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文档简介
关于行列式的性质行列式展开第1页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六一、行列式的性质2、性质1
行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.1、记第2页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例如:对这个行列式进行转置第3页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六3、性质2
互换行列式的两行(列),行列式变号.互换行列式的二、三行例4、推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.证明互换相同的两行,有第4页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六5、性质3
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式.即行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.第5页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六6、性质4
行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证明第6页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六7、性质5
若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和:例如第7页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六8、性质6
把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.例如第8页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例2.1二、应用举例计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为三角形行列式,从而算得行列式的值.
方法二:三角形法第9页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六解第10页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第11页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第12页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第13页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第14页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例2.2
计算n阶行列式解:将第都加到第一列得技巧1:行和相同,全部加到某一列第15页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六技巧2:相同元素很多,化0(或者化为三角形).第16页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例2.3计算第17页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六解第18页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六提取第一列的公因子,得第19页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第20页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六
评注本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.第21页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).
计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.三、小结行列式的6个性质第22页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六§1.4行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则三、关于代数余子式的重要性质四、行列式的计算方法小结五、思考与练习题第23页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例如一、余子式与代数余子式第24页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六在阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素的余子式,记作叫做元素的代数余子式.例如第25页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第26页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六引理一个阶行列式,如果其中第行所有元素除外都为零,那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即.例如第27页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六性质3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即证二、行列式按行(列)展开法则第28页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第29页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例3.1方法三:用降阶法第30页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第31页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例3.2计算解第32页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第33页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第34页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第35页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六
评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降低1阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.第36页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六方法四:用数学归纳法例4.1证明第37页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六证对阶数n用数学归纳法第38页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第39页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六评注第40页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六
证用数学归纳法例4.2证明范德蒙(Vandermonde)行列式数学归纳法第41页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第42页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六n-1阶范德蒙行列式第43页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六推论
行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即第44页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六三、关于代数余子式的重要性质第45页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六方法五:利用范德蒙行列式计算例5计算利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。第46页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六解第47页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式知第48页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六
评注本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.第49页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例6
计算
阶行列式解:先将
添上一行一列,变成下面的
阶行列式方法六:加边法第50页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六显然,将的第一行乘以
后加到其余各行,得注意:此为爪形行列式,记住解此行列式的方法。因,将第列的倍加到第一列,得第51页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六注:此题也可不加边,直接利用倍加及爪形行列式方法第52页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六例7证明:第53页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六证明:第54页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六第55页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六
四、行列式的计算方法小结(3)降阶法(参见例3.1,例3.2)(最常用)(2)三角形法(参见例2.1,例2.2)
利用行列式的运算性质运算把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式的值.(4)数学归纳法(参见例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(参见例5)(6)加边法(参见例6)(7)递推法(参见课本例1.17)(1)用行列式的逆序数定义计算(证明)第56页,共61页,2022年,5月20日,5点45分,星期六计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列
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