概率论与数理统计茆诗松第二课后第五章习题参考含

概率论与数理统计茆诗松第二版本课后第五章习题参照含答案概率论与数理统计茆诗松第二版本课后第五章习题参照含答案概率论与数理统计茆诗松第二版本课后第五章习题参照含答案第五章统计量及其分布习题1．某地台想认识某目（如：每日九点至九点半的体育目）在地区的收率情况，于是委托一家市咨公司行一次．1）研究的体是什么？2）研究的本是什么？解：（1）体是地区的全体用；2）本是被的用．2．某市要成年男子的吸烟率，特聘50名本科生作街随机，要求每位学生100名成年男子，的体和本分是什么，体用什么分布描述宜？解：体是任意100名成年男子中的吸烟人数；本是50名学生中每个人所获得的吸烟人数；体用二分布描述比合适．3．某厂大量生某种品，其不合格品率p未知，每m件品包装一盒．了品的量，任意抽取n盒，其中的不合格品数，明什么是体，什么是本，并指出本的分布．解：体是全体盒装品中每一盒的不合格品数；本是被抽取的n盒品中每一盒的不合格品数；体的分布本的分布

m?xm-xX~b，，x=0,1,⋯,n，(m,p)P{X=x}=???x?PX1=x1X2=x2LXn=xn?m?xm-x1?m?xm-x?m?xnqm-xn,,,}=??p1q???pq2L??p{?x??x??x??1??2??n?nnn?m?∑xtmn-∑xt．=∏???pi=1qi=1??i=1?xi?4．估塘里有多少，一位学家了一个方案以下：从塘中打出一网，有n条，涂上不会被水冲刷掉的漆后放回，一天后再从塘里打一网，共有m条，而涂有漆的有k条，你能估出塘里大概有多少？的体和本又分是什么呢？解：塘里有N条，有涂有漆的所占比率n，N而一天后打出的一网中涂有漆的所占比率k，估n≈k，mNm故估出塘里大概有N≈mn条；k体是塘里的全部；本是一天后再从塘里打出的一网．5．某厂生的容器的使用寿命遵从指数分布，了认识其平均寿命，从中抽出n件品其使用寿命，明什么是体，什么是本，并指出本的分布．解：体是厂生的全体容器的寿命；本是被抽取的n件容器的寿命；体的分布X~e(λ)，p(x)=λeλx，x>0，nλx1λx2λnλ∑xi本的分布pxxLx=?L=2,,n)λeλeλe，xi>0．(1,λe6．美国某高校依照生返校情况，宣布校生的年平均工5万美元，你此有何？解：返校的生可是生中一部分特别集体，本的抽取不拥有随机性，不能够反全体生的情况．1习题1．以下是某工厂经过抽样检查获得的10名工人一周内生产的产品数149156160138149153153169156156试由这批数据构造经验分布函数并作图．解：经验分布函数?0,x<138,?0.1,138≤x<149,??0.3,149≤x<153,?153≤x<156,Fn(x)=?0.5,?0.8,156≤x<160,??0.9,160≤x<169,?x≥169.?1,作图略．2．下表是经过整理后获得的分组样本组序12345分组区间(38,48](48,58](58,68](68,78](78,88]频数34832试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数?0,x<37.5,?0.15,37.5≤x<47.5,??0.35,47.5≤x<57.5,Fn(x)=?0.75,57.5≤x<67.5,??0.9,67.5≤x<77.5,?x≥77.5.?1,3．若是某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据以下：9091086112099913201091107110811130133696715728259149921232950775120310251096808122410448711164971950866738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）；（2）画出直方图．解：（1）最大察看值为1572，最小察看值为738，则组距为d=1572-738≈140，6区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(735,875]8052(875,1015]9453(1015,1155]10854(1155,1295]122525(1295,1435]13656(1435,1575]15051合计301（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了检查，下面是其不完满的频率分布表：所需时间频率20~301）试将频率分布表补充完满．2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,10]5252(10,20]3(20,30]4(30,40]5(40,50]1合计2501（2）上班所需时间在半小时以内有25+60+85=170人．5．40种刊物的月刊行量（单位：百册）以下：595450221466765826870184026624508120838526183008126819787963204830779933531426317141112769262047714592360061426716971387640012280122312579135887315453813304161586121）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；2）画出直方图．解：（1）最大察看值为353，最小察看值为14667，则组距为d=1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1(0,1700]85092(1700,3400]255093(3400,5100]425054(5100,6800]595045(6800,8500]765046(8500,10200]935017(10200,11900]1105018(11900,13600]1275039(13600,15300]1445041合计301（2）作图略．36．对以下数据构造茎叶图472425447377341369412399400382366425399398423384418392372418374385439408429428430413405381403479381443441433399379386387解：茎叶图为34135369,6377,2,4,9382,4,5,1,1,6,7399,8,2400,5,3412,9,8,8,3,9425,5,3,8,9,8439,0,3447,3,14546472,97．依照检查，某公司公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据以下：试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735.136.2,7,937.0,1,738.639.6,6,240.6,8,041.742.43.844.9,545.4习题1．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4560314214试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．4解：本均x=1(4+5+6+L+1+4)=3；10本方差2122222s=[(4-3)+(5-3)+(6-3)+L+(1-3)+(4-3)]3.7778；9≈本准差s=3.7778≈1.9437．nn2．明：任意常数c,d，有∑(xi-c)(yi-d)=∑(xi-x)(yi-y)+n(x-c)(y-d)．i=1i=1nn：∑(xi-c)(yi-d)=∑[(xi-x)+(x-c)][(yi-y)+(y-d)]i=1i=1n=∑[(xi-x)(yi-y)+(x-c)(yi-y)+(xi-x)(y-d)+(x-c)(y-d)]i=1=nxi-x)(yinyi-y)+(y-dn-x)+n(x-c)(y-d)∑∑)∑(-y)+(x-c)((xii=1i=1i=1=n(xi-x)(yi-y)+0+0+n(x-c)(y-d)=n(xi-x)(yi-y)+n(x-c)(y-d)．i=1i=11n和y1,⋯n是两本，且有以下关系：yii-4，i=1,⋯,n，求本均x3．x,⋯,x,y=3x和y的关系以及本方差sx2和sy2的关系．解：y=1ny=1n(3x-4)=1?nx?nx-4=3x-4；i?3-4n?=3∑i∑?∑i?∑ini=1ni=1n?i=1?ni=1sy2=1n-y)2=1n4)]2=9n∑(yi∑[(3xi-4)-(3x-∑(xi-x)2=9sx2．n-1i=1n-1i=1n-1i=14．xn=1n2=1n-x)2，n=1,2,⋯，明n∑xi，snn-∑(xii=11i=1xn1=xn+1(xn1-xn)，s21=n-1s2+1(xn+1-x)2．+n+1+n+nnn+1n1n+1n?1n1n11(xn+1-xn)；：xn+1=∑xi=∑xi+xn+1=xn+xn+1=xn+n+1i=1n+1ni=1n+1n+1n+1n+1sn2+1=1n+1(xi-xn+1)2=1?n+1(xi-xn)2-(n+1)(xn-xn+1)2?nni=1?i=1?=1?nx-xn)2+(xn+1-xn)2-n+1)?1xn+1-xn)2?n(((n+1)(??i=1?=1?1n2n2?n-212∑(xi-xn)+(xn+1-xn)=+(xn+1-xn)?(n-1)n+1?n1sn．n?n-1i=1?n+155．从同一体中抽取两个容量分n,m的本，本均分x1,x2，本方差分s12,s22，将两本合并，其均、方差分x,s2，明：nx1+mx22(n-1)s12+(m-1)s22nm(x1-x2)2x=n+m，s=n+m-1+(n+mn+m-．)(1)：x=1?nx1m?1?nx1m?+mx2；?i+x2j?=?+x2j?=nx1n+m?∑∑?n+m?∑?n+m?i=1j=1??i=1j=1?21?n2m2?s=∑∑-x)?(x-x)+(x2j?n+m-1?i=1j=1?1?n()2()2m()2()2?=1i11x22?n+m-1?i=1j=1?1??2?2=2nx1+mx2?+(m-1)s2nx1+mx2??(n-1)s+nx-?+mx-??n+m-1??n+m??n+m??(n-1)s2+(m-1)s2+1nm2(x-x)2+mn2(x-x)2=12n+m-1?12)221n+m-1(n+m(n-1)2+(m-1)2()2．=s1s2+nmx1-x2n+m-1(n+mn+m-1))(6．有容量n的本A，它的本均xA，本准差sA，本极差RA，本中位数mA．本中每一个推行以下：y=ax+b，这样获得本B，写出本B的均、准差、极差和中位数．=1nnnn解：yB∑yi=1∑(axi+b)=1(a∑xi+nb)=a?1∑xi+b=axA+b；ni=1ni=1ni=1ni=11n1n1nsB=(yi-yB)2=(axi+b-axA-b)2=|a|?(xi-xA)2=|a|sA；n-1∑i=1n-1∑i=1n-1∑i=1RB=y(n)-y(1)=ax(n)+b-ax(1)-b=a[x(n)-x(1)]=aRA；n奇数，mB=y?n+1?=ax?n+1?+b=amA+b，?????2??2?当n偶数，mB=1[y?n2?2?

+y=1ax+b+ax+b=ax+x+b=am+b，?][[?n?]A0.5?n??n?]??2+1?2???2+1?2?2??2+1?????2???????m=am+b．．明：容量2的本12的方差s2=1x1-x2)2．7x,x(22=1-x1+x2)2x1+x2)2]=(x1-x2)2(x2-x1)212．：s[(x12+(x2-4+=(x1-x2)2-12428．x1,⋯,xn是来自U(-1,1)的本，求E(X)和Var(X)．6解：因Xi~U(-1,1)，有E(Xi)=-1+1=0，Var(Xi)=(1+1)2=1，2123故E(X)=E(1n1n?1n?1n1?n?1=1．Xi)=Var(Xi)=E(Xi)=0，Var(X)=Var?Xi?=nn33nni=1ni=1?ni=1?i=19．体二矩存在，X1,⋯,Xn是本，明Xi-X与Xj-X(i≠j)的相关系数-(n-1)-1．：因X1,X2,⋯,Xn相互独立，有Cov(Xl,Xk)=0，（l≠k），Cov(Xi-X,Xj-X)=Cov(Xi,Xj)-Cov(Xi,X)-Cov(X,Xj)+Cov(X,X)=0-Cov(Xi,1Xi)-Cov(1Xj,Xj)+Var(X)nn=-1Var(Xi)-1Var(Xj)+Var(X)=-1σ2-1σ2+1σ2=-1σ2，nnnnnnVar(Xi-X)=Var(Xi)+Var(X)-2Cov(Xi,X)=σ2+1σ2-2Cov(Xi,1Xi)nn=σ2+1σ2-2σ2=n-1σ2=Var(Xj-X)，nnnCov(Xi-X,Xj-X)-1σ21故Corr(Xi-X,Xj-X)==n=-．Var(Xi-X)?Var(Xj-X)n-1n-12n-12nσ?σnn10．x1,x2,⋯,xn一个本，s2=n1-1∑i=1(xi-x)2是本方差，：∑(xi-xj)2=s2．n(n-1)i<j：因s2=1nx-x2=1?n22?，)?x-nx?∑(in-1?∑i?n-1i=1?i=1?∑(xi-xj)21nn21nn221?nn2nn2=∑∑(xi-xj)=∑∑(xi+xj-2xixj)=2??∑∑xi+∑∑xji<j2i=1j=12i=1j=1?i=1j=1i=1j=1

nn??-2∑∑xixj?i=1j=1?1?n2n2nn?1?n2??n22?2，?∑∑∑∑?∑=+n-2=?2?i=1j=1i=1j=12?i=1??i=1?故1∑(xi-xj)2=s2．n(n-1)i<j4存在，本方差S2=1n11．体4中心矩ν4=E[X-E(X)]∑(Xi-X)2，有n-1i=1Var(S2=n(ν4-σ4)-2(ν4-2σ4)+ν4-3σ4，)(n-1)2(n-1)2n(n-1)27其中σ2为整体X的方差．证：因S2=1nX--X-2=1?nX-2-nX-2?，其中μ=E(X，∑[(iμ)(μ)]?∑(μ)μ)?n-i()n-1i=11?i=1?2)=1Var?n2-n(X-μ)2?则Var(S(n-1)2?∑(Xi-μ)??i=1?=1??n(Xi-μ)2??n2,n(X-2?2]?2Var?-2Cov?(Xi-μ)μ)?+Var[n(X-μ)?(n-1)??∑???i=1??i=1??=1?n2-n-μ)2,(X-μ)222?(n-1)2?∑Var(Xi-μ)2n∑Cov((Xi)+nVar(X-μ)?，?i=1i=1?E(Xi-μ)2=σ2，E(Xi-μ)4=ν4，则n2n422n224，∑=∑E-EXi-μ=∑ν4=nν4Xi-μXi-μ]}-σ)}-σ)Var(){()[(){((i=1i=1i=1E(Xi-μ)=0，E(X-μ)2=Var(X)=1σ2，且当i≠j时，Xi-μ与Xj-μ相互独立，nnn则∑Cov((Xi-μ)2,(X-μ)2)=∑{E[(Xi-μ)2(X-μ)2]-E(Xi-μ)2E(X-μ)2}i=1i=1n???n2??=-2X-?2?12?E?Xμ)??1∑(??-σσ?∑?(i?k?n?i=1???nk=1???????n?1?422?-14?=∑?2?E(Xi-μ)+E(Xi-μ)?∑E(Xk-μ)?nσ?i=1?n?k≠i??=n?1ν+22-14?=1ν4∑?σ?n-σσ-σ，2[4(1)]n?n(4)i=1?n?n42且Var(X-μ)2=E(X-μ)4-[E(X-μ)2]2=E?1(Xi-μ)?-?1σ2??∑????ni=1??n?1?n4?4?22?14=4E?∑(Xi-μ)+??μ)(Xj-μ)?-2σ??∑(Xi-n?i=1?2?i<j?n=1?nEX-μ4+EX-μ2E(X-μ2?-144ij2σn(i)()?n?i=1i<j?1??n?22?1414141424，=4??-σ=4σ=4σn??2??nnnnn故21?4142?1424??Var(S)=2?n4-σ)-2n?4-σ)+n4-3σ)+2σ??(n-1)?nn?n??8=1?νσ4ν-σ41νσ4σ4?(n-1)2)-2()+n(-3)+2???=1?nν4-σ4)-ν4-σ4+1ν4-σ4?=n(ν4-σ4)-2(ν4-2σ4)+ν4-3σ4．(n-1)(n-1)(n-1)n(n-1)?n?．体X的3矩存在，⋯是取自体的随机本，X本均，S2本方12X1,X2,,Xn差，：Cov(X,S2)=ν3，其中ν3=E[X-E(X)]3．n：因S2=1n2=1?nμ)2-n(X-2?，其中μ=E(X)，∑[(Xi-μ)-(X-μ)]?∑(Xi-μ)?n-1i=1n-1?i=1??1?n?(Xi-μ)2-n(X-μ)Cov(X,S2)=Cov(X-μ,S2)=Cov?X-μ,2???n-1?i=1??=1?nCov(X-μ,(Xi-μ)22?，?)-nCov(X-μ,(X-μ))?n-1??i=1E(X-μ)=E(Xi-μ)=0，E(Xi-μ)2=σ2，E(Xi-μ)3=ν3，且当i≠j，Xi-μ与Xj-μ相互独立，n2n?1n2?1n2∑∑?∑?∑Cov(X-μ,(Xi-μ))=Cov?(Xk-μ),(Xi-μ)?=Cov(Xi-μ,(Xi-μ))i=1i=1?nk=1?ni=1=1nE(Xi-μ3-E(Xi-μE(Xi-μ2=1?nν3=ν3，n∑i=1[)))]nn3232??且Cov(X-μ,(X-μ))=E(X-μ)-E(X-μ)E(X-μ)∑(Xi=E?1-μ)??ni=1??n3?n3=13?nν3=12ν3，=13E?∑(Xi-μ)?=13∑E(Xi-μ)n?i=1?ni=1nn故21?1?1n-1ν3．Cov(X,S)=ν3-n?2ν3?=?ν3=n-1nnn-1?n?13．X1与X2是从同一正体N(μ,σ2)独立抽取的容量相同的两个本均．确定本容量n，使得两本均的距离超σ的概率不超．解：因E(X1)=E(X2)=μ，Var(X1)=Var(X2)=σ2，X1与X2相互独立，且体分布N(μ,σ2)，n222?2?E(X1-X2)=μ-μ=0，Var(X1-X2)=+=，即X1-X2?2?，nn?n?n???P{|X1-X2|>σ}=2?1-??

?σΦ??σ2n?

??n?????，有?=2-2Φ?2?≤?????

?n?，n，??Φ??≥22≥??9n≥，即n最少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛平均硬多少次才能使正面向上的率落在(0.4,0.6)的概率最少．如何才能更精确的算个次数？是多少？?1,第i次正面向上,nX=1n∑i=1Xi解：Xi=?0,第i次反面向上,有Xi~B(1,0.5)，且正面向上的率，?E(Xi)=0.5，Var(Xi，且，Var(X)=，n由切比雪夫不等式得P<X<0.6}=PX-0.5|<≥-=1-25，{|0.1}12nn故当1-25≥0.9，即n≥250，P{0.4<X<0.6}≥0.9；nnN(0.5,)，利用中心极限制理更精确地算，当n很大X=1∑Xi的近分布正分布ni=1nP{0.4<X<0.6}=F(0.6)-)-Φ(0.4-)=n)-(n)nn2Φ(0.2n)-1≥0.9，Φ(0.2n)≥0.95，0.2n≥1.64，故当n≥67.24，即n≥68，P{0.4<X<0.6}≥0.9．15．从指数体Exp(1/θ)抽取了40个品，求X的近分布．解：因E(X)=E(X)=，Var(X)=12，故X的近分布12)．n404016．X1,⋯,X25是从平均分布U(0,5)抽取的本，求本均X的近分布．5Var(X)(5-0)2151解：因E(X)=E(X)=2，Var(X)=n=25×=12，故X的近分布N(2,12)．1217．X1,⋯,X20是从二点分布b(1,p)抽取的本，求本均X的近分布．解：因E(X)=E(X)=p，Var(X)=Var(X)=p(1-p)，故X的近分布N(p,p(1-p))．n202018．X1,⋯,X8是从正分布N(10,9)中抽取的本，求本均X的准差．解：因Var(X)=Var(X)=9，故X的准差Var(X)=32．n8419．切尾均也是一个常用的反响本数据的特色量，其想法是将数据的两端的舍去，而用剩下的中间的算本均，其算公式是Xα=X([nα]+1)+X([nα]+2)+L+X(n-[nα])，n-2[nα]其中0<α<1/2是切尾系数，X(1)≤X(2)≤⋯≤X(n)是有序本．我在高校采了16名大学生，认识他平的学情况，以下数据是大学生每周用于看的：151412920417261518610161558取α=1/16，算其切尾均．10解：因nα=1，且有序样本为4,5,6,8,9,10,12,14,15,15,15,16,17,18,20,26，故切尾均值x1/16=1．16-220．有一个分组样本以下：区间组中值频数(145,155)1504(155,165)1608(165,175)1706(175,185)1802试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．1解：x=(150×4+160×8+170×6+180×2)=163；s=1[(150-163)2×4+(160-163)2×8+(170-163)2×6+(180-163)2×；19b2=1[(150-163)2×4+(160-163)2×8+(170-163)2×6+(180-163)2×2]=81，20b3=1-163)3×+(160-163)3×+(170-163)3×+(180-3×=144，[(150486163)2]20b4=1[(150-163)4×4+(160-163)4×8+(170-163)4×6+(180-163)4×2]=14817，20故样本偏度γ1=b3=0.1975，样本峰度γ2=b4-3=-0.7417．b23/2b2221．检查四批产品，其批次与不合格品率以下：批号批量不合格品率1100230032504150试求这四批产品的总不合格品率．解：p=1(100+3002501500.03)=．80022．设整体以等概率取1,2,3,4,5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X(1)和X(4)的分布．解：因整体分布函数为?0,?1?,?52(x)=?53,545,??1,

x<1,1≤x<2,2≤x<3,3≤x<4,4≤x<5,x≥5,则F(1)(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}=1-P{X1>x,X2>x,X3>x,X4>x}=1-[1-F(x)]4110,x<1,?3691≤x<2,,?625?5442≤x<3,?,?625=?609?3≤x<4,,?625?6244≤x<5,?,?625x≥5,?1,F(4)(x)=P{X(4)≤x}=P{X1≤x,X2≤x,X3≤x,X4≤x}=[F(x)]4?0,x<1,1,1≤x<2,62516,2≤x<3,?62581,3≤x<4,625?256,4≤x<5,??625x≥5,?1,X(1)和X(4)的分布X(1)12345X(4)12345P36917565151；11565175369．625625625625625P62562562562562523．体X遵从几何分布，即P{X=k}=pqk-1，k=1,2,⋯，其中0<p<1，q=1-p，X1,X2,⋯,Xn体的本．求X(n)(1)的概率分布．,Xk=p(1-qk)=1-qk，k=1,2,⋯，解：因P{X≤k}=∑pqj-1j=11-qnnknk-1n故P{X(n)=k}=P{X(n)≤k}-P{X(n)≤k-1}=∏P{Xi)-(1-q≤k}-∏P{Xi≤k-1}=(1-q)；i=1i=1nnn(k-1)nk且P{X(1)=k}=P{X(1)>k-1}-P{X(1)>k}=∏P{Xi>k-1}-∏P{Xi>k}=q-q．i=1i=124．X1,⋯,X16是来自N(8,4)的本，求以下概率1）P{X(16)>10}；2）P{X(1)>5}．解：（1）{10}1{10}116{10}1[(10)]161[(10-8)]16(16)>==-F=-PX-PX(16)≤-∏PXi≤=Φ2i=1=1-[Φ(1)]1616=0.9370；（2）PX>5}=16PX>5}=[1-F(5)]16=[1-Φ5-8)]16=[(1.5)]16=16=0.3308．∏(1)i{{(2i=125．体布分布，其密度函数12p(x;m,η)=mxm-1ηm

???x?m??exp?-???，x>0,m>0,η>0．?η???????从中获得本X1,⋯,Xn，明X(1)仍遵从布分布，并指出其参数．mm-1?t?xmt-??解：体分布函数x??η??F(x)=∫0p(t)dt=∫0ηme

xdt=∫e0

mm?t?-???t??η???d????η??

mxm?t??x?-??-??????=-e?η?=1-e?η?，x>0，0X(1)的密度函数?x?mn-1-(n-1)??p1(x)=n[1-F(x)]p(x)=ne?η?

?x?m?x?mm?x?mxm-1-??m-1-n??m-1-?mn?ηmnxηmxe???me??=me??=(η/mn)m??，ηη故X(1)?η?的布分布．遵从参数???m,m??n?26．体密度函数p(x)=6x(1-x),0<x<1，X1,⋯,X9是来自体的本，求本中位数的分布．解：体分布函数=x=x-=2-3x2-3，0<x<1，F(x)p(t)dt6t(1t)dt(3t2t)=3x2x∫0∫00因本容量n=9，有本中位数m=x?n+1?=x(5)，其密度函数???2?p5(x)=9![F(x)]4[1-F(x)]4p(x)=9!(3x2-2x3)4(1-3x2+2x3)4?6x(1-x)．4!?4!4!?4!27．明公式r?n?k∑??p(1-??k=0?k?

pn-k=n!xr-xn-r-1dx，其中0≤p≤1．1)r!(n-r-1)!∫p(1)：体X遵从区(0,1)上的平均分布，X1,X2,⋯,Xn本，X(1),X(2),⋯,X(n)是序量，本中不超p的品个数遵从二分布b(n,p)，即最多有r个品不超p的概率rn?kn-kPX>p=-p，(r+1)??p(1)k=0?k?因体X的密度函数与分布函数分?1,0<x<1;?0,x<0;F(x)=?0≤x<1;p(x)=??x,?0,其他.?x≥?1,1.X(r+1)的密度函数n!pr+1(x)=r!(n-r-1)!

?n!r(1-x)n-r-1,0<x<1,[F(x)]r[1-F(x)]n-r-1?xp(x)=?r!(n-r-1)!?其他.?0,r?n?n1故kn-k!rn-r-1．??p(1-p)=PX(r+1)>p=x(1-x)dx∑{}p??r!(n-r-1)!∫k=0?k?28．体X的分布函数F(x)是的，X=F(X)，：,⋯,Xi（1）η1≤η2≤⋯≤ηn，且ηi是来自平均分布U(0,1)体的次序量；13（2）E(ηi)=i，Var(ηi)=i(n+1-i)，1≤i≤n；n+12(n+1)(n+2)（3）ηi和ηj的方差矩?a1(1-a1)a1(1-a2)??n+2n+2??a2??a1(1-a2)(1-a2)??n+2n+2???其中a1=i，a2=j．n+1n+1注：第（3）要求i<j．解：（1）第一明Y=F(X)的分布是平均分布U(0,1)，因分布函数F(x)，于任意的y∈(0,1)，存在x，使得F(x)=y，FY(y)=P{Y=F(X)≤y}=P{F(X)≤F(x)}=P{X≤x}=F(x)=y，即Y=F(X)的分布函数是?0,y<0;?≤y<1;FY(y)=?y,0?y≥1.?1,可得Y=F(X)的分布是平均分布U(0,1)，即F(X1),F(X2),⋯,F(Xn)是平均分布体U(0,1)的本，因分布函数F(x)不减，ηi=F(X(i))，且X(1)≤X(2)≤⋯≤X(n)是体X的次序量，故η12n，且ηi是来自平均分布U(0,1)体的次序量；≤η≤⋯≤η（2）因平均分布U(0,1)的密度函数与分布函数分1,0<y<1;?0,y<0;pY(y)=FY(y)=≤y<1;?其他.?y,0?0,?1,y≥1.?η(i))的密度函数i=F(X?!i-1n-in!?ny-y),0<y<1,pi(y)=[FY(i-1[1-n-ipY((1(i-1)!(n-i)!y)]FY(y)]y)=?(i-1)!(n-i)!?其他.?0,即ηi遵从塔分布Be(i,n-i+1)，即Be(a,b)，其中a=i，b=n-i+1，故Eη=a=i，Var(ηi)=ab=i(n+1-i)，1≤i≤n；n+1(n+1)2(n+2)(i)a+b(a+b)2(a+b+1)（3）当i<j，(ηi,ηj)的合密度函数pij(y,z)=n![FY(y)]i-1FY(y)]j-i-1FY(z)]n-jpY(y)pY(z)Iy<z1)!(j-i-1)!(n-j)![FY(z)-[1-(i-n!i-1j-i-1n-j=i-1)!(j-i-1)!(n-j)!y(z-y)(1-z)I0<y<z<1，(n!+∞+∞1zij-i-1n-jEηη=yz?pij(y,zdydz=(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!dzy(z-y)?z-z)dy，(ij)∫∫-∞-∞)∫0∫0(1令y=zu，有dy=zdu，且当y=0，u=0；当y=z，u=1，zyi(z-y)j-i-1?z(1-z)n-jdy=z(1-z)n-j1(zu)i(z-zu)j-i-1?zdu0=z-zn-j?zjuij-i-1du=zj+10zn-j=i!(j-i-1)!zj+1-zn--u-?Bi+j-ij，(1)1(1)(1)(1,)(1)∫0j!14即E(ηiηj)=n!1i!(j-i-1)!j+1-z)n-jdz(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!∫0j!z(1=n!ij-i-1)!B(j+2,n-j+1)(i-1)!(j-j)!?!(j!i-1)!(n-nij-i-1)!(j+n-j)!i(j+1)=i-1)!(j-i-1)!(n-j)!?j!?(n+2)!=(n+1)(n+，(2)可得=E-EE=i(j+1)-i?j=i(n+1-j)ijijijn+1(n+1)2，Cov(η,η)(ηη)(η)(η)(n+1)(n+2)n+1(n+2)因a1=i，a2=j，n+1n+1则Cov(ηi,ηj)=i(n+1-j)=a1(1-a2)，(n+1)2(n+2)n+2且Var(ηi)=i(n+1-i)a1(1-a1)，Var(ηj)=j(n+1-j)=a2(1-a2)，2=n+22n+2(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)故ηi和ηj的协方差矩阵为?Var(ηi)??Cov(η,η)?ij

Cov(ηi,ηj)??=Var(ηj)??

a1(1-a1)n+2a1(1-a2)n+2

a1(1-a2)??n+2?．a2(1-a2)??n+2?29．设整体X遵从N(0,1)，今后整体获得一组样本察看值x1=0,x2=0.2,x3=0.25,x4=-0.3,x5=-0.1,x6=2,x7=0.15,x8=1,x9=-0.7,x10=-1．1）计算x=0.15（即x(6)）处的E[F(X(6))]，Var[F(X(6))]；2）计算F(X(6))在x=0.15的分布函数值．解：（1）依照第28题的结论知E[F(X(i))]=i，Var[F(X(i))]=i(n+1-i)，且n=10，n+1(n+1)2(n+2)66×5故X=，FX==；)]Var[)]2×112421112（2）因F(X(i))遵从贝塔分布Be(i,n-i+1)，即这里的F(X(6))遵从贝塔分布Be(6,5)，则F(X(6))在x=0.15的分布函数值为F6(0.15)=10!5-x)4，5!?4!∫0x(1dx故依照第27题的结论知F6=10!0.15x5-x4dx=-510?×k×10-k=．(0.15)(1)15!?4!0∑??∫k=0?k?30．在以下密度函数下分别追求容量为n的样本中位数m的渐近分布．1）p(x)=6x(1-x)，0<x<1；?x-μ2?（2）p(x)=1exp?-(?；2)2πσ?2σ??2x,0<x<1;（3）p(x)=??0,其他.4）p(x)=λe-λ|x|．215解：本中位数m的近分布N?x1?是体密度函数，0.5是体中位数，?2?，其中p(x)x(x)?4n?p?x6x(1-x)dx=(3x2-2x3)x.5-2x03.5（1）因p(x)=6x(1-x)，0<x<1，有0.5=F(x0.5)=∫00=3x02，x=0.5，有1=12=1，n?p2(0.5)n×××9n44(60.5)故本中位数m的近分布?1?N?0.5,?；?9n?（2）因px=1?-(x-μ)2?，有0.5=F(x)=F()，2πσ?2σ?x，有12=12=πσ2，=μ4n?p?2n(μ)1?4n×?????2πσ??μπσ2?故本中位数m的近分布N?；,?2n????2x,0<x<1;x2x2，（3）因p(x)=?有0.5=F(x0.5)=∫2xdx=x=x?0,其他.00x0.5=1，有1=?112=1，22?1??8n4n?p??4n××??2??2?m?11?故本中位数N?,?；0.5的近分布?28n?4）因p(x)=λe-λ|x|，有0.5=F(x)=F(0)，2x=0，有12=12=12，4n?p(0)4n×?λnλ??2?故本中位数m的近分布?0,1?．N?2??nλ?31．体X遵从双参数指数分布，其分布函数??1-F(x)=???0,

?x-μ?exp?-?,x>μ;?σ?x≤μ.其中，-∞<μ<+∞，σ>0，X(1)≤⋯≤(n)本的次序量．明2(X(i)-X(i-1))遵从X(n-i-1)σ16自由度2分布（i=2,⋯,n）．z2的χ注：此有，的随机量(n-i+1)2(X(i)-X(i-1))．σz-y=t：因(X(i-1),X(i))的合密度函数pyz=n![F(y)]i-2[1-F(z)]n-ip(y)p(z)Iy<z(i-1)i(,)(i-2)!(n-i)!?i-2n-in!y-μ??z-μ?1y-μ11-exp?-exp?-exp?-exp?-=σ?σ???σ??(i-2)!(n-i)!???????σ??σ?????

0μyz-μ?σ??Iμ<y<z?i-2?n-i+1n!y-μy-μ?z-μ?=exp?-1-exp?-exp?-Iμ<y<z，2???σσσ(i-2)!(n-i)!σ??????????T=X(i)-X(i-1)的密度函数+∞pT(t)=∫p(i-1)i(y,y+t)?1?dy-∞ny-μ?i-2n-i+1+∞??y-μ???y+t-μ?=--dy2μexp?-??1exp????exp?-??(i-?σ???σ????σ??2)!(n-i)!σ∫!n-i+1μn-i+1μi-2μ?t?+∞?y-??y-??y-?=n?????-???2exp?-??μexp?-??1-exp???(-σ)dexp?-??(i-2)!(n-i)!σ??σ???σ???σ???σ???∫??????n!??n-i+1n-i+1i-2t??0=2exp?-?u(1-u)(-σ)du(i-2)!(n-i)!σ??σ??n?=2)!(n-i)!σexp?-(i-?=n!?2)!(n-i)!σexp?-(i-?

(n-i+1)t?1n-i+1i-2u(1-u)duσ?∫0?(n-i+1)t?(n-i+2,i-1)σ?B?n!?=exp?-(i-2)!(n-i)!σ?

(n-i+1)t?(n-i+1)!(i-2)!n-i+1?σ??!=σexp?-?n?

(n-i+1)t??，t>0，σ?可得S=(n-i+1)2(X(i)-X(i-1))=(n-i+1)2T的密度函数σσ?σp(s)=p?ST??2(n-i+1)

?σs????2(n-i+1)

n-i+1?=exp?-σ?

s?σ1?s?，s>0，2??=exp?-2??2(n-i+1)2??故S=(n-i+1)2(X(i)-X(i-1))遵从参数1的指数分布，也就是遵从自由度2的χ2分布．σ232．体X的密度函数?x20<x<1;p(x)=?3,?0,其他.X(1)≤X(2)≤⋯≤X(5)容量5的取自此体的次序量，X(2)与X(4)相互独立．X(4)17：因体X的密度函数和分布函数分?x20<x<1;?0,x<0;?3p(x)=?≤x<1;其他.F(x)=?x,0?0,?1,x≥?1.(X(2),X(4))的合密度函数p24(x(2),x(4))=5![F(x(2))]1[F(x(4))-F(x(2))]1[1-F(x(4))]1p(x(2))p(x(4))Ix<x1!?1!?1!(2)(4)=120x3x3-x3-x3)?x2?x2I0<x(2)<x(4)<1=1080x5x2(x3-x3-x3(2)<x(4)<1，(2)((4)(2))(1(4)3(2)3(4)(2)(4)(4)(2))(1(4))I0<xY1=X(2)，Y2=X(4)，有X(2)=Y1Y2，X(4)=Y2，X(4)(X(2),X(4))关于(Y1,Y2)的雅可比行列式J=?(x(2),x(4))=y2y1=y2，?(y1,y2)010<X(2)≤X(4)<1于0<Y1<1,0<Y2<1，可得(Y1,Y2)的合密度函数p(y,y)=p(yy,y)|J|=1080(yy523-(yy3-3)I12y242)y[y2)](1y212122?121220<y<1,0<y<1?=1080y15(1-y13)I0<y<1?y211(1-y23)I0<y<1，12由于(Y1212,Y,⋯,Yn)的合密度函数p(y,y)可分别量，Y1=X(2)与Y2=X(4)相互独立．X(4)33．（1）X(1)和X(n)分容量n的最小和最大次序量，明极差Rn(n)-X(1)的分布函数=X+∞FRn(x)=n∫-∞[F(y+x)-F(y)]n-1p(y)dy其中F(y)与p(y)分体的分布函数与密度函数；（2）利用（1）的，求体指数分布Exp(λ)，本极差Rn的分布．注：第（1）添上x>0的要求．解：（1）方法一：增量法因(X(1),X(n))的合密度函数p1n(y,z)=n![F(z)-F(y)]n-2p(y)p(z)Iy<z=n(n-1)[F(z)-F(y)]n-2p(y)p(z)Iy<z，于其函数Rn(n-2)!(1)，增量W=X(1)，=X(n)-Xw=y;?y=w?y反函数?z=w+rr=z-?.?.其雅可比行列式10J==1，1118Rn的密度函数+∞pRn(r)=∫-∞n(n-1)[F(w+r)-F(w)]n-2p(w)p(w+r)Ir>0dw，Rn=X(n)-X(1)的分布函数xx+∞FRn(x)=∫-∞pRn(r)dr=drn(n-1)[F(w+r)-F(w)]n-2p(w)p(w+r)Ir>0dw∫-∞∫-∞+∞xn-Fw+r-Fwn-2pwpw+rdr=dwn1)[()()Ir>0∫-∞∫-∞(( )]( )=+∞n-pwdwxFw+r-Fwn-2pw+rdrn(1)[())∫-∞∫0+∞n-pwdwxFw+r-Fwn-2dFw+r=n(1)[()()]()∫-∞∫0+∞=n(n-1)p(w)dw?1[F(w+r)-F(w)]n-1∫-∞n-1+∞=n[F(w+x)-F(w)]n-1p(w)dw∫-∞

x0+∞=n∫[F(y+x)-F(y)]n-1p(y)dy，x>0；-∞方法二：分布函数法因(X(1),X(n))的合密度函数!n-2n-2[F(z)-F(y)]p(y)p(z)Iy<z=n(n-1)[F(z)-F(y)]p1n(y,z)=p(y)p(z)Iy<z，(n-2)!Rn=X(n)-X(1)的分布函数zz-y=xFx=PR=X-X≤x=+∞y+xpyzdzRn()(n)(1)dy({n}∫-∞∫-∞1n,)=n(n-1)+∞y+x[F(z)-F(y)]n-2p(y)p(z)dzdy∫y∫-∞+∞y+x[F(z)-F(y)]n-2d[F(z)]=n(n-1)∫-∞dy?p(y)∫y+∞1y+x+∞

0

y=n(n-1)dy?p(y)?[F(z)-F(y)]n-1=n[F(y+x)--∞n-1y-∞∫∫（2）因指数分布Exp(λ)的密度函数与分布函数分

F(y)]n-1p(y)dy，x>0；?-λx,x>0;?-λx,x>0;p(x)=?λe1-ex≤0.F(x)=?x≤0.?0,?0,Rn=X(n)-X(1)的分布函数=+∞+-n-1=+∞--λ(y+x)---λyn-1?-λyFRn(x)n[F(yx)F(y)]p(y)dyn[(1e)(1)]dyeλe∫-∞∫0+∞-λyn-1=n∫(e)0

-λxn-1-λy-λxn-1?1?-λyn+∞-λxn-1，x>0．(1-e)?-1)de=n(1-e)?-(e)=(1-e)0?n?34．X1,⋯,Xn是来自U(0,θ)的本，X(1)≤⋯≤X(n)次序量，令Yi=

X(i)

，i=1,⋯,n-1，Yn=X(n)，X(i+1)明Y1,⋯,Yn相互独立．19解：体密度函数p(x)=1I0<x<θ，θ且(X(1),X(2),⋯,X(n))合密度函数px(1),x(2),,x(n))=n?1I0<x≤x≤≤x<θL，θn(1)(2)L(n)由于Yi=X(i)，i=1,2,n⋯-,1，Yn=X(n)，X(i+1)X(1)=Y1Y2⋯Yn，X(2)=Y2⋯Yn，⋯，X(n-1)=Yn-1Yn，X(n)=Yn，(X(1),X(2),⋯,X(n))关于(Y1,Y2,⋯,Yn)的雅可比行列式(,x(2),,x(n))y2Lyny1y3LynLy1y2Lyn-1L0y3LynLy2y3Lyn-12n-1?x(1)，?(y1,y2,L,yn)=LLL=y2y3LynL00L10<X(1)≤X(2)≤⋯≤X(n)<θ于0<Y1≤1,0<Y2≤1,⋯,0<Yn-1≤1,0<Yn<θ，可得(Y1,Y2,⋯,Yn)的合密度函数p(y,y,L,y)=n!?1yy2Lyn-1I0<y≤1I0<y≤1LI0<y≤1I0<y<θ，θnn-112n由于12,n的合密度函数p12n(Y,Y⋯,Y)(y,y,⋯,y)可分别量，Y1,Y2,⋯,Yn相互独立．35．以下数据构造箱472425447377341369412419400382366425399398423384418392372418374385439428429428430413405381403479381443441433419379386387解：x(1)=341，m=1(x(10)+x(11))=383，m=1(x(20)+x(21))=408.5，m=1(x(30)+x(31))=428，222x(n)=479，箱341383408.542847936．依照，某集公司的中管理人的年薪数据以下（位：千元）画出箱．解：x(1)，m=1(x(12)+x(13)，m=1(x(24)+x(25)，m=1(x(36)+x(37))=41.6，222x(n)，箱习题1．在体N(7.6,4)中抽取容量n的本，若是要求本均落在，9.6)内的概率不小于，20最少多少？解：因体X~N(7.6,4)，有X~N(7.6,4)，X-7.6~N(0,1)，n2/nX-}()()2()P{5.6<X<9.6}=P{-n<<nn=n-，2/n即Φ(n)≥，n≥1.96，n≥，故取n≥4．2．x1,⋯,xn是来自N(μ,16)的本，n多大才能使得P{|X-μ|<1}≥0.95建立？解：因体X~N(μ?16?X-μ，,16)X~N?μ,?4/~N(0,1)?n?nX-μn?n??PX-μ<???4?4??4/n???

n??n?4??4??=2Φ??-1≥0.95，???即?n?，n，≥，≥nΦ?4?≥??4故取n≥62．x,y，本容量分3．由正体N(100,4)抽取二个独立本，本均分15,20，求P{|x-y|>0.2}．解：因X~N(100,4)，Y~N(100,4)，即X-Y~N(0,4+4)，X-Y~N(0,1)，152015204+41520故P{|X-Y|>0.2}=P{|X-Y|>=0.29}=2[1(0.29)]=2-2=．4+44+4-Φ本，求{10220(-)2302}．．由正体抽取容量N(μ,σ)4Pσ<Xμ<σi=120X-μ2∑(i)χ2解：因i=1σ2~(20)，20μ)220(Xi-30222∑故i=130}2()d．Pσ<X-μ<σ=P<<=px=(i}{102χ(20)i=1σ∫注：最后一步的分利用MATLAB算，命令窗口入：chi2cdf(30,20)-chi2cdf(10,20)里chi2cdf(x,n)表示自由度2n的χ分布在点x的分布函数．．1,⋯16是来自N(μ2的本，算x=9，s2，求P{|X-μ|<0.6}．5x,x,σ)21解：因X-μ=X-μ~t(15)，s/n5.32/16故P{|X-μ|<0.6}=P{|X-μ|=1.0405}=1.0405pt(15)(x)dx=0.6854．<∫-5.32/165.32/16注：最后一步的分利用MATLAB算，命令窗口入：2*tcdf(1.0405,15)-1里tcdf(x,n)表示自由度n的t分布在点x的分布函数．．x1,⋯,xn是来自N(μ的本，确定最小的常数c，使得任意的μ≥0，有P{|X|<c}≤α．6,1)解：因X~Nμ1)，X-μ~N(0,1)，(,n1/n|X-μ|PX|<c=Pn-c-μ)<<(c-μ)}=Φ((-μ))-Φ(n(-c-μ))≤α，{|}{(1/nnncf(μ)=Φ(n(c-μ))-Φ(n(-c-μ))，′n?(n(c-μ))+n?(n(-c-μ))=0，其中?(x)是准正分布的密度函数，令f(μ)=-得?(n(c-μ))=?(n(-c-μ))，由?(x)的称性得n(c-μ)=n(c+μ)，即=0，μf′(μ)=n?′(n(c-μ))-n?′(n(-c-μ))，且当x<0，?′(x)>0，当x>0，?′(x)<0，f′(0)=n?′(nc)-n?′(-nc)<0，即μ=0，f(μ)达到最大，当μ=0，f(0)=Φ(nc)-Φ(-nc)=2Φ(nc)-1≤α，即Φnc1+α，nc≤u1+，α()22u1+α故取c=2．n7．随机量X~F(n,n)，明P{X<1}=0.5．：因X~F(n,n)，有1~F(n,n)，且X>0，XPXP11}{1}，且然P{X<1}+P{X>1}=1，<=PX>XP{X<1}=0.5．n?n?8．X~F(n,m)，明Z=X?1+mX?遵从塔分布，并指出其参数．m??n?n+m??n?2Γ????：因X~F(n,m)，密度函数pF(x)=?2??m??n??m?Γ??Γ???2??2?

n-1?n-n+mx2+?2?1mx?，x>0，??22而z=nx?n?时严格单调增加，反函数为x=m?z，其导数dx=m?1，m?1+x?在x>02?m?n1-zdzn(1-z)则Z的密度函数为n?n+m??n?2Γ???2mpZ(z)=?????n??m?ΓΓ??2??2?

?mzn-1??2???n1-z?

?z?-n+m?m?1+21-n(1-z)2?z??n+m?n-1-Γ??2?z?2?1?=???1-z??1-z??n??m?????ΓΓ??2??2?故Z遵从参数为?nm??,?的β分布．?22?

n+m?n+m?nmΓ?21?2-1-1=??z2(1-z)2，?-z2?(1)?n?m??????2??2?注：分布β(p,q)的密度函数为px=Γ(p+q)xp-1(1-xq-1．β( )ΓpΓq))( )(22?x1+x2?的分布．9．设是来自N(0,σ)的样本，试求Y=???x1-x2?解：因X1~N(0,σ2)，X2~N(0,σ2)，有X1+X2~N(0,2σ2)，X1-X2~N(0,2σ2)，则X1+X2~N(0,1)，X1-X2~N(0,1)，即(X1+X2)2~χ2(1)，(X1-X2)2~χ2(1)，2σ2σ2σ22σ2因(X1,X2)遵从二维正态分布，知(X1+X2,X1-X2)也遵从二维正态分布，且Cov(X1+X2,X1-X2)=Cov(X1,X1)-Cov(X2,X2)=Var(X1)-Var(X2)=σ2-σ2=0，则X1+X2与X1-X2相互独立，有(X1+X2)2与(X1-X2)2σ2σ2相互独立，22?X1+X22(X1+X2)2(X1-X2)2故由F分布定义知?(1,1)．??=22~FY=?-X2??X1?2σ2σ注：F分布构造为F=X/n~F(n,m)，其中22Y/mX~χ(n)，Y~χ(m)，且X与Y相互独立．10．设整体为N(0,1)，x1,x2为样本，试求常数k，使得(X1+X2)2P?2+(X1+X2)2?(X1-X2)解：因X1~N(0,1)，X2~N(0,1)，有

?k?=0.05．?(X1+X2)2(X1-X2)2(X1+X2)2~F(1,1)，=(X1-X2)222?(X1+X2)2??(X1-X2)2+1<1??(X1-X2)2<1?则P?(X1-X2)2+(X1+X2)2>k?=P?(X1+X2)2k?=P?+X2)2k-1?=0.05，?????(X1?23?(X1-X2)21-k??(X1+X2)2k?，即得P?2≥k?=P?2≤?=0.95，?(X1+X2)??(X1-X2)1-k?故kF(1,1)==0.9938．=F(1,1)，k=1-k1+F0.95(1,1)(X1+X2)22(X1+X2)2+(X1-X2)22(2)，注：此2~χ(1)，2~χ(X1+X2)22(X1+X2)2但2=其实不遵从F(1,2)，因二者不独立．(X1+X2)2+(X1-X2)2(X1+X2)2+(X1-X2)22211．x1,⋯,xn是来自N(μ1,σ2)的本，y1,⋯,ym是来自N(μ2,σ2)的本，c,d是任意两个不0的常c(x-μ)+d(y-μ)2(n-1)Sx2+(m-1)Sy2数，明t=12~(2)，其中sw=．2c2+d2n+m-swnm解：因X~N(1,σ2)，2,σ2)，有c(X-1)+d(Y-2)~N(0,c2σ2+d2σ2)，μY~N(μμμmnmnc(X-μ)+d(Y-μ)，12~N(0,1)2c+dnmnmn-S2∑(Xi-X)2(m-2∑(Yj-Y)211)Sy=j=1~χ2(m-1)，且相互独立，又因(1)x=i=σ2~χ2(n-1)，σ2σ2σ2(n-1)Sx2+(m-1)Sy2~2(n+m-2)，且与()()相互独立，χμ1μ2σ2cX-+dY-故由t分布定知cX-μ+dY-μ(1)(2)c2+d2σmcX-μ1)+dY-μ2)n=((~t(n+m-2)，222+(m-222(n-1)Sx+(m-1)Sy(n+m-2)(n-1)Sx1)Sy?c+dσ2n+m-2nm注：t分布构T=X~( )，其中X~N(0,1)，Y~2(n)，且X与Y相互独立．Y/ntnχ21n21n-xn)212．x1,⋯,xn,xn+1是来自N(μ,σ)的本，x=∑=∑，求常数c，使得xi，sn1i=1(xini=1n-tc=cxn+1-xn遵从t分布，并指出分布的自由度．sn24解：因~(,σ22，有2σ2，XnN~N(μ,σ)Xn+1-Xn~N(0,σ+)nnXn+1-Xn(n-S22即~N(0,1)，又因nXn相互独立，n+1σ2~χ(n-1)，且与Xn+1-σnXn+1-Xnσn+1X-Xnnn+1n~t(n-1)，由t分布定知=(n-1)Sn2(n-1)n+1Snσ2故当c=n，cXn+1-Xn遵从自由度n-1的t分布．n+1Sn13．从两个方差相等的正体中分抽取容量15,20的本，其本方差分s12,s22，求P{S12S22>2}．解：因(n1-1)S1214S122(14)，(n2-1)S2219S222(19)，且相互独立，σ2=~χσ2=~χσ2σ214S1214S12由F分布定知σ2~F(14,19)，19S22=S2219σ2故P{S12S22>2}=+∞pF(14,19)(x)dx=1-2pF(14,19)(．∫2∫0注：最后一步的分利用MATLAB算，命令窗口入：1-fcdf(2,14,19)里fcdf(x,n,m)表示自由度n,m的F分布在点x的分布函数．14．12⋯,X15是体N2X,X,(0,σ)的一个本，求Y=X12+X22+L+X1022(X112+X122+L+X152)的分布．解：因X1,X2,⋯,X15相互独立，且Xi~N(0,σ2)，有Xi~N(0,1)，i=1,2,⋯,15，σ2X12+X22+L+X1022，X112+X122+L+X1522由χ分布的构成可知σ2~χ(10)σ2~χ(5)，且相互独立，X12+X22++X102X12+X22+L+X10210故由F分布的构成可知Y=L=σ2~F(10,5)．2+X222222(X1112+L+X15)X11+X12+L+X155σ215．(X1,X2,⋯,X17)是来自正分布N(,2)的一个本，X与S2分是本均与本方差．求k，μσ使得P{X>μ+kS}=0.95．25解：因(X12⋯,X17是来自正分布2的一个本，n=17，有X-μt(16)，,X,)N(μ,σ)~S17?X-μ17?，即，PX>μ+kS=P?>k?=17k=-t17?S?．22，从体中抽取随机本122n(n≥1)，其本均16．体X遵从N(μ,σ)，σ>0X,X,⋯,XX=12nnX)2的数学希望．∑Xi，求量Y=∑(Xi+Xn+i-22ni=1i=1解：因E(X，2，E(X)=12n=，122nσ2，i)=μVar(Xi)=σ∑E(Xi)μVar(X)=4n∑Var(Xi)=2ni=1i=12nn且Y=∑[(Xi2+Xn2+i+2XiXn+i)-4X(Xi+Xn+i)+4X2]i=1nnn=∑(Xi2+Xn2+i)+2∑XiXn+i-4X∑(Xi+Xn+i)+4nX2i=1i=1i=12nn2nn=∑Xi2+2∑XiXn+i-4X?2nX+4nX2=∑Xi2+2∑XiXn+i-4nX2，i=1i=1i=1i=12nnE(Y)=∑E(Xi2)+2∑E(XiXn+i)-4nE(X2)i=1i=12nn=∑[Var(Xi)+E(Xi)2]+2∑E(Xi)E(Xn+ii=1i=1222?22?-4n?=2(n=2n(σ+μ)+2nμ?+μ?2n???

)-4n[Var(X)+E(X)2]-1)σ2．17．明：若随机量T~t(k)，r<k有??r?r+1??k-r??k2ETr=ΓΓ?)???(??2??2?,??k??πΓ???2?并由此写出E(T)，Var(T)．：因T~t(k)，有T的密度函数

为奇数;r为偶数.?k+1?Γ?22?x??p(x)=?k??+k?1kπΓ???2?

????

k+12-∞<x<+∞，26?k+1?k+1Γ?2则r?2?+∞r?x?2E(T)=-∞x??dx，?k?k?∫??kπΓ??2?-k+1-k+1k+1r?x2?2r?2?2r因当x→∞时，x???x?=k2x?1+k?~x??????k?k+1?x2-则对r<k，有失态积分+∞r?2收敛，即-∞x?+?dx?1k?∫??

k+1-(k+1)k2?x=xk-r+1，E(Tr)存在，x2-k+1r?当r为奇数时，?2x?+?为奇函数，有1k???x2-k+1r?当r为偶数时，?2x??为偶函数，有?1+k???

-+∞r?x2?∫x?1+?-∞?k???2-+∞r?x?∫x?1+?-∞?k???

+12dx=0，即E(Tr)=0，k+12-k+12+∞r?x?2，dx=20x??dx?1+k?∫??-1111111-1131?x21k211k2令?2??22-2，?2??-t-dt，??，有x=k-1=kt2(1-t)dx=?-1t2(1-)2t=1+?????-dt=-????k?t?2?t??t?2??且当x=0时，t=1；当x→+∞时，t→0，+∞则∫-∞xrE(Tr

k+112-r-rrk+1-3-1?x?20k2222222?+?dx=kt-t?t?--=1?21(1)1)t(1t)dtk(?k?∫2?k-r??r+1?r+1?????k-r,r+1?r+1Γ2Γ2?，=k2=k2???22?k+1???Γ?2???k+1??k-r??r+1?r?r+1??k-r?k2Γ?r+1ΓΓ?ΓΓ?)=?2??k2?2??2?=?2??2?；?k??k+1??k?kπΓ?Γ?Γ?2?2????2?

r+11k-r-2r-122-2t(1t)dt∫0取r=1，r为奇数，当k=1时，E(T)不存在；当k>1时，E(T)=0；取r=2，r为偶数，故当k≤2时，E(T2)不存在，即Var(T)不存在；?3??k-2?1?1??k-2?kΓΓ?k?Γ??Γ?22)=?2??2?=?2??2?=当k>2时，Var(T)=E(T?k?k-2?k-2?Γ??Γ??2?2?2?18．证明：若随机变量F~F(k,m)，则当-k<r<m时，有22

k．k-2r?k??m-r?mΓ+rΓ?E(Fr?2??2?，)=r?k??m?kΓ??Γ???2??2?由此写出E(F)，Var(F)．27∫0x2+∞证：因F~F(k,m)，有F的密度函数为kk+m??k?2Γ????p(x)=?2??m??k??m?Γ??Γ???2??2?

kk+m-x2-1?+kx?2，x>0，?m?kk?k+m??k?2Γ????r)=?2??m?则E(F?k??m?Γ??Γ???2??2?

k-1-k+m+∞k2?+x?xr?x2∫0??m??

k+m??k?2Γ????dx=?2??m??k??m?Γ??Γ???2??2?

k+r-1??1+?

k+m-?2x?dx，m?k?k-k+mkk因当x→0时，2+r-1?22+r-1；当x→∞时，2x1+x?~xxm??

-+r-1?k??1+x??m?

k+m?-k+mm2k?2-2+r-1~??x，?m?kmkm+∞k+r-1?则当11<-1<r<x2++r-1>-且-+r-时，即-，失态积分0?12222∫?令t=?1+-1，有x=m?1-1?，dx=m??-12?dt，kx????????m?k?t?k?t?

k+m-?2x?dx收敛，m?且当x=0时，t=1；当x→+∞时，t→0，k+∞则∫x20

+r-1?1+kx-?m??

k+mkkk+mkmk0?+r-1?+r-1m?1?+r2m?21-t?2?t2?-?m?21t2-r-1(1-t)2+r-1dx=?????2?dt=??dt1?k??t?k?t??k?0k+r?m?m?2=??B?-?k??2

k+r??m?2r,+r?=??2??k?

?m??k?Γ?-r?Γ?+r??2??2?，?m+k?Γ???2?k?k+m??k?2Γ????r)=?2??m?故E(F?k??m?Γ??Γ???2??2?

k+rm?2???k?

?m??k+r?r?k??mΓ-rΓ?mΓ+rΓ-r?2??2?=?2??2?m+k??k??m?krΓ?ΓΓ??2??2??2?

??；r=1，当m≤2时，E(F)不存在；?k??m-1?k?k??m?mΓ+1Γ?m?Γ??Γ-1m当m>2时，E(F)=?2??2?=2?2??2?=；k??m??k??m??m?m-2kΓ??Γ??kΓ????-1?Γ?-1?2??2??2??2??2?r=2，当m≤4时，E(F2)不存在，即Var(F)不存在；2?k??m-2?mΓ+2Γ?2?2??2?=当m>4时，E(F)=2?k??m?kΓ??Γ???2??2?

2?k?k?k??m?m?+1Γ??Γ-2??2?2?2??2?2?k??m??m-??m-?kΓ?-1??2Γ2??2??2??2??2?

m2(k+2)=，k(m-2)(m-4)28m2(k+2)?m2故Var(F)=E(F22?)-[E(F)]=-??k(m-2)(m-4)?m-2?

2m2(m+k-2)=k(m-2)2(m-4)．19．X1,X2,⋯,Xn是来自某体的一个本．体的分布函数F(x)是格增函数，明：n2量T=-2∑lnF(Xi)遵从χ(2n)．i=1：因Yi=-2lnF(Xi)的分布函数：FYy=P-FXi≤y=PXi≥F-y=-FF-y=--y，y>0，(2ln()-12)}1[-12)]1e2){}{(e(eYi?1?22=-2lnF(Xi)遵从指数分布Exp??，也就是遵从自由度2的χ分布χ(2)，?2?因X1,X2,⋯,Xn相互独立，有Y1,Y2,⋯,Yn相互独立，2n2故由χ分布的可加性知T=-2∑lnF(Xi)遵从χ(2n)．i=1N221n220．X1,X2,⋯,Xn是来自正分布=(Xi-X)是本方差，求足(μ,σ)的一个本，Snn-1∑i=1P?Sn2≤?≥的最小n．?σ?解：因(n-1)Sn2~2(1)，有?Sn2??(n-1)Sn2?2χn-P?2≤1.5?=P?21.5(n-1)σ?σ??σ?21.5(n-1)≥χ(n-1)2χ(k)下降，且k

2，即1.5≥χ(n-1)，n-12，2=1.4956，χ(25)χ(26)2526故n-1≥26，即n最少27．．12⋯,Xn独立同分布遵从N2，X=1nX，S2=1nX-X2，=X1-X．21X,X,(μ,σ)n∑i=1in-1∑i=1(i)ξS找出ξ与t分布的系，所以定出ξ的密度函数（提示：作正交Y1=nX，Y2=n(X1-X)，n-1nYi=cijXj，j=3,⋯,n）．j=1n1(1,1,L,1)T，解：因X=1∑Xi=(X1,X2,L,Xn)?ni=1nX1-X=n-11n(X1,1,-1)TX1-∑Xi=X2,L,Xn)?(n-1,-1,L，nni=2n29且向量α1=1(1,1,L,1)T，α2=1(n-1,-1,L,-1)T正交并都是位向量，nn(n-1)将位向量α1,α2充n向量空的一准正交基α1,α2,α3,⋯,αn，C=(α1,α2,α3,⋯,αn)，C正交，(Y1,Y2,⋯,Yn)T=CT(X1,X2,⋯,Xn)T，即Y=CTX，因X1,X2,X3,⋯,Xn相互独立且都遵从方差同σ2的正分布，可知Y1,Y2,Y3,⋯,Yn相互独立且都遵从方差同σ2的正分布，当i≥2，TTTT()()=αi(,,,)?μ?nα1=0，EYi=EαiXμμLμ=αiY23n相互独立且都遵从正分布N(0,σ2Yi~N(0,1)，i=2,3,⋯n，,σnTTTn因∑Yi2=YY=XCCTX=XEX=∑Xi2，i=1i=1且1TX=1(X1+X2+L+Xn)=nX，Y=αnY2=α2TX=1[(n-1)X1-X2-L-Xn]=n(X1-X)=nSξ，n(n-1)n-1n-1nnnnn(n-1)S2=∑(Xi-X)2=∑Xi2-nX2=∑Yi2-Y12=∑Yi2，有(n-1)S2-Y22=∑Yi2，i=1i=1i=1i=2i=32Y2~N(0,1)，(n-1)S2-Y2σσ

2∑?=3?σ?Y2nSξn-2?nn-ξσn-12)故T===(~t(n-2)．22n22(n-1)S-Y2n-222(n-1)-nξσ2(2)(n-1)S-Sξn-122．X1,X2,⋯,Xm相互独立，Xi遵从χ2(ni)，i=1,2,⋯,m．令U1=X1，U2=X1+X2，⋯，X1+X2X1+X2+X3X1+L+Xm-1?n+L+nni+1?Um-1=．明：U1,⋯,Um-1相互独立，且Ui遵从Be1i,?，i=1,⋯,m-1，X1+L+Xm22??（提示：令Um=X1+⋯+Xm，作X1=U1⋯Um，X2=U2⋯Um-U1⋯Um，⋯，Xm=Um-Um-1Um）．：因X12m相互独立，Xi遵从χ2i⋯,m，,X,⋯,X(n)，i=1,2,(X1,X2,⋯,Xm)的合密度函数ni?11m?1?2?2∑i=1nimm??ni-1-xi??mni-1-1∑xipX(x1,x2,L,xm)=∏?2?2e2Ixi2?∏xi2e2i=1Ix1,x2,L,xm>0，xi>0=?mi=1?ni??ni?i=1Γ?Γ?2??i=1?2?30因U1=X1，U2=X1+X2，⋯，Um-1=X1+L+Xm-1，且Xi>0，i=1,2,⋯,m，X1+X2X1+X2+X3X1+L+Xm0<Ui<1，i=1,2,⋯,m-1，Um>0，Um=X1+⋯+Xm，有X1=U1⋯Um，X2=U2⋯Um-U1⋯Um，⋯，Xm=Um-Um-1Um，Y1=U1⋯Um，Y2=U2⋯Um，⋯，Ym-1=Um-1Um，Ym=Um，有X1=Y1，X2=Y2-Y1，