数学建模典型例题

典型例题1．报童每天订购的报纸，每卖出一份盈余a元，若是卖不出去并将报纸退回刊行单位，将赔本元．每天买报人数不定，报童订报份数如高出实质需要，就要碰到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的希望损失最小．解：设报童每天订购Q份报纸，则其收益函数为y(m)am(Qm)b,mQam,mQ收益的希望为QE[y(m)][(ab)mbQ]P(m)aQP(m)m0mQ1比较各个m的E[y(m)]值，使其最大者即为所求．若m的取值过多，可将E[y(m)]看作m的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法律dE[y(m)]0．dm2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能够使出血停止．很有意思的是，诚然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有经过遗传传达这种缺损的能力．若已知某时辰的男人和女人的比率为1：1.2，试建立一个展望这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．解：假设有%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比率相同．基于这样一个假设，不如设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比率占总人数的比率为0，0，由题设，a0：0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有1%abbb0个女人及1b02%个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为2cb0%1.2%1a0b02.2同理，第二代将有11b0%个女人及11b0%个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为22221%b011.2c22a0b02%2.2依次类推，第n代将有(1)nb0%个女人及(1)nb0%个男人有血友病，血友病占总人数的百分比22为(1)n1b0%1n11.22()%cna0b022.2令n，则cn0．．某石油公司必定就下一个打井地址作出决定．若是打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资花销（打井花销）全部赔掉．若是打出来的是气井，则能够说是部分成功，若是打出来的是油井，则是完好成功．由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能获取不完好的信息，所以作出决定是困难的．试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大解：设B1——展望是油井，B2——展望是气井，B3——展望是无油气井．由于做取样只能获取不完好的信息，所以依照取样结果，计算出在B1，B2，B3分别发生的条件下，B1，B2，B3发生的概率．尔后利用贝叶斯公式，计算出实质是油井、气井和废井情况下，而展望是B1，B2，B3之一的概率值，若给出各种情况下的花销，计算出各个希望值即可．下面画出决策树（如图3）．展望废井B1实质废井决策展望气井2实质气井B实质油井实质废井展望油井实质气井B3实质油井图34假设有一笔1000万元的资本于依次三年年初分别用于工程A和B的投资．每年初若是投资工程A，则年关以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；若是投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元．假设每年只赞同投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年关希望资本总数为最大的投资策略．解：建立决策树（如图4）．8001投资A0.6失败020.4成功200018001000800投资A0.6投资A100.603460.420001100投资B110.120000.91000300028000.4投资A120.6200070.44000投资B3100130.14000投资B2100300070.930000.1情况同5820001800投资A图4在投资A的决策树中，第一年投资A，第二年投资B，第三年投资B的希望值最大．在投资B的决策树中（只在A的决策树中②节点中的0.4，0.6分别换成0.1，0.9即可），可算得第一年投资B，第二年投资B，第三年投资B的希望值是两个决策树中的最大者．．某工程队肩负一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工时期该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防范河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.以下暴雨发生洪水时，则无论可否筑护堤，施工机械留在原处都将碰到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法解析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？解：建立决策树模型如图5.B-1800搬走高水位0.25A-500D筑堤洪水0.02-60500不搬走C不筑堤B图5使用希望值法计算过程见图6.

高水位0.25-10000洪水0.02-60000-1800B-1800搬走-1335