2020版高中物理（新教材）人教必修第2册：第8章 习题课4 机械能守恒定律的综合应用 能量守恒定律

习题课4机械能守恒定律的综合应用能量守恒定律【学习素养·明目标】物理观念：1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析链条类物体的机械能守恒问题.3.能合理选择机械能守恒定律或动能定理解题.4.能够叙述能量守恒定律的内容，会用能量守恒的观点分析、解释一些实际问题．科学思维：1.通过机械能守恒定律的应用，培养科学思维能力和综合分析问题的能力.2.通过学习形成能量利用及能量转化的物理观念．链条类物体的机械能守恒问题[要点归纳]链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化．【例1】如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？[解析]方法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq\f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·eq\f(1,4)L由机械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(1,4)L，解得v＝eq\r(\f(gL,2)).方法二(将铁链看成两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置.重力势能减少量为ΔEp＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)由机械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)则v＝eq\r(\f(gL,2)).[答案]eq\r(\f(gL,2))1．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始是静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a，其中a未知，现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时链条的速率为v，求a.[解析]设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的下降高度h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(L－a,2)))sinα＝eq\f(L＋a,2)sinα该部分的质量为m′＝eq\f(m,L)(L－a)由机械能守恒定律可得eq\f(m,L)(L－a)gh＝eq\f(1,2)mv2，解得a＝eq\r(L2－\f(v2L,gsinα)).[答案]a＝eq\r(L2－\f(v2L,gsinα))机械能守恒定律和动能定理的综合应用[要点归纳]机械能守恒定律和动能定理的比较规律内容机械能守恒定律动能定理表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制研究对象系统单个物体关注角度守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小动能的变化及合力做功情况【例2】如图所示，某人以v0＝4m/s的速度斜向上(与水平方向成45°角)抛出一个小球，小球落地时速度为v＝8m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h.甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)”后争论了起来．甲说此解法依据的是动能定理，乙说此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单分析，并求出抛出时的高度h.(g取10m/s2)

[解析]甲、乙两位同学的说法均正确．从抛出到落地，重力做功mgh，动能增加eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，由动能定理可知mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，所以甲说法对．从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，由机械能守恒定律可得mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，乙说法也对．抛出时的高度h＝eq\f(v2－v\o\al(2,0),2g)＝eq\f(48,2×10)m＝2.4m.[答案]见解析对单个物体包括地球为系统只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程.2．为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m＝1kg的小物块以初速度v0＝5.0m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0m/s.取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？[解析](1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有，FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)解得FN＝90N根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90N.(2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程．物块从A到C的过程中，根据动能定理有：mgLsin37°＋Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得Wf＝－16.5J.(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq\f(v2,R)，则v≥eq\r(gR)小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝eq\f(1,2)mv2＋2mgR联立得R≤eq\f(v\o\al(2,C),5g)解得R≤0.32m.[答案](1)90N(2)－16.5J(3)R≤0.32m能量守恒定律的理解与应用[要点归纳]1．适用范围能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律．2．表达式(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和．(2)ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量．3．应用步骤(1)明确研究对象及研究过程．(2)明确该过程中，哪些形式的能量在变化．(3)确定参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少．(4)列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)．【例3】如图所示，电动机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上．若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：(1)小木块的位移；(2)传送带转过的路程；(3)小木块获得的动能；(4)摩擦过程产生的热量；(5)电动机带动传送带匀速转动输出的总能量．思路点拨：①在计算第(4)问时，要用滑动摩擦力乘木块相对皮带的位移，不是对地位移．②要理解电动机带动传送带匀速转动输出能量的含义为：小木块获得的动能与摩擦生热的和．[解析]小木块刚放上传送带时，速度为0，受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带相同的速度后不再受摩擦力．整个过程中小木块获得一定的动能，系统内因摩擦产生一定的热量．(1)对小木块，相对滑动时，由μmg＝ma，得a＝μg，由v＝at，得小木块由静止到与传送带相对静止时所用的时间t＝eq\f(v,μg).则小木块的位移l＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(v2,2μg).(2)传送带始终匀速运动，转过的路程s＝vt＝eq\f(v2,μg).(3)小木块获得的动能Ek＝eq\f(1,2)mv2.(4)摩擦过程产生的热量Q＝μmg(s－l)＝eq\f(1,2)mv2.(5)由能的转化与守恒得，电动机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦产生的热量，所以E总＝Ek＋Q＝mv2.[答案](1)eq\f(v2,2μg)(2)eq\f(v2,μg)(3)eq\f(1,2)mv2(4)eq\f(1,2)mv2(5)mv21摩擦力做功特点①无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，它们都可以做负功或做正功，也可以不做功.②互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做的总功为零；而互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做的总功一定为负值.2因摩擦而产生的内能的计算Q＝Ff·x相，其中Ff指滑动摩擦力的大小，x相指发生摩擦的物体间的相对位移的大小.3．如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木块右端，小铁块与长木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木块上相对长木块滑动L时与长木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中：(1)小铁块增加的动能；(2)长木块减少的动能；(3)系统机械能的减少量；(4)系统产生的热量．[解析]画出这一过程两物体位移示意图，如图所示．(1)根据动能定理得μmg(l－L)＝ΔEk，即小铁块动能的增加量等于滑动摩擦力对小铁块做的功．(2)摩擦力对长木块做负功，根据功能关系得ΔEkM＝－μmgl，即长木块减少的动能等于长木块克服摩擦力做的功μmgl.(3)系统机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功ΔE＝μmgL.(4)m、M间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，即摩擦力对系统做的总功等于系统产生的热量，也等于系统减少的机械能．[答案](1)μmg(l－L)(2)μmgl(3)μmgL(4)μmgL1．如图所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10m/s2)()A．10J B．15JC．20J D．25JA[由2gh＝veq\o\al(2,y)－0得：vy＝eq\r(2gh)，即vy＝eq\r(30)m/s，落地时，tan60°＝eq\f(vy,v0)可得：v0＝eq\f(vy,tan60°)＝eq\r(10)m/s，由机械能守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，可求得：Ep＝10J，故A正确．]2．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()A．重物的机械能守恒B．重物的机械能增加C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒D[重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确．]3．如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)()A．h B．1.5hC．2h D．2.5hB[释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mgh＝mgh＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)(3m)v2，可得v＝eq\r(gh).b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h′＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(h,2).所以a能达到的最大高度为1.5h，B正确．]4．(多选)如图所示，在粗糙的桌面上有一个质量为M的物块，通过轻绳跨过定滑轮与质量为m的小球相连，不计轻绳与滑轮间的摩擦，在小球下落的过程中，下列说法正确的是(