2022年历届全国大学生高等数学竞赛真题预测及答案非数学类

前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参与高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，合适看部分教导书及有关题目，核心是部分各大高校试题。）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷一、填空题（每题5分，共20分）

(xy)D 1x

y)xdxdy Dxy1和两坐标轴所围成三角形区域.

0 1解:令xyu,xv，则xv,yuv，det1

，11(xy)D 1x

y)xdxdyulnu1ulnu1u

ulnuulnvdudvD 1uu1uuu1u

ulnv)u0 0 000duu2lnu1u2lnu1uu(ulnuu)1uu21u1u令t ，则u11u，u212t2t4，u)t2t)(1t)，(*) 21

2t41 2 1 1 162

2t4)dt2t t3 t5 0 3

5 150f(x)f(x)3x2

2f(x)dx2,则f(x) .0A2f(x)dxf(x)3x2A2，0A2(3x2A2)dx82(A2)42A,0A

4 10 。因此f(x) 3x2 。 3 3z

x y22平行平面2x2yz0切平面方程.222解:因平面2x2yz0法向量为(2,2,1)z

x y22在222(x,y)处法 向量为(z(x,y),z(x,y),1)，故0 0x 0 0 y 0 0(z(x,yx 0 0

),zy

(x,y0

),1和(2,2,1)平行，因此，由zx

x，zy

2y知2zx

(x,y0

)x0

,2zy

(x,y0

)2y，0即x 2,y 1，又z(x,y)5，于是曲面2x2yz0在0 0 0 0(xyz(xy2(x22y(z50，即曲面0 0 0 0x2z y22平行平面x222x2yz0切平面方程是2x2yz10。yy(xxefy)eyln29拟定，其中f具有二阶导数，且f1，则d2y .dx2解:方程xef(y)eyln29两边对x求导，得ef(y)xf(y)f(y)eyyln291 1因eyln29xefy)，故x

fyyyy

fy，因此d2y

y 1

f(y)ydx2 x2fy)) fy)]2 fy) 1 fy)fy)]2x2fy)]3 x2fy)) x2fy)]3二、（5分）求极限lim(

exe2x

e)x，其中n是给定正整数.x0 n解:因exe2xenx e

exe2xenxn elim( )

)xx0 n故

x0 nA

exe2xenxnex0 n xelimex

e2

enxnx0 nxelimex2e2x

e12n

n1ex0 n n 2因此exe2x

e n1elim( )x0 n

eAe2三、（15分）设函数f(x)g(x)

1f(xt)dt

f(x)AA为常数，求0g(xg(xx0处持续性.

x0 x解:由x0

f(x)x

Af(xf(0limf(x)limxlimx0 x0 x0

f(x)0x因g(x)

1f(xt)t，故g()1f()tf()0，0 0x0g(x)1xf(u)du，故limg(x)x0 x0当时x0，

xxf(u)du0x

0x0

f(x)1

f(0)0g(x)1xf(u)duf(x)，x2 0

x1xf(t)dt

xf(t)dtg(x)g(0) x 0

f(x) Ag(0)lim lim lim 0 lim x0

x0

x0 x2

x0 2x 2limg(x)lim[

1xf(u)duf(x)]lim

f(x)

lim1xf(u)duAAAx0 x0

x2 0 x

x0 x

x0x2 0 2 2g(xx0四、（15）Dxy|0x0yLD正向边界，试证：xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx；L LxesinydyyesinydxL

2.525证:因被积函数偏导数持续在D上持续，故由格林公式知 （1）xesinydyyesinxdxx(xesiny)(yesinx L D(esinyesinxyDxesinydyyesinxDL x(xesiny)(yesinx D(esinyesinxyDDxy是对称，即知esiny

esinxy(esiny

esinxD D因此xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdxL Lt2 t2 etet故

)t2esinxesinx2sin2x2由

1cos2x5cos2x2 2xesinyyyesinyx(esin

esinxy(esin

esinxL D D知xesinydyyesinydxL

1(esin2D

esinx

1(esinyesinx)dxdy2D1(esin2D

esiny

1(esinxesinx)dxdy(esinxesinx)dxdy2D D(esin

esinx)dx

5cos2x 5 dx 2 0 0 2 25即 xesinydyyesinydx 252L五、（10分）已知y1

xex

e2x，y2

xex

ex，y3

xex

e2

ex是某二阶常系数线性非齐次微分方程三个解，试求此微分方程.解设y1

xex

e2x，y2

xex

ex，y3

xex

e2

ex是二阶常系数线性非齐次微分方程ybycyf(x)三个解，则y y2 1

exe2x和y y3 1

ex所有是二阶常系数线性齐次微分方程ybycy0ybycy0(2)(0ybycy0特性多项式是

2bc0yy2y0yy2

f(x)和yexxex2e2x，y2exxex4e2x

1 1 11 f(xyy2y

xex

2ex

4e2x(xexex2e2x)2(xexe2x)1 1 12x)ex二阶常系数线性非齐次微分方程为yy2yex2xex六、（10）yax

bx2lnc过原点.当时0x1y0,又已