第一章集合与常用逻辑用语概念运算

数 A（理 基础知识·自主学题型分类·深度剖思想方法·感悟提练出高分确定性、互异性、无序性

属于

不属于关系，用符号

或∉表示

、图示法 ZQR 或集合A，B互为子集合的运集合的并集合的交集合的补图符∁UA＝{x|x∈U，且集合关系与运算的常用结若有限集A中有n个元素，则A的子集个数

2n个，非子集个数

个，真子集有2n－1个A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B思考辨判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或 ×若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立 若A∩B＝A∩C，则 ×已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则 若全集U＝{－1,0,1,2},P＝{x∈Z|x2<4}，则 1A2A3C4 即即

合的基本例 (1)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 D.0或不要忽视集合中元素的互异性合的基本例 (1)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 D.0或合的基本例 (1)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 D.0或

当a＝0时，方程化为1＝0，当a≠0时，由0，解得合的基本例 (1)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 A) D.0或

当a＝0时，方程化为1＝0，当a≠0时，由0，解得合的基本例 (1)(2013·江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一 A) D.0或

注意.分类 的思想方法例 (2)设a，b∈R，集合 ＋b，a}＝0，，b，则 不要忽视集合中元素的互异性例 (2)设a，b∈R，集合 ＋b，a}＝0，，b，则 例 (2)设a，b∈R，集合

＋b，a}＝0，，b，则 a＋b＝0，得例 (2)设a，b∈R，集合

＋b，a}＝0，，b，则

a＋b＝0，得aa例 (2)设a，b∈R，集合 ，b，

注意.分类 的思想方法训练 (1)设集合＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( 解析 因为集合M中的元b所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.当b＝5时，a＝1,2,3，此时x5.＝{,}.(2)已知集合A＝{m2,2m2m}，若3∈A，则m的值为 此时集合A中有重复元素所以m＝1不符合题意，舍去(2)已知集合A＝{m2,2m2m}，若3∈A，则m的值为 2当2m2＋m＝3时，解得m＝－3或m＝1(舍去2此时当m＝－3时 3符合题意所以 合间的基本关例2(1)已知集合A＝{x|x2－3x合C的个数为() 合间的基本关例2(1)已知集合A＝{x|x2－3x合C的个数为()

答 ∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个合间的基本关例2(1)已知集合A＝{x|x2－3x合C的个数为(D)

答 ∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个合间的基本关例2(1)已知集合A＝{x|x2－3x合C的个数为(D)

答 B＝{x|m＋1<x<2m－1},若B⊆A， 例 A＝{x|－2≤x≤7}B＝{x|m＋1<x<2m－1},若B⊆A，

则当B≠∅时，若B⊆A，如图例

B＝{x|m＋1<x<2m－1},若

则 则实数m的取值范围

解得综上,m的取值范围为例

B＝{x|m＋1<x<2m－1},若B⊆A，

则 解得综上,m的取值范围为 空集是任何集合的子集,例 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}涉及集合关系时,必须优先考B＝{x|m＋1<x<2m－1},若则实数m的取值范围

训练 (1)设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M A.6 B.5 C.4 D.3 故满足要求的集合M共有8－2＝6(个已知集合 解 得合的基本例 (1)(2014·辽宁)已知全集

答 合的基本例 (1)(2014·辽宁)已知全集

答 ＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或

在数轴上表示如图合的基本例 (1)(2014·辽宁)已知全集

答 ＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或则集合∁U(A∪B)等于 D

在数轴上表示如图

合的基本例 (1)(2014·辽宁)已知全集 D)

答 数，则用数轴表示，此时要例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值 例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值

答 由(∁UA)∩B＝∅，得∵方程的判别式Δ＝(m＋1)2－4m∴B＝{－1}或例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值

答 ①若B＝{－1}，则②若则应有－且m＝(－2)×(－2)＝4，例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值

答 ③若则应有－且m＝(－1)×(－2)＝2，经检验知m＝1和m＝2合条件.∴m＝1或例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值 1或

答 ③若则应有－且m＝(－1)×(－2)＝2，经检验知m＝1和m＝2合条件.∴m＝1或例 (2)设U＝R，集合A{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若∅，则m的值 1或

答 数，则用数轴表示，此时要因为 5或x≥所以 5}，故训练 (1)(2014·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于 B (2)设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，若则实数a的取值范围一定是 D 解析 ∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{yy<a}，且M∩≠∅，如图只>1.题型四集合中的新定义问题 xx 题型四集合中的新定义问题 xx 解析 (1)集B不是“好”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与 题型四集合中的新定义问题 xx x1∈Q，所以有理数集Q是“好集x题型四集合中的新定义问题 xx则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( 思维升解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：()紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，.训练 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“满足 Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合 所以 ＝(∁UX)∪(∁UY)∪Z，故选答 易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合易错分 解 温馨提x∈R}.若B易错分 解 温馨提易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围 易错分 解 温馨提集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中＝.易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围 易错分 解 温馨提解 因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程解得a2易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围 ②当B≠∅且A时，B＝{0}或并且解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围 ③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}易错分 解 温馨提根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答易错警示系列 遗忘空集致典例：设集合x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}易错分 解 温馨提已知集合B，若已知⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性 法与2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合技理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取巧值范围时，要注意单独等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 时刻关注对空集 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从防关系；二是集合与集合的包含关系范4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意123456789123456789 123456789解 选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是.一个集合选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与一个集合123456789选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N.对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合答 1234567892.(2014·课 Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于 D 解 由解得1≤x≤2，故123456789已知全集则实数a等于 DA.0或 C.1或

123456789已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P子集共有 A.2 B.4 C.6 D.8解 ∴M∩N的子集共有22＝4个1234567895.(2013·辽宁)已知集合则A∩B等于 D 解 123456789设全集U为整数集，集合

B{x∈|－<x}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数( ) 123456789由题意知，图中阴影部分表示的集合为答 123456789已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B等于(A 解 由x2－2x<0，得123456789已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a取值范围为 B 解 用数轴表示集合A，B(如图由A⊆B得1234567899.(2014·重庆)设全集B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝ 即123456789则A∩(∁UB)＝{3,4,5}.

解 123456789已知集合y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝解 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可123456789已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}.若＝C，则a的取值范围是(－∞，－1]解 因为C∩A＝C，所以①C＝∅C⊆A 时,要使

②

综上，a的取值范综上，a的取值范围是

设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足且S∩B≠∅的集合S的个数是( 解 集合S的个数为14.(2014·山东设集合A＝{x||x1|<2B＝{y|y＝2xx∈[0,2]}，则A∩B等于 C 由y＝2x，x∈[0,2]，解得15.(2013·福建)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2).那么称这两个集合“保 解 对选项A，取f(x)＝x－1，x∈N*，所以是“保序同构”的，应排除B所以A＝{x|－x3}，B＝{xx＝－8或<x}是“保序；2对选项Cf(x＝tan(πx2

)(0<x<1，所以A{x|0<x<1}，B＝R是“保序同构”的，应排除C.选答 y若集合y

4∈N*}，则中元素个数 解 由A得x2－9x<0，x∈N*，所以0<x<9，且x∈N*，得由B

4∈N*，即y＝1、2、4，得B＝{1,2,4}，故A∩B＝yy若x，y∈R，A＝{(x，y)|(x＋1)2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，当A∩B≠∅时，则实数a的取值范围是