2022-2023学年人教A版必修第二册 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 课件（30张）

7.1.1数系的扩充和复数的概念第七章2023课标要求1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.2.通过方程的解认识复数,并理解复数的有关概念.3.掌握复数相等的充要条件及其应用.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

复数的概念及其表示1.复数的定义我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做

,其中i叫做

.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做

.规定i·i=i2=

.

2.复数的表示复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈

).以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的

.

名师点睛z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.复数

虚数单位复数集-1R实部与虚部过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数z=-2i的实部是0.(

)(2)复数z=-1-i的实部和虚部相等.(

)2.方程x2=-1在复数范围内有解吗?√√提示

有解,因为i2=-1,所以i就是方程x2=-1的一个解.知识点2

复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当

且

.

名师点睛1.根据两个复数相等的定义知,在a=c且b=d两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).2.如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.3.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这种数学思想方法的体现.a=cb=d过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个复数实部的差和虚部的差都等于零,那么这两个复数相等.(

)(2)若复数z1=2i,复数z2=3i,则z1<z2.(

)2.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=

.

√×答案

5

解析

因为x+3i=(y-2)i,知识点3

复数的分类1.复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系:(b=0)虚数

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数z=a+bi,当b≠0时是虚数.(

)(2)复数z=(a+1)i一定是纯虚数.(

)(3)实数集R是复数集C的真子集.(

)√×√3.若复数z=(m-2)+(m+1)i是纯虚数,则实数m=

.

答案

2

重难探究•能力素养全提升探究点一对复数相关概念的理解【例1】

(多选题)下列说法错误的是(

)A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2nC.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数D.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数答案

ABD

解析

A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.规律方法

判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;(3)注意通过列举反例来说明一些命题是假命题.变式训练1下列说法正确的是(

)A.1-ai(a∈R)是一个复数B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>b+i答案A

解析

由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误.探究点二复数的分类及其应用【例2】

已知复数z=(m2-2m)+i,其中m∈R.当m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.规律方法

利用复数的分类求参数的方法及注意事项(1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.变式训练2已知m∈R,复数z=lgm+(m2-1)i,当m满足何条件时,(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.探究点三复数相等的充要条件【例3】

已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m的值.解∵M∪P=P,∴M⊆P.∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.若(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,

规律方法

复数相等问题的解题技巧(1)复数必须是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.变式训练3(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x=

,y=

.

(2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值.(1)

答案

-12

5解析

由复数相等的条件知x=-12,y=5.本节要点归纳1.知识清单:(1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件.2.方法归纳:方程思想.3.常见误区:未化成z=a+bi(a,b∈R)的形式.学以致用•随堂检测全达标答案D

解析

复数(2+)i的实部是0,故选D.2.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A

解析

当a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i是纯虚数;当z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.故“a=-2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.故选A.3.设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是(

)A.A∪B=C B.∁UA=BC.A∩(∁UB)=⌀ D.B∪(∁UB)=C答案D

解析

由复数的分类可知D项正确.4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,则x=

,y=

.

答案

0

-35.已知复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,当实数m取什么值时,复数z是下列数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解(1)当m2-3m+2=0,即m