2022-2023学年人教A版必修第二册 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件（33张）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第八章2023课标要求1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式.2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积并解决简单的实际问题,理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系.3.会求组合体的表面积及体积.内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标基础落实•必备知识全过关知识点1

圆柱、圆锥、圆台的表面积

几何体侧面展开图底面积、侧面积、表面积圆柱底面积:S底=

;

侧面积:S侧=

;

表面积:S=

圆锥底面积:S底=

;

侧面积:S侧=

;

表面积:S=

πr22πrl2πr2+2πrlπr2πrlπr2+πrl几何体侧面展开图底面积、侧面积、表面积圆台上底面面积:=

;

下底面面积:=

;

侧面积:S侧=

;

表面积:S=

名师点睛运用公式时的注意事项1.明确公式中各符号的含义.2.S表=S侧+S底,注意所求几何体的底面个数.πr'2πr2π(r+r')lπr2+πr'2+π(r+r')l过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱的侧面展开图是矩形.(

)(2)圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径等于圆锥底面的半径.(

)(3)圆台的侧面展开图是大扇形截掉一个小扇形的扇环.(

)2.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?√×√提示

如图所示.知识点2

圆柱、圆锥、圆台的体积1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)2.V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)3.V圆台=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高).名师点睛棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下:(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱和圆柱的体积都可以用底面积乘以高来求解.(

)(2)圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的

.(

)(3)求圆台的表面积和体积时,常用“还台为锥”的思想方法.(

)2.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?√√√提示

如图.知识点3

球的表面积和体积1.S球=4πR2(R是球的半径)2.V球=πR3(R是球的半径)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若球的直径为d,则它的表面积为πd2.(

)(2)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.(

)2.已知球的表面积是16π,则该球的体积为

.

√×解析

设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.重难探究•能力素养全提升探究点一圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】

如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是4,下底半径是16,母线DC==13.故该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π.规律方法

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:得到空间几何体的平面展开图→依次求出各个平面图形的面积→将各平面图形的面积相加变式探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.探究点二圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】

已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

.

答案

2π解析

将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,规律方法

求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算.变式训练1用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为

.

探究点三球的表面积和体积【例3】

若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为

.

规律方法

因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.变式训练2一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(

)答案A

解析

设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高h=2r,设球的半径为R,由题可知S柱=S球,即2πr2+2πr·2r=4π·R2,解得

,故选A.探究点四简单的几何体的外接球和内切球问题【例4】

若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(

)A.12π B.24πC.36π D.144π答案

B

解析

正方体外接球的球心在体对角线的中点,设半径为R,则(2R)2=3×(2)2,即4R2=24,所以球的表面积为4πR2=24π.故选B.规律方法

解决几何体的外接球和内切球问题的关键是确定球的球心位置,然后求半径.内切球的半径常用等体积法;简单几何体的外接球,如长方体的外接球,根据长方体的体对角线即为外接球的直径求解,其中若长方体的体对角线及长、宽、高分别为l,a,b,c,则l2=a2+b2+c2.变式训练3若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,,则其外接球的表面积是

.

6π本节要点归纳1.知识清单:(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.(3)球的表面积和体积.2.方法归纳:公式法.3.常见误区:平面图形与立体图形切换不清楚.学以致用•随堂检测全达标1.直径为6的球的表面积和体积分别是(

)A.36π,144π B.36π,36πC.144π,36π D.144π,144π答案B

解析

球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π.2.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为(

)A.8π

B.16π

C.24π

D.32π答案A

解析

由圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,△SAB的面积为8,可得

3.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为(

)答案B

解析

作出圆台的轴截面如图所示:上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D做DE垂直NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(

)答案B

解析

过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2,r=,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.5.把