复变函数与积分变换2022优秀文档

复变函数与积分变换第二节目录上页下页前往终了引言:在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研讨一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根方式地表为。在当时，包括他本人在内，谁也弄不清这样表示有什麽益处。现实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被以为是没有意义的，不能接受的“虚数〞。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与开展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研讨结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式提示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而不断到威瑟尔(C.Wessel挪威.1745-1818)和阿尔冈(R.Argand法国.1768-1822〕将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与汉密尔顿W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数〞这一数学分支到此才顺利地得到建立和开展。复数第二节目录上页下页前往终了意大利医生、数学家、占星术家。普通称其英文拼法名字卡当(Cardan)。1501年9月24日生于帕维亚，1576年9月21日死于罗马。早年学习古典文学、数学和星占学，后入帕维亚大学读医学，1526年获医学博士学位。1534年成为数学教师。1539年到米兰医学院任教，1543年成为帕维亚大学医学教授。他在医学上曾是出名全欧的医生，也是第一个记载斑疹伤寒病医疗方法的人。在数学上以记载三次和四次代数方程的普通解法而著称，发表在1545年出版的<大术>一书中。他阐明解法取自另一数学家塔尔塔利亚，并且一名叫费罗的人在30年前已得知，但都没有证明，他本人用几何方法对三次方程求解公式进展了证明。实践上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形，而卡尔达诺表达的公式具有普通性，因以后人称这一公式为「卡尔达诺公式」或「卡当公式」。书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的普通解法，还有代数根本定理和韦达定理的初级方式，解方程中虚根的运用等许多方程的根本实际。他被誉为16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者，终身共写了各种类型论著200多种，内容涉及力学、机械学、天文学、化学、生物学、密码术、及占星术等等。卡尔达诺〔Cardano,Girolamo,1501-1576〕第二节目录上页下页前往终了复变函数的实际和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的运用，是处理诸如流膂力学，电磁学，热学弹性实际中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，实际和方法是实变函数在复数领域的推行和开展。自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研讨对象.由于在中学阶段曾经学过复数的概念和复数的运算,第一章将在原有的根底上作简要的复习和补充;然后再引见复平面上的区域以及复变函数的极限与延续性的概念,为进一步研讨解析函数实际和方法奠定必要的根底.第二节目录上页下页前往终了第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数〔〕构成一个复数，记为.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z的共轭复数。与实数不同,普通说来,恣意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，第二节目录上页下页前往终了1.代数方式:复数的表示法1)点表示：yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴第二节目录上页下页前往终了2)向量表示：----复数z的辐角(argument)记作Argz=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足0xyxyqz=x+iy|z|=r----复数z的模-<q0的q0称为Argz的主值,记作q0=argz.那么Argz=q0+2k=argz+2k(k为恣意整数)第二节目录上页下页前往终了当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由以下关系确定:阐明：当z在第二象限时，第二节目录上页下页前往终了2.指数方式与三角方式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将以下复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此第二节目录上页下页前往终了2)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数方式。解：第二节目录上页下页前往终了§1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四那么运算：第二节目录上页下页前往终了加减法与平行四边形法那么的几何意义:乘、除法的几何意义:,,,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.第二节目录上页下页前往终了等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.

几何上z1z2相当于将z2的模扩展|z1|倍并旋转一个角度Argz1.01第二节目录上页下页前往终了例2：设求解：假设取那么假设取那么第二节目录上页下页前往终了;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.第二节目录上页下页前往终了2.乘方与开方运算1〕乘方DeMoivre〔棣摩佛〕公式：第二节目录上页下页前往终了2〕开方:假设满足，那么称w为z的n次方根，记为于是推得第二节目录上页下页前往终了从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求[解]由于所以第二节目录上页下页前往终了即注：四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy第二节目录上页下页前往终了§1.3复数方式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数方式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数方式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将经过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数方式的方程来表示.

[解]：经过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数方式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)第二节目录上页下页前往终了由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知线段的中点为例4求以下方程所表示的曲线:第二节目录上页下页前往终了第二节目录上页下页前往终了包括无穷远点本身在内且满足|z|>M的一切点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.3复数方式的代数方程与平面几何图形第二节目录上页下页前往终了1534年成为数学教师。疑虑，“复变函数〞这一数学分支到此才顺利地得到建立和开展。例1将以下复数化为三角表示式与指数表示式.定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复第二节目录上页下页前往终了第二节目录上页下页前往终了第二节目录上页下页前往终了第二节目录上页下页前往终了他发现这个方程没有根，并复数运算满足交换律,结合律和分配律:函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).第二节目录上页下页前往终了解：设z=x+iy,方程变为-iOxy几何上,该方程表示到点2i和-2的间隔相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是衔接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。第二节目录上页下页前往终了Oxy-22iy=-x设z=x+iy,那末可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-3第二节目录上页下页前往终了复数域的几何模型---复球面0N除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

第二节目录上页下页前往终了x2x3oz(x,y)x1yP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,那么球面上除N点外的一切点和复平面上的一切点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这样的球面称作复球面.x第二节目录上页下页前往终了扩展复数域---引进一个“新〞的数∞:扩展复平面---引进一个“理想点〞:无穷远点∞.商定:第二节目录上页下页前往终了§1.4区域1.区域的概念平面上以z0为中心,d(恣意的正数)为半径的圆:|z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.包括无穷远点本身在内且满足|z|>M的一切点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.

即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的一切点称为无穷远点的去心邻域,也记作M<|z|<.0M|z|>M第二节目录上页下页前往终了设G为一平面点集,z0为G中恣意一点.假设存在z0的一个邻域,该邻域内的一切点都属于G,那么称z0为G的内点.假设G内的每个点都是它的内点,那么称G为开集平面点集D称为一个区域,假设它满足以下两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线衔接起来.设D为复平面内的一个区域,假设点P不属于D,但在P的恣意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边境点.D的一切边境点组成D的边境.区域的边境能够是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.第二节目录上页下页前往终了区域D与它的边境一同构成闭区域或闭域,记作D.

假设一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,那么称D为有界的,否那么称为无界的.平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.假设x(t)和y(t)是两个延续的实变函数,那么方程组

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一条平面曲线,称为延续曲线.假设令

z(t)=x(t)+iy(t)

那么此曲线可用一个方程

z=z(t) (atb)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.2.单连通域与多连通域

第二节目录上页下页前往终了设C:z=z(t)(atb)为一条延续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的延续曲线C,称为简单曲线或假设尔当(Jardan)曲线.假设简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),那么曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)第二节目录上页下页前往终了恣意一条简单闭曲线C把整个复平面独一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边境.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C第二节目录上页下页前往终了定义复平面上的一个区域B,假设在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域假设不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域第二节目录上页下页前往终了§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.例如,调查函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,那么

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因此w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy第二节目录上页下页前往终了在以后的讨论中,D经常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).假设D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,那么w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW第二节目录上页下页前往终了(-<t<+)第二节目录上页下页前往终了假设函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,那么称函数(映射)w=f(z)是一一的.平面点集D称为一个区域,假设它满足以下两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的。argz可由以下关系