高等代数北大版1-4课件

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式1§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式2一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4i)

1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．

则称为的公因式．一、公因式最大公因式3i)1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)①的首项系数为1的最大公因式记作:注：

②，是与零多项式0的最大公因式．③两个零多项式的最大公因式为0．

④

最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.若

为的最大公因式，则，c为非零常数．

若不全为零，则4①的首项系数为1的最大公因式记作:注：二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而

．

引理：5二、最大公因式的存在性与求法若等式定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．

6定理2对，在中存若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且

考虑一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

证：7若有一为0，如，则若，用除，得

如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中或．

即

于是我们有一串等式

8若，用除，得如此辗转99从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到10从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.

③对于，使,但是未必是的最大公因式.

11说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除如:

，则

取，有

取，也有

取,也有

成立．事实上,若则对，12如:，则④若，且则为的最公因式．设为的任一公因式，则证：从而即∴为的最大公因式．

13④若，且则例1求，并求使

14例1求，并求使解:

且由

得

15解:且由得15例2.设

求，并求使

16例2.设求，并求因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．17因式，即就可以)，这是因为和则称为互素的(或互质的)．1．定义:三、互素若互素

除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．

18则称为互素的(或互质定理3

互素

，使

2．互素的判定与性质证：显然．设为的任一公因式，则从而又故19定理3定理4若，且，则证：使于是有又20定理4若，且推论若

，且又，则证:，使于是，使而由定理4有从而21推论若若满足:

定义i)

则称为的最大公因式．

ii)若则四、多个多项式的最大公因式22若满足:定义i)则称为注：

表示首1最大公因式．②，使

③

的最大公因式一定存在．④互素使23注：表示首1最大公因式．②，使③附:最小公倍式设，若

i)ii)

对的任一公倍式，都有则称为的最小公倍式．注:

的首项系数为1的最小公倍式记作:24附:最小公倍式设§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式25§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式26一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4i)

1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．

则称为的公因式．一、公因式最大公因式27i)1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)①的首项系数为1的最大公因式记作:注：

②，是与零多项式0的最大公因式．③两个零多项式的最大公因式为0．

④

最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.若

为的最大公因式，则，c为非零常数．

若不全为零，则28①的首项系数为1的最大公因式记作:注：二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而

．

引理：29二、最大公因式的存在性与求法若等式定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．

30定理2对，在中存若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且

考虑一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

证：31若有一为0，如，则若，用除，得

如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中或．

即

于是我们有一串等式

32若，用除，得如此辗转339从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到34从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.

③对于，使,但是未必是的最大公因式.

35说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除如:

，则

取，有

取，也有

取,也有

成立．事实上,若则对，36如:，则④若，且则为的最公因式．设为的任一公因式，则证：从而即∴为的最大公因式．

37④若，且则例1求，并求使

38例1求，并求使解:

且由

得

39解:且由得15例2.设

求，并求使

40例2.设求，并求因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．41因式，即就可以)，这是因为和则称为互素的(或互质的)．1．定义:三、互素若互素

除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．

42则称为互素的(或互质定理3

互素

，使

2．互素的判定与性质证：显然．设为的任一公因式，则从而又故43定理3定理4若