位移法知识归纳T99

2022/11/281第九章位移法2022/11/282§9-1位移法的基本概念ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以实现结点位移状态的一致性。ABC2022/11/283ABCPθAθA实现位移状态可分两步完成：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。2022/11/284位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。ABABCPCPA关于刚架的结点未知量2022/11/2851MABMBA§9-2等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端弯矩MABMBAlMABMBA利用单位荷载法可求得设同理可得1

杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角

β＝Δ/l都以顺时针为正。②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。EI2022/11/286EIMABMBAlMABMBA（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：2022/11/287ΔθAθB用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令2022/11/288可以将上式写成矩阵形式12342022/11/289AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI2022/11/2810由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i02022/11/2511二、由荷载求求固端反力mABEIqlEIqlmBA»在已知荷载及及杆端位移的的共同作用下下的杆端力一一般公式（转转角位移方程程）：2022/11/2512§9-3位移法的基本本体系一、超静定结结构计算的总总原则:欲求超静定结结构先取一个个基本体系,然后让基本体系系在受力方面面和变形方面面与原结构完全一样样。力法的特点：：基本未知量——多余未知力；；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条条件）位移法的特点点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移移平衡条件？一组单跨超静静定梁2022/11/2513二、基本未知知量的选取2、结构独立线线位移：（1）忽略轴向力力产生的轴向向变形---变形后的曲杆杆与原直杆等等长；（2）变形后的曲曲杆长度与其其弦等长。上面两个假设设导致杆件变变形后两个端端点距离保持持不变。

CDABCD12每个结点有两两个线位移，，为了减少未未知量，引入入与实际相符符的两个假设设：1、结点角位移移数：结构上可动刚刚结点数即为为位移法计算算的结点角位位移数。2022/11/2514线位移移数也也可以以用几几何方方法确确定。。140将结构构中所所有刚刚结点点和固固定支支座，，代之之以铰铰结点点和铰铰支座座，分分析新新体系系的几几何构构造性性质，，若为为几何何可变变体系系，则则通过过增加加支座座链杆杆使其其变为为无多多余联联系的的几何何不变变体系系，所所需增增加的的链杆杆数，，即为为原结结构位位移法法计算算时的的线位位移数数。2022/11/25158m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………………(1a)F21+F22+F2P=0………………………(2a)三、选选择基基本体体系四、建建立基基本方方程2022/11/25161.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………………(1a)F21+F22+F2P=0………………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0…………..(1)=0…………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5i2022/11/2517F1PABCDF2P4kN`·m4kN·mMPF2P040F1P-6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法法方程程：六、绘绘制弯弯矩图图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计计算结结点位位移2022/11/2518k111+k122+···················+k1nn+F1P=0k211+k222+····················+k2nn+F2P=0···································································kn11+kn22+···················+knnn+FnP=0121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21×1k21=k12=k12×1+k22×0kij=kji具有有n个独独立立结结点点位位移移的的超超静静定定结结构构：：第四四节节无无侧侧移移刚刚架架的的计计算算1、无无侧侧移移刚刚架架基基本本未未知知量量的的判判定定：：结构构上上刚刚结结点点的的独独立立角角位位移移数数=结构构上上的的自自由由刚刚结结点点数数其位位移移法法基基本本未未知知量量等等于于：：(a)(b)(c)(d)返回回说明明：：1）强调调：：位移移法法基基本本未未知知量量是是结结构构中中自自由由结结点点上上的的独独立立结结点点位位移移。。对对于于无无侧侧移移刚刚架架来来说说，，结结点点上上的的独独立立角角位位移移是是自自由由刚刚结结点点上上的的角角位位移移。。3）直直杆杆的的突突变变截截面面处处视视为为刚刚结结点点。。2)结构构的的自自由由刚刚结结点点，，指指连连接接了了两两个个及及两两个个以以上上杆杆件件的的刚刚结结点点。。注注意意刚刚结结点点处处也也会会有有支支座座链链杆杆，，见见图（（c）。2、位位移移法法解解无无侧侧移移刚刚架架例9-4-1试用用位位移移法法计计算算图图(a)所示示连连续续梁梁，，并并作作梁梁的的弯弯矩矩图图。。(a)解1)确定位移移法基本本未知量量图(b)(b)2)由结点B的平衡条条件建立立位移法法典型方方程3)绘出刚臂臂发生单单位位移移的弯矩矩图和荷荷载作用用下的弯弯矩图4)利用静力力平衡条条件计算算各系数数和自由由项5)求解典型型方程，，得到基基本未知知量6）叠加作作梁的弯弯矩图，，见图(f)(f)7）利用隔隔离体平平衡条件件，做剪剪力和轴轴力图例9-4-2用位移法法计算图图(a)所示刚架架，绘M图。(a)解1)刚架有两两个角位位移未知知量z1、z2，见图(b)所示。(b)2)建立位移移法方程程3)计算系数数；求解解方程；；绘制弯矩矩图见图图(c)。4)校核(c)有侧移刚刚架第五节有有侧移移刚架的的计算有结点独独立线位位移未知量的的刚架。。侧移结点线位位移使某某些杆件件两端沿沿其杆轴轴线垂直直方向发发生相对对线位移移。1、结构线线位移未未知量的的判断(a)(b)(c)(d)由两个已已知不动动点引出出轴线不不在一条条线上的的两根受受弯直杆杆（或刚刚性链杆杆）相交交的一点点也是不不动点。。这里所所说得不不动点，，指无线线位移的的结点。。附加链杆杆法(a)(b)(a)(a1)(b)(b1)(b2)用附加链链杆法判判断结构构的线位位移未知知量，一一般先考考虑杆端端交于（（刚接或或铰接））一点的的两根杆杆件，两两杆的另另一端应应至少有有一端是是不动点点（固定定端或固固定铰））。说明：例9-5-1判定图示示结构的的位移法法基本未未知量。。(a)(a1)(a2)(b)(b1)(b2)说明：1)轴向刚度度条件对对于曲杆杆不适用用。(d)(d1)(c)2、位移法法解有侧侧移刚架架例9-5-2用位移法法计算图图(a)所示刚架架，并作作刚架的的剪力图图、弯矩矩图。已知，L=6m，q=4kNm。(a)解：1)确定位移移法基本本未知量量(b)2)由平衡条条件建立立位移法法典型方方程3)绘出刚臂臂发生单单位位移移的弯矩矩图和荷荷载作用用下的弯弯矩图4)利用静力力平衡条条件计算算各系数数和自由由项5)求解典型型方程，，得到基基本未知知量6)计算杆端端弯矩和和剪力，，绘内力力图(c)(d)FQ图(kN)M图(kNm)例9-5-3用位移法法计算图图(a)所示刚架架，并作作弯矩图图。(a)解：1)确定位移移法基本本未知量量(b)2)由平衡条条件建立立位移法法典型方方程3)绘出刚臂臂发生单单位位移移的弯矩矩图和荷荷载作用用下的弯弯矩图4)利用静力力平衡条条件计算算各系数数和自由由项5)求解典型型方程，，得到基基本未知知量6)计算杆端端弯矩和和剪力，，绘内力力图第六节位移法的的对称性性利用例9-6-1利用对称称性，计计算图示示刚架，，并作弯弯矩图。。(d)(e)(f)(g)由图(f)、(g)计算：代入位移移法方程程求解：：计算杆端端弯矩：：（上侧受受拉）（上侧受受拉）（下侧受受拉）（左侧受受拉）（右侧受受拉）(h)正对称荷荷载下弯弯矩图（（kNm）2）反对称称荷载下下的计算算(i)(j)(k)(l)代入位移移法方程程求解：：计算杆端端弯矩：：（上侧受受拉）（上侧受受拉）（右侧受受拉）（左侧受受拉）反对称荷荷载下弯弯矩图（（kNm）最后弯矩矩图（kNm）3)叠加绘结结构最后后弯矩图图(a)(b)(c)(d)例9-6-2确定图示示对称结结构的位位移法基基本结构构。(a1)正对称变变形图(a2)反对称变变形图解考虑对称称轴（即即中柱））上结点点C为铰接点点，并考考虑由于于中柱只只产生轴轴力，在在相应的的半刚架架中去掉不影影响结构构弯矩计计算。因因而有正正、反对对称半刚刚架见图图(a1—2)、(a2—2)。(a1——1)(a1——2)(a2——1)(a2——2)(b1)正对称变变形(b1——1)(b1——2)(b2——1)(b2——2)(b2)反对称变变形(c1)正对称变变形(c1——1)(c2——2)(c2——1)(c2——2)(c2)反对称变变形(d1——1)(d1反对称变变形)(d1——2)(d2反对称变变形)(d2——1)(d2——2)§9-7有侧移的的斜柱刚刚架对于有侧移的的斜柱刚刚架在计计算上的的特点是是，确定定基本结结构发生生线位移移时与平平行柱的的区别,见图a和图b。对于图a，在单位位线位移移作用下下，两平平行柱的的两端相相对线位位移数值值相同，，且都等等于1，而横梁梁仅平行行移动，，其两端端并无相相对线位位移，故故不弯曲曲。而对对于图b则就不同同了，在在单位线线位移作作用下，，杆AB、CD的垂直线线位移不不等于1，水平杆杆BC的两端产产生了相相对线位位移，发发生弯曲曲变形。。因此，，在非平平行柱刚刚架中，，在单位位线位移移作用下下：（1）柱与横横梁发生生弯曲；；（2）各杆端端垂直于于杆轴线线的相对对线位移移亦各不不相同。。如何确定定对于斜柱刚架架在当结结点发生生线位移移时各杆杆两端的的相对线线位移？？以下面面图所示示一具有有斜柱刚刚架发生生结点线线位移的的情为例例来说明明。应该注意意到，各各杆的线线位移虽虽然不同同，但它它们是互互相有关关的。确确定当结结点发生生单位线线位移时时各杆两两端的相相对线位位移，可可采用作作结点位位移图的的方法。。首先将刚刚结点改改为铰，，然后观观察在单单位线位位移条件件下各结结点的新新位置及及由此所所产生的的线位移移数值方方向。图a：结点A的线位移移垂垂直于杆杆AB，其水平位移移分量为1。由此可确定定B的新位置。。当机构ABCD作机动时，杆杆CD将绕铰D转动，故铰C的位移必垂直于杆杆CD。于是在的的作用下，，杆BC将最终占有位位置。。杆件BC的运动可分解解为平移（从从BC到））与转动（（从到到））。因此，，各杆的相对对线位移为（（图b）：作结点位移图图的方法（图图b）如下所述：：只需直接作出出三角形即即可。其其方法为：任任选一点O代表位移为零零的点，如A、D点，称为极点点。按适当比比例绘出，，然然后作OB垂直于杆AB；再过B点作杆BC的垂线；又过过O点作杆CD的垂线，便得得出交点C。在此图中，，向量OB、OC即代表B、C点的位移，而而AB、BC、CD则代表AB杆、BC杆、CD杆两端的相线线位移。则图图b称为结点位移移图。例5-3由图d得：杆AB两端相对线位位移为，，杆CD两端相对线位位移由图f得：由图g得：由图h得由图i得由图j得将各系数和自自由项代如位位移法基本方方程，得按叠加法绘最最后弯矩图试用位移法计计算图示结构构，并作弯矩矩图。EI=常数。第八节力法法和位移法的的联合应用§9-8-1联合法用位移法计算算图a所示结构，绘绘制弯矩图。。E=常数。联合法：上述述这种求解同同一问题时，，联合应用力力法、位移法法求解的方法法，称为联合合法。注意点：用联联合法求解对对称结构时，，每个半结构构的计算简图图的求解是很很方便的，但但从半结构的的结果，利用用对称性和进进行叠加时必必须细心，否否则将前功尽尽弃。§9-8-2混合法前面介绍的超超静定结构的的解法，即使使是联合法，，对每一个计计算简图选用用基本结构未未知量都是相相同性质的，，但对图示结结构，不管是是用位移法或或力法，其位位知数数目均均7个，手算是不不可能的。分析：左边“主厂房”部分一次超静静定，但独立立位移有5个。由边“附属厂房”部分独立位移移只有2个，而超静定定次数为六次次。如如果左边边部分以力作作未知量，右右边部分以位位移作未知量量，混合用两两类未知量的的总未知量只只有3个，如图所示示。下面说明明混合法解题题思路此例说明,解决问题不能能墨守成规，，要深刻理解解和掌握力学学概念、原理理和方法，在在此基础上灵灵活应用知识识，才能既好好又省地解决决问题。95§9-9支座移动和温温度改变时的的计算基本方程和基基本未知量以