大二-概率论桂文豪第6章数理统计任务研究怎样有效地收集

第六章参数估第六 参数估样本与统计6.3估计量的评选

点估6.4正态总体统计量的分 6.5置信区返回 §1第六章参数§16.1样本与统计 6.1.1总体与样一、总体、及总体分无限总体：容量为无限的总体返回 §1第六章参数§1总体：研究对象,数量指标,试验,观察值 设X表示联系总体的随机试验的观察X是一 量，X的所有取值即为总体总体分布：随量X的分布返回 §1第六章参§1例如：研究某工厂生产的灯泡 灯泡 ，则X是 量，且X的所有取值为体。一般X服从指数分布，设参数为 ，则该工 为1，故该总体为指数分检验某工厂生产的零件是正品还是次品，引 0X0

任取一件产品是正品,任取一件产品是次品

~B(1

p参

pP{X

返回 §1第六章参§1 二、样本、样本分 实际上,就是做一次随机试验记录其观察值每抽取一 就得一个 量，故抽出容量为的样本就得n个 量

用（X1 返回 §1简单随机§1

第六章参数估容量为n（X1,,X表示，其中每Xi

都是 量,要求它们满足以两个性质

Xi

与总体X同独立性X1,Xn

相互独立，即结果既不影响其它观察结果，也不受其它观察结的影响（X1

X为简单随机样本，简称为样本返回 §1第六章参§1抽取简单随机样本的方法有限总体容量很大时,进行n次不放回抽样，将抽样结果按次序依次记为X1,,Xn

，就得到一个简随机样（X1,,X当n次抽样一经完成，就得到一（x1

量（X1,,

的观察值返回 §1第六章参§1一个总体X={1.75，1.80,1.73},每个男生的身高是 得到的是2个 （X1,X,它的观察值是个实

(x1

x2

,共有9组

,

,

,

,

,

,

,

,返回 §1样本§1

第六章参数估（X1

X为来自总体X的一个样(X1

Xn

是n维 量，

X1

X立同分布，设X的分布函数为FX(x)的联合分布函数为n

，X1,Xn1F*(1

,,

xn

i

(xi

,(FX

(xi)

(xXiiXi

fXx)，

X1,,Xn1f*(1

xn)

ni1n

fX(xi

(XiX

(xi)

fX(xi)返回 §1第六章参§1若总体X的分布律

P{

x}

p(x)

，则样X1,,Xn

的联合分布律为 P{X1

x1,,Xn

xn}

i

p(xi

P{Xii1

xi(P{Xi

xi}

P{X

xi}返回 §1第六章参§1例 设总

X~E()

（X1

X为来自总X的一个样本8

X1,,X8

的联合概率密度为1f*(1

x8)

i

fX(xi

fX(x)fX(x)exx返回 §1第六章参§1例 设总

X~P(

X1

X1为来自总X的一个样本

X1

X10的联合分布律为P{X1

X10

x10}

10i

P{

xi10 x1!

e10PP{Xx}xe返回 §２第六章参数估§２ 定义6.1.1:（X1,,X为来自总体X的一个样本g(X1,,Xn

是X1,

的函数，若g中不显含何未知参数

gX1,Xn是一个统计量（x1

xn）是相应于样 则 (,(), 注：统计量是 量

返回 第六章参数估例设

,

为来自总

X~N

,2

的一个样本其中未知

2已知问下列 量中那些是统计(1)min(X,

,,

);

X1

Xn

X1Xnn(X1X2

(X1Xn)n.n n

返回 第六章参数估定义6.1.2（常用的统计量---样本的数字特征n（X1n

为来自总体X的一个样本样本均值：

Xn

Xii1样本方差：S2

n

nni

(Xi

X)2

n

nnXi Xii

nX2 nn (nn

X

[Xii1

2XXii

Xi

n1n1n

i

(Xi Xi返回 第六章参数估样本标准差S S

nXnnX

nni

(XiX2样本k阶(原点)矩：

ninini

k样本k阶中心矩

ni

(Xi

X)k

kn它们的观察值分别为nxn

xii1s2

n

nni

(

x)2

n

nnxi xii

nx2返回第六章参数估s nx,nnx,

nni

(

x)2ak

inii

k

nnin

(

x)k

k 返回 第六章参数估：1EXk)

k

n1 n则当n

Ak

Xii1

k

k说明

k

Yn

niX,k则Y1 X,k

Y2

1(X

X )kP所以Yn{ kP

nXininXi

Y

kkn返回 n第六章参数估：1EXk)

k

n1 n则当n

Ak

Xii1

k

kXX

X1,,Xn

相互独立，且与总体X11

k,,

(

)相互独立，且X

同分布)n1故有EX)n1

E(X

k)n由辛钦大数定律（120页定理5.1.3）)n

nXininXi

k

k返回 k第六章参数估 A Xk E(Xk k ik说明2：n充分大时，即样本的容量充分大时k样本k阶(原点)矩：

nXininXi

kE

kn1 nk1,A1

Xii11

Xn2n

E(X2k2,A2

Xii1

E(X

返回 §２第六章参数估§２定理

（X1

X为来自总体

的一个样nnn nnnEX

,DX

样本均值：

Xii1样本方差：S2

n

nin

(Xi

X)2

n

XiiXi

nX2则E

DX

ES

2 X1,,Xn

相互独立，且与总体X

返回 §２第六章参数估§２E(Xi)

E(X)

,D(XiEX

E(n

nin

Xi)

nnin

E(Xi)

ni DX

Xi)

D(Xi

2ni

n2 i

n2 i EE D n返回 往证S

第六章参数估样本方差：S2

n

nni

(Xi

X)2

EXEX,DX

nnXi Xii

nX21n1

[Xinn

nX

[nn

nEX n

nin

EXii

nn2

)]n 返回 第六章参数估n说明当总体的期望n

未知时，可样本均值：

Xn

Xii1

的观察xn

nin

近似代替 说明

当总体的方差

未知时，可1n1 的观察n样本方n

(Xii1

Xs2

n

(nin

x)2

近似代

返回 §２第六章参数估§２例1(1)

X~E(

X

X为来自总X的一个样本，EXE(X)1

DX

D(X)9

92ES2

D(X)1

X~

X1

X1为来自总X的一个样本

2

,

ES

D(X)

(3

. 返回 §２第六章参数估§２例 设总

X~P(

X1

X为来自总X的一个样本，EX

E(X)

,DX

D(X) ES2D(X).：经验分布，直方图。不作业：P163作业：P163第6第6§6.2点估计1.返回 §6.2第6第6§6.2设总体X的分布函F(x;)的形式为已知是待估参X1Xn是X的一个样本，x1xn点估计问题构造一个适当X1,,Xn)，用它的观察值ˆx,x)来估计未知参1n我们称(,1Xn为的 ；称ˆ(,1为的估计关键是：怎样构造统X1,,Xn返回 §6.2第6第66.2.1.矩估计法是1889。矩估计法的理论基础为当nAk1nin kPE( kikknn1niXki(k返回 §6.2第6第6设总体X为连续型随1总体X为离散型随为 其中1,,l是待估参如：总X~N（，2），，2未知，那么X的密度函数可记为fx，2。总体X~P（），X的的分布律可记为PXxpx;返回 §6.2第6第6我们的目的是：估计1,,l的值设（X1,,Xn）我们要构造l个统计量kX1,Xn(k1,2,l用它们的观察值ˆx,xk1,2,l)来估计 未知参数k(k1,2,lnlkX1,,Xn(k1,2,我们的依据是：n很大时，Ak1nin kE( kki(k1,2,,l返回 §6.2第6第6设总体Xk阶原点矩EXk(,, l(k1,2,,l存在如：总X~N（，2），，2未知E(X)(,21),E(X)(,22)222一般：EXk f(k,,1l或EXki p(xki ,,l返回 §6.2AkAk1nn kii(k1,2,,l第6样本的kn1nXiki(k1,,lA11(1,,l令A(,, l这是包含l个未知参数的联立方程从中解出方程组n,1n返回 §6.2第6第6用1lkˆ(X,,X)(k1,,lk1nkˆx,x)(k1,l)称为矩估计值 n总之就是用样本的k阶(原点)Ak1nnXkii代替总体的k阶(原点)矩kE( k(k1,2,,l得到未知参数k(k1,2,l)的估计量的方法。返回 §6.2第6第6l2时，矩估计设总体X1,2设：EX1(1,2E(X)2 ,以A分别代替上式中EX)k1,2)，得kA11(1,2(其中A1X1XinA(,2 (其中A21nninX2ii这是包含2个未知1，2的联立第6第6(A,A)(X,,X111211n (A,A)(X,,X221221n则(XX11n,(XX21n1，2(x,,x111n (x,,x221n分别1，2的矩返回 第6第61参数为的泊松分布，未知，有以下样本值（用矩法）厂一天中发生着火现象的次数X分析：据题意，需要楚下面几个问题总体，未知参数，样观察值总体X~P(从总体X250的样本，记为X1,X250x1,x250中有75取值是0，90个取值个取值返回 着火的次数发生k次着火天数第6第6解X的1E(X);以A代替上式EX1令A1(其中n1nXiXi解上方程得XA1返回 E(X)xkP{Xxkk总体X~P()，EX.第6第6X为的矩估计量的矩估计值1x(xx12)1(07519061)返回 结论：总X~P()，未知，则的矩估计量为观察值x1,,x250中有75个取值90个取值个取值第6第6例2.X的概率密度为f(x;) 00x其他其中0未知（X1,,Xn）是一个样本 求：的矩估计解X的1E(X)- xf( 101dx 返回 §6.2第6第6例2续E(X) 以A代替上式EX1令AX 1解上方程的矩估计量为X21X 返回 §6.2第6第6例3.设总X~U[abab未知；X1,,Xn是一个求：a,bEXab2EX2DX(EX)2令1(ba)2;(a4AaA22(ba)2(a4。返回 §6.2第6第63（续即ab2A1ba12(AA221解上方程组得：ˆA12A21XˆA12A213n3nin(XiX2Xin(XiX2A- 21nin 221nin( X2221ii返回 §6.2第6第64设总体X的均值，方差2都存在，且21n求：,2的矩估计EX,EX2DX(EX)22以A分别代替上式中的EXk（k,)()得kA1,(其中A1X1nnXiA221i2(其中A2ninX2i第6第6A1,(其中AX11nnXiA21i22(其中Ain22nXi解上方程组A1Xˆ2A 21nn 2 221i1nn(X2X2iii1nn(XXii返回 第6第6结论：设X的均值，方差2都存在，且20，未知，又2X,X是一个样本1n则的矩估计则2的矩估计n,221(XXA1Xnii则X 21X~N(,2nn(XXii返回 分析分析：据题意，需要楚下面几个问题第66.2.2.引例一口袋装有一些黑球和白球、但不知哪有放回地取出5个球2只，白球3只解：设X表示取出的5个球中的黑球数则总体~B(5,p)p是任取一球为黑球p根据题意p1p233返回 §6.2第6第6有放回地取出5个球2白球3只，意指:从总体X中抽出容量为1X1得样本值x1。这意味X1x1}发生1~B(5,p)p1？还p233P{1x}P{112}C2p2(1p)35p13P 1C1532313 380p2312 3)408040p13§6.2第6第6X~B(5p为了估计参数从总体X中抽出容量为1的样本X1得样本值为x1事件X1x1}发生的概率P{ x}P{1112}C2p2(15由于，当p13P 280较大1所以，的估计值为13返回 §6.2第6第6(1).若总体X属离散型，其分布律Pxpx;(}){,的形式为已知，为待估参数，是设（X1,Xn）X的样本（x1,,xn）是（X1,,这组样本值(n返回 §6.2第6第6事件{X1x1,XnnP{X1x1,,Xnxn}P{Xixiip(xi;inn返回 总体XPXxpx;P{Xixi}P{Xxi§6.2§6.2§6.2n一方面，PX1应该很大

x1,,Xn

xn}in

p(xi;另一方面，PX1

x1,,Xn

xn}i

p(xi;随的变化而变化。nnL(i

p(xi;

它是L()in§6.2

第6估极大ni

pxi;达到最大即取使得：

与x1,xn有关，记ˆx1,xn称其的极大似然估计ˆX1,Xn)第6第6(2).若总体Xfx;),的形式已知，为待估参设x1,,xn)是相X1,,Xn)的一组样本值，则随机点X1,Xn)落在x1,xn)的邻域（边长分别为dx1,,dxn的n维立方体）内的概似为：f(xi;nniP{xiXixidxii使上面的概率取§6.2第6第6dx不随i而变，故只需考ii的最大值，这L()称为样本L()f(xi;n若则称ˆ(x,,x)为 1n称1n返回 §6.2第6第6综上,求似然函数L()的最大值L()p(xi;)P{Xixinnii 样本的联合分L()f(xi;n 样本的联合密i其中PXxpx;是总体的fx;)是总X的概率密返回 §6.2第6第6一般似然L(fxi;pxi;nnii的最大值,px;),fx;)关于可微的极大似然又因L()与lnL()在同一处取到极值，因的极大似然估计ˆ也可从下述方程解得：估计值可由下式求得dL()dlnL()返回 §6.2第6第6极大似然估计法的具体做法如下写出似然函数L()p(xi;)P{Xixinnii 样本L()f(xi;in 样本的联合密其中PXxpfx;)是总X的概率密返回 6.2第6第620求似然L()的最大值点令dL()或dlnL()解之得的极大似然估计ˆx1,xnˆX1,,Xn)为的极大似然估计返回 §6.2或或n第6注意似然函L(似然（或减且x1n则的极大似然估计(x1,xn返回 或§6.2第6第6若总体的分布中L(1,,k)L(x1,,xn;1,,kp(xi;1,,kL(1,,k)L(x1,,xn;1,,kninxi1ki即可令Lki或lnL解k个方程组1,,k的极大似然估计返回 §6.2第6第6例5(1)一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，分析：据题意，需要楚下面几个问题解:设这批产品的废品率为p(p未知总体X1，任取一件0，任取一件则，总体X~B(1其中PX1p,（p未知第6第6总体X10，任取一件产品是正品，则，总体X~B(1p)其中PX1p,（p未知从总X~B(1p中抽出了容量75的一个样本X1,,X75返回 第6第6估计这批产品的废品率p(2).设总1n试求参数p的极大似然估计值10似然函数X的分布律P{Xx}px(1p)1xL(p)P{Xxixninpxi(1p)1pnn(1n,ilnLp(xilnp(nxiln(1p).nnii返回 第6第65(2)（续20求似然L()的最大值点 令lnL(p)i1 i1 0.np1解得p的极大似然估计:ˆ1nnxiip的极大似然估计量n1nii E(X)p1A1nn ii返回 §6.2第6第6由例5(2)得p的极大似然估计值nˆ1 nii这里n75，样本值x1,x75106个为p的极大似然估计值ˆ1(101650)返回 §6.2第6第6例5(1)一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，另解 设这批产品的废品率为X表示75件产品中的废品数X~B(75设X1是来自Xx1X~B(m,x1,xn（这里m75n试求参数p的极大似然估计值返回 第6第6例6.设总X的概率密度f(x;) 00x其他其中0未知X1,Xn是一个样x1,是一组样本观.求的极大似然估计值解L()L(x1,,xn;)f(xi;nin2(xx1n01，0x,,1其他n返回 §6.2x21x第66（续当0x,1nn2时，)n2(xx1nln(1)lnni令dn12lnxini解之得的极大似然估计值n2lnxin2i返回 的矩估计值§6.2第6第6例7设X~N(,,22x,,1n是来自X的一个样本值求：,2的极大似然估计解：X的概率密度1f(x;,2) (xe2L(,2)inf(x;,2in e12(xiinnn(2)2(2 2 2(xi12返回 第6第6nL(,2)(2)2(2212(xilnLnln(2)nln(2)212ni(x22ilnL1n令 xn]lnLii02n1 in(xi20返回 2[nxn]iin1n222i(x 2-i第67（续解得，2的极大似然估计值1nnnxxii21(xx)2nii,2的极大似然估计量1 X 21 (XX2niinii返回 §6.2第6第6例8.设总X的概率密度为f(x;)2e2(x0x其他其中是未知参x1,,xn求的极大似然估计量解 innxiii0x1,,其他返回 §6.2第6第6例8（1）（续）x1,xnminn当minx时，)2n2(xiilnL()nln22(xin ilnL()2nL()是,又min)在minxi处取得最的极大似minxi的极大似然估计量minXi思考：返回 §6.2第6第6例8设X~U[ab];a求：a,b的极1n解X的概率密度为f(x;a,b)b1,xL(a,b)f(xi;a,b)(ba)n1in,ax1,,xn 其它返回 第6第6例8（2）（续当aminxi1L(a,b)(ba)nL(a,b)L(a,b)n(ba)n1(ba)n1返回 ax1,,xn第6第6例8（2）（续）aminxi,maxxiL(ab)是a的单L(ab)在aminxibmaxxi故a,b的极大似ˆminxi ˆmaxxi故a,b的极大似ˆminXi ˆmaxXi思考：E(ˆ), E(ˆ).返回 §6.2第6第6书中140页例8.设总X的概率密度f(x;)1，x其他其中是未,X1,Xn是从总体中抽取的求的极大似然估计解x1,,xn是一组样本，x1xn其他返回 §1第6第68x1,,xn minxi,maxximaxxi1min[maxXi1minXi上任意一点都是极大似然估计量即maxXi1minXi返回 §1第6第6的函数uu()已知是的极大似然估计的函数uu(的极大似然估计的函数u 具有单值反函是的极大似然估计；则ˆ (ˆ)(uu的极大似然估计返回 第6第6例9：已知2 (求1(2)e2的极大似然估计nii(1uuu(2)2有单值反函2u2u故u(ˆ2n1n(XXii是的极大似返回 第6第6求2)e2的极大似然估计uu(2e2有单值反函2ln(u1n2故eni1(XXi是e2的极大似返回 第6第6例10X~P(X1,XnX试求PX0的极大似然估计量分析：X的分布律xP{X0}P{Xx}ee ,xXP}{)(有单值反函lnPX的极大似然估(uˆX 返回 第6第6试求PX0的极大似然估计量解：X的分布律为P{Xx}x ,xP{X0} 设x1,,xn是一个L()nxixieinni lnL()(xi)lnnlnxinnex1!xnii返回 第6第6令d xin1n解之得的极大似然估计i1xx.nniiu()P{X0}有单值反函ln (uPX的极大似然估ˆX0}{eˆexee 返回 第6第6书中140页例一口袋装有一些黑球和白球，今从袋中有放回分析：设袋中有黑球a个和白球b个，黑球率为paa 1R,Rp1u(Rup有单值反函p设ˆp的极大似然估R1,则R的极大似然估计ˆ1.返回 §6.2第6第6问题就转p的极大似然估计值ˆ§6.2点估X10X1,Xn是来自总体X~B(1,p的一个样x1,xn由例5(2)p的极大似然估计值为nˆ1xkniin故Rˆ 1 n返回 第6第6例9.设总X的概率密度f(x;,)exx其他其中c,(0)是未X1,Xn是一x1xn求c的极解nL(,c)11(xicicx1nn0其他返回 §6.2第6第6当cxx时，L(c,9（续1n1e1n(xcilnL(,c)nln1in(xc)ilnL(,c)nL(c)是c的单增函 c的极大似ˆx1n令n1xii返回 §6.2第6第69（续解之得的极大似然估计值1(xˆ)1(xx)xnnnii11ini返回 §6.2第6第6§6.3估计量的评选标设X1,,Xn是来是总体X的分布中的待估参数定义无偏性ˆX1,Xn)的数学期Eˆ,则称是的无定义有效性X,X111nX,X)都是的无偏估计量；221n12则称较有效。12定义6.3.2不要求返回 §3当当nˆ当pn ˆn第6定义6.3.4一致性：若ˆˆX,X)为参数的估nn1n计量若对于任意n时 ˆpn即：0,limP{|ˆ|n则称是的一致（相合）n说明：ˆ是的相合（一致）估计量，是指n随着样本容量n的增大，估计量的值稳定n于待估参数的真值。返回 §3第6第6例对于均值，方差2都存在的总体X2均为未知，则估计量21XXnnii是 的有偏估计量，而 221(XiXn2n1是2的无偏估计量返回 §3第6第6例证明21nn(iX)2 的有偏估计量2:i21nn(iX 21nn（ X2iii1nnX2XiiE(Xi )2D(i)(EX222E(X2)DX(EX)2in返回 §3第6第6例1续1n