双曲线中焦点三角形的探索

双曲线中焦点三角形的探究基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。2：该三角形中由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1||PF2|联合定义，有|PF1|2|PF2|2|PF1|性质一、设若双曲线方程为F1,F2分别为它的左右焦点，

|PF2|222|PF1||PF2|2|PF1||PF2|4ax2y21a2b2（a＞0，b＞0），P为双曲线上随意一点，则有：若F1PF2,则SVFPFb2cot2；特别地，当12F1PF290oSVFPFb2。时，有12证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由双曲线的定义得r1r22a,(r1r2)224a.在△F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方得：(r1r2)22r1r22r1r2cos4c2.即4a22r1r2(1cos)4c2.r1r22(c2a2)2b2.1cos1cos由随意三角形的面积公式得：1sin2sincosSF1PF2r1r2sinb2b222b2cot21cos22sin22.SF1PF2b2cot.2＝90时，cot＝1，因此SVF1PF2b2特别地，当2y2x21a2b2同理可证，在双曲线（a＞0，b＞0）中，公式仍旧建立.x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求△例4若P是双曲线6436F1PF2的面积.x2y218,b6,c10,而60.记|PF1|r1,|PF2|r2.解法一：在双曲线6436中，a点P在双曲线上，由双曲线定义得：r1r22a16.在△F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方，得：(r1r2)2r1r2400400r1r2256.进而r1r2144.SF1PF21r1r2sin11443363.222x2y2解法二：在双曲线64136，而60.36中，b2SFPFb2tan36cot30363122考题赏识（2010全国卷1理）(9)已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=600，则P到x轴的距离为(A)3(B)6(C)3(D)622【答案】B（2010全国卷1文）（8）已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=600，则|PF1|g|PF2|(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【分析1】.由余弦定理得cos∠F1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2=2|PF1||PF2|22222F1F212PF1PF2220PF1PF22PF1PF2cos6022PF1PF22PF1PF2|PF1|g|PF2|4【分析2】由焦点三角形面积公式得：226001013SF1PF2bcot21cot232PF1PF2sin602PF1PF22|PF1|g|PF2|4x2y21F1、F2，当点a2b2性质一推论：在双曲线（a＞0，b＞0）中，左右焦点分别为PF1F2SF1PF2b2csinP是双曲线左支上随意一点，若accos.特别地，当，则PF1F2SF1PF2b2cPF1F2a。当点P是双曲线右支上随意一点，若（90时，有SF1PF2b2csin双曲线渐近线的倾斜角），则ccosa证明：i、当P为左支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由双曲线的定义得r2r12a,r2r12a，在△F1PF224c22中，由余弦定理得：r14r1ccosr2.代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得accos。SFPF21r1F1F2sin1b22csinb2csin122accosaccos得证SF1PF2b2c特别地，当＝90a时，ii、当P为右支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由双曲线的定义得r1r22a,r2r12a，在△F1PF224c22中，由余弦定理得：r14r1ccosr2.代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得ccosa。SF1PF21r1F1F21b22csinb2csin2sinccosccosa得证2ax2y2（1）若P是双曲线641左支上的一点，F1、F2是其焦点，且PF1F260，例536求△F1PF2的面积.x2y21F1、F2是其焦点，且PF1F260，求（2）若P是双曲线4右支上的一点，F1PF2的面积.x2y21中，a8,b6,c10,（1）解法一：在双曲线6436而60.记|PF1|r1,|PF2|r2.点P在双曲线上，由双曲线定义得：r2r12a16.r216r1在△F1PF2中，由余弦定理得：22r14c24r1ccosr2.r1240040r1cos60(16r1)2.r13613解得：SF1PF21r1F1F2sin1362031803.2213213x2y21中，a8,b6,c10,b2解法二：在双曲线643636，而60.SF1PF2b2csin3610sin60180accos810cos60133x2y21中，a1,b2,c5,60.记（2）解法一：在双曲线4而|PF1|r1,|PF2|r2.点P在双曲线上，由双曲线定义得：r1r22a2.r2r12在△F1PF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.r122045r1cos60(r12)2.解得：r18(52)SF1PF21r1F1F2sin18(52)253203815222x2y218,b6,c10,b2解法二：在双曲线643636，而60.中，aSF1PF2b2csin45sin60ccosa5cos601203815性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1,tan2cot2e1;当点P在双曲线右支上时，有e1cottane12e1当点P在双曲线左支上时，有2证明：由正弦定理知

|FP|2sin

|FP|1sin

|FF|12sin(

)|FP|2

|FP|1

|FF12

|由等比定理，上式转变为

sin

sin

sin(

)2a