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文档简介

浅谈“恒成立”问题主讲人：江万鹏高考探究

“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。2.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围

3.证明不等式恒成立1.函数、数列的恒成立问题

一、恒成立问题常见的题型二、解决恒成立问题常用的方法1函数性质法

2变量分离法3数形结合法4换元法

常用方法

以下是常规题型讲解

f(x)=ax+b,x

[α,β]，则：

f(x)>0恒成立＜＞

f(x)<0恒成立＜＞f()>0f()>0f()<0f()<0只要该函数是一次函数，那么它一定是单调函数，不管它在给定的区间是增函数还是减函数，只要满足两端点所对应的函数值同时大于或小于零就足够了αβoxy一、一次函数型典例导悟a=b=0C>0或a>0Δ=b2-4ac<0a=b=0C<0或a<0Δ=b2-4ac<0ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：

______________________。

ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：

______________________。二、二次函数型如果把“＞（或＜）”变成“≥（或≤）”，充要条件还一样吗？典例导悟若关于X的不等式解集为R，求m的范围。解析：（1）当m-1=0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意；时，只需所以（2）当三、变量分离型

【理论阐释】

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。思路1：

思路2：

说明：Max或min指该函数值域的边界典例导悟，设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是

。四、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】

若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。典例导悟练习一、对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解：令，则原问题转化为恒成立（应有解之得∴的取值范围为方法点拨：给谁的范围，就以谁为自变量，既关于它的函数2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。

4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。本节课小结设函数，若在上恒成立，求实数的范围.思考、恒成立与有解的区别设函数，若在上有解，求实数的范围.解：当时，∴

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