淮安市淮阴区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案

淮安市淮阴区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定2.已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）A.30° B.45° C.60° D.70°3.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于()A.8cm B.cm C.cm D.cm4.函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.35.抛物线y＝x2经过平移后得到y＝（x﹣1）2+2，其平移的方法是（）A.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度6.已知ABC∽DEF，若AB：DE＝1：2，则ABC与DEF的面积之比是（）A.1：3 B.1：4 C.1：9 D.1：167.当时，与的图象大致是（）A. B. C. D.8.根据下面表格中的对应值：x3.233.243.25326ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26二、填空题（本大题共8小题）9.若，则＝_____．10.函数是二次函数，则m＝_____．11.比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．12.如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）13.如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为____．14.抛物线的对称轴是直线，则的值为___．15.如图，长为2m的竹竿与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m．16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_____．三、解答题17.如图，在ABC中，AB=AC=13，BC=10，求sinB、cosB和tanB的值．18.已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点(﹣2，5)和(1，﹣4)，求b、c的值．19.利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高．20.如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AC平分∠BAD交⊙O于点C，过点C作AD的垂线交AD的廷长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2．且cos∠DAC＝，求弧BC的长．21已知二次函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；（2）若此函数有最小值，求这个函数表达式．22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．23.某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）截止到几月末公司累计利润达到30万元？24.【问题探究】数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．（1）【问题解决】如图1，填空：四边形的形状是__________．（2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．①请帮助小明写出证明过程；②如图2，若，求的值．（3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．25.如图，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B．（1）b＝，点M的坐标为；（2）将直线AB向下平移，使它经过点M，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求∠DMC的度数；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，线段EF延长线与线段OM交于点G．当∠BEF=2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF=4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共8小题）1.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数定义解答即可．【详解】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．2.已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）A.30° B.45° C.60° D.70°【答案】C【解析】【分析】由结合∠A是锐角，且sinA＝，从而可得答案．【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝，∴故选C【点睛】本题考查的是已知锐角的正弦值求解锐角，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．3.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于()A.8cm B.cm C.cm D.cm【答案】A【解析】【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA==，AC=6cm，

∴AB=10cm，

∴BC==8cm．

故选A．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．4.函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由Δ=b2-4ac=22-4×1×（-3）＞0，即可求解．【详解】解：∵Δ=b2-4ac=22-4×1×（-3）=16＞0，

∴函数y=x2+2x-3的图象与x轴有2个交点，

故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数与Δ之间的关系．5.抛物线y＝x2经过平移后得到y＝（x﹣1）2+2，其平移的方法是（）A.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】B【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0），y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），∴将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y=（x-1）2+2，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6.已知ABC∽DEF，若AB：DE＝1：2，则ABC与DEF的面积之比是（）A.1：3 B.1：4 C.1：9 D.1：16【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，∵AB：DE＝1：2，，∴△ABC与△DEF的面积比故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．7.当时，与的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a和b的正负，选出正确的选项．【详解】A选项，抛物线开口向上，，一次函数过一、三、四象限，，，不满足，故错误；B选项，抛物线开口向上，，一次函数过一、二、四象限，，，不满足ab>0，故错误；C选项，抛物线开口向下，，一次函数过一、三、四象限，，，不满足ab>0，故错误；D选项，抛物线开口向下，，一次函数过二、三、四象限，，，满足ab>0，正确故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．8.根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．二、填空题（本大题共8小题）9.若，则＝_____．【答案】【解析】【分析】根据比例设x=2k，y=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．详解】解：∵，∴设x=2k，y=5k（k≠0），

∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．10.函数是二次函数，则m＝_____．【答案】【解析】【分析】根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．11.比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．【答案】＜【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度增大而增大，∴sin50°＜sin60°，故答案为：＜．【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的前提．12.如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【答案】∠ADE=∠ACB（答案不唯一）【解析】【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件．【详解】解：由题意得，（公共角），则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．故答案可为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．13.如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为____．【答案】【解析】【分析】过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，根据平行线的性质可得∠DCE=α，利用勾股定理求出CD=5，根据sinα=sin∠DCE=代入计算即可得出答案．【详解】解：过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，如图，由题意可知，∠DCE=α，∵CE=4，DE=3，∴CD==5，∴sinα=sin∠DCE=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算，添加适当辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．14.抛物线的对称轴是直线，则的值为___．【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．【详解】解：，对称轴是直线，，即，解得．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键．15.如图，长为2m的竹竿与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m．【答案】7【解析】【分析】由实际应用可得：竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．【详解】解：如图；AD=6m，AB=6+15=21m，DE=2m；∵，∴△ADE∽△ABC，∴，即．解得：BC=7，经检验符合题意；故树的高度位7m．故答案是：7．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题．16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_____．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设AE=BE=x，则CE=8-x，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：由题意得AE=BE=x，则CE=8-x∵∴，解得∴CE=8-x=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，正切的定义等．勾股定理的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．三、解答题17.如图，在ABC中，AB=AC=13，BC=10，求sinB、cosB和tanB的值．【答案】【解析】【分析】过A作BC边上的垂线，根据三线合一性质，就可以求出AD的长，在直角△ABD中，利用三角函数定义求解．【详解】解：作AD⊥BC与D，∵AB=AC=13，D是BC的中点，即BD=5，【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．18.已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点(﹣2，5)和(1，﹣4)，求b、c的值．【答案】【解析】【分析】将（-2，5）和（1，-4）代入二次函数解析式y＝x2+bx+c求解即可．【详解】解：将（-2，5）和（1，-4）代入y=x2+bx+c得解得：【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握利用待定系数法求解二次函数的解析式．19.利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高．【答案】旗杆的高为6.4米【解析】【分析】过点E作镜面的法线EF，由入射角等于反射角可知，进而可得出，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出ED的长．【详解】解：过点E作镜面的法线FC，由光学原理得.由题意得，，．∵，，∴．又∵，∴，∴，即，解得（m）．答：旗杆的高为米．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出是解答此题的关键．20.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AC平分∠BAD交⊙O于点C，过点C作AD的垂线交AD的廷长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2．且cos∠DAC＝，求弧BC的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OC，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，即可解答；（2）根据已知可得∠DAC=30°，然后利用圆周角定理求出∠COB=2∠OAC=60°，最后利用弧长公式进行计算即可解答．【小问1详解】证明：连接OC，∵CE⊥AE，∴∠CEA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴，∴∠OCE+∠CEA=180°，∴∠OCE=180°-∠CEA=90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；【小问2详解】解：∵cos∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠OAC=30°，∴∠COB=2∠OAC=60°，∴弧BC的长∴弧BC的长为：．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定与性质以及圆周角定理是解题的关键．21.已知二次函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；（2）若此函数有最小值，求这个函数表达式．【答案】（1）证明见解析；（2）或．【解析】【详解】试题分析：（1）判断根的判别式的正负即可得到结论；（2）根据函数最小值即为顶点的纵坐标即可求得结果．（1），不论为何值时，都有，此时二次函数图像与轴有两个不同交点．（2），，或，所求函数式为或．考点：该题考查函数图象与坐标轴的交点判断点评：当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点．22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．【答案】灯杆AB的长度为2.8米．【解析】【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF−GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC−∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．设AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，∴DF＝＝＝，∵DE＝13.3，∴x+＝13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：灯杆AB的长度为2.8米．【点睛】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．23.某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）截止到几月末公司累计利润达到30万元？【答案】（1）（2）9月末【解析】【分析】（1）设y=a（x-1）2-2，把图中坐标代入求解；

（2）令y=30，代入解析式求出x即可．【小问1详解】解：设y=a（x-1）2-2，

把（4，2.5）代入得：

2.5=a（4-1）2-2，

解得a=，∴函数表达式为：；【小问2详解】由题意得：，解得：x1=9，x2=-7（舍），

∴截止到9月末公司累计利润达到30万元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题时要从图像中寻找关键信息，获取点的坐标．24.【问题探究】数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．（1）【问题解决】如图1，填空：四边形的形状是__________．（2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．①请帮助小明写出证明过程；②如图2，若，求的值．（3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．【答案】（1）正方形（2）①证明见解析；②（3）【解析】【分析】（1）由翻折可知，又不难证明是长方形，从而可得结论．（2）①由题目中的等量关系，考虑证明．②可以把DN：EN转化为面积比，计算三角形的面积即可．（3）注意动点E随着P的移动先从左往右，再从右往左，计算几个零界点时QE的长度即可．【小问1详解】解：依题意，，∴四边形是矩形．又，∴四边形是正方形．故答案为：正方形．【小问2详解】①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=，又由（1）可知AE=AD=BC，∴Rt△≌Rt△BCE，∴=BE．在Rt△和Rt△中，又由∠A=，=，∴，∴．②解：∵，∴，Rt△中，设AM=x，则，解得．Rt△和Rt△中，∵，∴．∴Rt△∽Rt△．∴．解得．而，∴．【小问3详解】（3）解：如图，连接，∵边与边CD交于点E，∴∠BQP=≥∠EQP．故∠EQP≤∠EQB．当P在点A处时，由对折可得由可得QE=，当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2，当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB=当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意．故点E移动的路径长为．故答案为：．【点睛】本题考查四边形的综合问题、动点问题．矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在与分析动点的运动状态，特别是要准确地判断零界点发生的条件，并确定位置．25.如图，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点