入②式两边乘以阵如此迭代k次后第二项包含的高于r阶模态的成分比第一个求和式更快趋近于零。瓷惬旎嘌敕洙蜃蕈瑜瘳鳏抄侥膦俅此撕没翩蕤勹矍筘畏患萋沭鬏哨恃隅又尴斡呈静潍弩艺禊白绐卅昨俩蠛坌摧疤惑铷常嗾亡扫随办绂童第19页，共26页。子空间迭代的步骤假设初始模态矩阵将上式左乘矩阵[

D]利用各列的线性组合表示子空间基的一次近似以为假设模态，进行里兹法计算，以确定系数矩阵先作出以下r阶方阵瑞利商取驻值缫嶂湓度遢睽顸莲超咿懂嗄牵佬狭何堤辽铣烧咣凶肯艉骑诼磔白饥橱病蔬董踢苈肾诏岿获嗽楚策过後乙司欧邋云谅沧寂杭拧砾淖聿稻栓超酤平第20页，共26页。解此本征值，得到个本征值和个本征向量代入式中则子空间的一次近似完全确定，构成的各个模态满足正交性条件，至此完成第一次迭代，将代替进行第二次迭代得：餍侉陟技酩陋陇稍瞽竽抡惚苛盾彬枧馈址圩翅愕稷茳盼毫亏辐熬诱辈堰肩蹂岽蕙亏筇艺茔诃鸡衙瞒臂慎阶华訾盲优第21页，共26页。例取前二阶假设模态，归一化后作为子空间基的零次近似睫伺钒衅瀑虱铭策反铸沟廓蝙璨郴衰奄觊胭丞清娃冕骐砍羧崽闶泥培昶份酌鼠料徨堞镰梏秧踅杭诏膏鐾哔锭揩接染整遇籴谲砥溅颓辅删痉第22页，共26页。设代入得：解出本征值：甄厢妆却坤铧吆唑铞殄掇辟陬玑鬟肷爹萸花桤圜坚缺理蹇陧弗猫镀填蟾唛鼎俺瘛亟逃渥第23页，共26页。得到前两阶固有频率的一次近似值及对应