2018高考全国卷2理科数学真题

--可编辑修改-2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-211.l-2iTOC\o"1-5"\h\z43.43.34.34,■■-]B.IC.1D.■—55555555已知集合A={(x,y)|x2+y2<3,x€Z,y€Z},则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.4函数f(x)=e2-e-x/x2的图像大致为A.B.C.1212D.4.已知向量a,b满足Ia1=1,ab=-1,则a•(2a-b)=A.4B.3C.2D.O双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的离心率为存F，则其渐进线方程为TOC\o"1-5"\h\zA.y=±'像xB.y=±、険xC.y=±D.y=±、、22CJ在-•中，cos.=，BC=1，AC=5，贝UAB=25A.4B..小C.」D.2；1L1117.为计算s=1-—+-—+-••+—-设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入2^499.'4：，A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的素数中,A.随机选取两个不同的数，其和等于30的得了世界领先的成果。和”,如30=7+23,概率是哥德巴赫猜在不超过30的9.9.在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=1,AA仁'、则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为--可编辑修改---可编辑修改-的直线上,6B.111C.-D.-的直线上,6B.111C.-D.-23⑷A..-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=2ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为x+2y-5补0,\|；「，则z=x+y的最大值为x-5<0,14.若x,y满足约束条件15.已知sina+cos3=1,cosa+sin3=0，贝Usin（a+3）=一716•已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为一，SA与圆锥底面所成角为45。，若ZSAB的面积为「I则该圆锥的侧面积为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17〜21题为必考题，每个试题考生（12分）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知ai=-7,Si=-15。（1）求｛an｝的通项公式；（2）求Sn,并求Sn的最小值。（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图A.1B.3—5S210.若f(X)=cosx-sinx在[-a,a］是减函数，则a的最大值疋XnA.4B.C.D.n厶411.已知fCx）是定义域为（-oo,+o）的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2，贝yf(1)+f(2)(3)+…+f(50)=A.-50B.0C.2D.5012.已知Fi,F2是椭圆C:匚一，二=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点12.已知Fi,川b2PF1F2为等腰三角形，/FiF2P=120。，则C的离心率为

2000年年至2016为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：■■=-30.4+13.5t；根据2010年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，72000年年至2016分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。|AB|=8。(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线I与C交于A,B两点,(1)求|AB|=8。(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。20.(12分)如图，在三棱锥20.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,O为AC的中点。(1)证明：PO丄平面ABC;(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值。21、(12分)已经函数f(x)=ex-ax2。(1)若a=1,证明：当x>0时，f(x)>1;(2)若f(乂)在(0,+R)只有一个零点，求a。（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22、［选修4-4:坐标系与参数方程］22、［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为<x=1+tcosa八出会舷、.■（t为参数）。（1）求C和I的直角坐标方程；y=4sin6（0为参数），直线I的参数方程为,（2）若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为（1,2），求I的斜率。23:［选修4-5:不等式选讲］（10分）设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|。（1）当a=1时，求不等式f（x）>0的解集;（2）若f（x）w1时，求a的取值范围。参考答案：一、选择题1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D、填空题13.y2x14.9115.—16.40-一2n2三、解答题17.（12分）解：（1）设｛an｝的公差为d，由题意得3a13d15由a17得d=2.所以｛an｝的通项公式为an2n9.(2)由2(1)得Snn8n(n4)216所以当n=4时,Sn取得最小值，最小值为-16.18.（12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?30.413.519226.1（亿元）.利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?9917.59256.5（亿元）.（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下•这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线-可编辑修改-x-x-可编辑修改-性模型y9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠•学•科网(i)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理•说明利用模型②得到的预测值更可靠•以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19.(12分)解：(1)由题意得F(1,0)设A%,yj,B(X2,y2),yk(x1)，22由2得k2x2y24x,l的方程为(2k24)xyk(x1)(k0).k20.16k2160,故X22k2|BF|(Xi1)(X21)4k244k24由题设知戶k因此I的方程为y(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(X0，y。)，则y°X05，2(y0X01)2(X01)8，解得k1(舍去)，k1.2因此所求圆的方程为解得16.X0y。3，X011,或2y°6.(x223)(y2)2216或(x11)2(y6)2144.20.(12分)解：(1)因为APCP连结OB.因为ABBCAC4,O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.3上2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，2且OB由OP2由OP1AC2.2OB2PB2知POOB.OB，OPAC知PO平面ABC.uunAC,OB(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.--可编辑修改-22.122.1.-可编辑修改-uun由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2,3),AP(0,2,23),取平面PAC的法向量uuuOB(2,0,0).uuur设M(a,2a,0)(0a2)，则AM(a,4a,0).设平面PAM的法向量为n(x,y,z).uuuuuu由APn0,AM2y2、3z0(4a)y所以..umcos:OB,nn0得ax2、.3(a4)，可取0n6.3(a4),、一3a,a),所以2\3(a4)23a24|二辽•解得222•由已知得|cosOB,n：|-3所以2>/3|a2、3(a4)23a2a28「3434uuu—,3).又PC(0,2,33所以PC与平面4(舍去)，2,3)，所以PAM所成角的正弦值为子umcosPC,n(x21)ex(x21)ex12x2(x2x1)e(x1)e)单调递减.f(x)1.1时，f(x)1等价于1)ex1，则g'(x)0，所以g(x)在(0,【解析】(1)当设函数g(x)(当x1时，g'(x)而g(0)0,故当x0时，g(x)0,即2x(2)设函数h(x)1axe.f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.当a0时，h(x)0,h(x)没有零点；x当a0时，h'(x)ax(x2)e.当x(0,2)时,h'(x)0;当x(2,)时，h'(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增.故h(2)14a2e-是h(x)在［0,)的最小值.学&科网①若h(2)0,即ae2-,h(x)在(0,4)没有零点；②若h(2)0,即a2e-,h(x)在(0,4)只有一个零点；③若h(2)0,即a2e-，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一个零点,4由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,2

e4综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a彳16a'16a31~1/2a、2e(e))有两个零点.16a3(2a)422

y_16［选修4-4:坐标系与参数方程］(10分)2

x【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为—4当cos0时，I的直角坐标方程为ytanx2tan,当cos0时，I的直角坐标方程为x1.(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.①因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为