数学建模培训-概率模型

§2概率模三、允许缺货的模（一）概率论的诞生及应约定赌若干局且谁先c局便算赢家若在一赌a(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌题求教于帕斯卡帕斯卡与费马通信这一问题,于1654年共同建立了数学期望的数量规律.概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、预报、产品的抽样调自然界所观察到的现象:确定性现象随机现确定性现的现象称为确定实“不会从西边升起”,确定性现象的特 条件完全决定结随机现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 结果有可能出现正面也可能出现实例2明天的天气可能是晴也可能是多云或雨.

特征:条件不能完全决定结说系,其数量关系无法用函数加以描述.性但在大量试验或观察中这种结果的出现具有一定的统计规律,概率论就是研究随机现象这如何来研究随机现象 定可以在相同的条件下重复地进行3、概率的定1933年，数学家柯尔莫哥提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率AndreyNikolaevich1903.4--1）等可能概型(古典概型)定试验的样本空间只包含有限个元素具有以上两个特点的验称为等可能概型或古典概型.设试E的样本空间由n个样本点构成AE的任意个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为P(A)mn

A所包含样本点的个数.古典概型的基本模型:摸球模(1)无放回地摸 (2)有放回地摸例1某接待站在某一周曾接12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是解假设接待站的接待时间7777777777周周周周周周周周周周周故一周内接待12次来访

2 2 2 2 222222周周周周周周周周周周周周周12次接待都是在周二和周四周周

故12次接待都是在周二和周四进行的概率p 0.0000003小概率事件在实际中几乎是不可能发生的从例2假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等1/36564个人中至少解64个人生日各不相同的概率p365364(365

641). 故64个人中至少有2人生日相同的概率p1

365364

(365

说随机选取n(率为

365)个人,他们的生日各不相同p365364(365

n1).而n个人中至少有两个人日相同的概率为p1

365364(365

n1).我们利用包进行数值计算例3中的数学“传统型”采用“10选6+1”然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成号码。号码相符的个数多少及顺序确定等级。以号码“abcdef+g”为例说明等级，如下例3中的数10选选7中选7中 选7中 选7中abcXXX 选7中例3中的数总奖金比例一般为销售总额的50%，者单注金额2[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]例3中的数奖方比比比金金金金备1按25按35按45按5565例3中的数10选6+1（6+1/10）1

彩民获各项奖的概2C1p1

5

2107

p2

510

8101

p3

例3中的数否可以推断接待时间是有规定的解假设接待站的接待时间7777777777周周周周周周周周周周周故一周内接待12次来访

随机模

确定性因素和随机性因随机因素可以忽地以平均值的作随机因素影响必须考

确定性模随机性模概率模 （二）背 传送景 挂

产工作率的指标，研究提高传送带效率的途问题分进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应模型假模型建待定）与生产总数n（已知）之比，记作D=s/n为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则如 设每只挂钩为空的概率为q，则p=1-何 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则概 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则r=1-一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上 p=1-(1- D=m[1-(1-1/m)n]/n 模型解

Dmn

1)nm若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,D

(1

1n11n1定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比当n远大于1时En/2m~E与n成正比，与m若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)

的途径 •增加 模型推广(改进

增加 法1.增加一个周期内通过工作台的钩子数其它条件不法2.在原来放置一只钩子的地方放置两只钩若法1中m增加一倍,哪种办法法1E

法2E（三）允许缺货的模、问题的提在商店里，若商品数量不足，会发生缺货现象，售不出去，会造成商品积压，占用流动过多且最优策略呢？这就着市场需求的随机性问题，试建立数学型，制定最优策略．二、模型假 允许缺货，缺货费为t时间的需求量每次定货量不变，定货费C3不单位费不变,记为SStR(tTSO量与时间关系三、模型建假设最初量为S

平均量为

/

平均缺货量为

t1)/t1

S/在t时间内所需费

2 22

21

R

S)2在t2

(1

三、模型建平均总费用Ct,S)

C3)/CC(t,S) 1tS (RtS)2C3求最佳策略,使平均总费用最小四、模型求四、模型求C

1[C S

(RtS)]C

1S

S)2 t

2R

C3]

t[C2

S)]t0

2C3(C12C3(C1C22C2C3C1(C1C2四、模型求

C(t,S)

C(t0,S02C2C1C2C3C1C22C1C3当C2很大时（2C1C3

S0

C(t0,S0)四、模型求

Rt2RC32RC3(C1C2在允许缺货情况下在允许缺货情况下 2C2C30C(CC1122C1C3C2(C12C1C3C2(C1C2 五、模型的分析与推事实上在大多实际问题中需求速度是随机的这样模型的使用受到了一定的局限例一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为22

t0

（（四）报童最佳订购报纸模问题的提（1）邮局有足够的报纸可供报童（2）当天的报纸卖不出去，到明天就没（3）每份报纸在当天什么时候卖出是无（4）报童除了从邮局买报所需费用以外,随量

P(

i)

(i分析：每天从邮局订购Q份报纸，每卖出一份报纸能挣k分钱每退回邮局一份报纸，得赔h分钱1、供过于求

0X

Qi0Q

i)2、供不应求

X

kiQ1

Q)

C(Q)

h(Qi0

i)

k(iiQ1

Q)模型minC(Q)

C(Q

h(Q1i)Q

k[i(Qh(Q1i)Q

k

Q1)C(Q)(h

ki0

piCC(Q1)

(hkQi0QQ

pik

i0

kP

Q)

k五、五、从报童赢利的最大期望出发，求得最佳定期定量定一般情况，上一阶段未出售的货物可以在第二阶段继续出售，这时只要将第一阶段未出售的货物数量作为第二阶段初的量，仿照上述方法可求得最佳策略．（五）随机人口模型 背景 •一个人的出生 是随机事平均 平 一个国家或地区 平均 平 对

一 或村X一 或村

随机性模出生概概t的人口,出生概概Pn(t~概率P(X(t)=n研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方模型假若X(t)=n,对t到t+t的出生概率作以下假出生一人的概率与t成正比，记bnt出生二人及二人以上的概率为一人的概率与t成正比，记dnt二人及二人以上的概率为出生和是相互独立的随机事件进一步假bn与n成正比，记bn=n,~出生概率dn与n成正比，记dn=n，~概率建模 为得到Pn(t)P(X(t)=n),的变化规律Pn(t+t)=P(X(t事件X(t+t)=n的分X(t)=n-1,t内出生一X(t)=n,t内没有出X(t)=n,t内没有出生其它(出生或二人，出生且一人，……)

概率 Pn-1(t),bn-1tPn+1(t),Pn(t),1-bnt-dntPP(tt)n tP(t)(1btdt)nnnnn (t) (t)(bd)P(t)nnn

微分方n(n(t)(n(t)()nPnP(0)

n

(t=0时已知人口为n0 0

n转而X(t)的期望和方基本方X(t)的X(t)的期E(t)(t)

(n

(t)

(n

(t)

dEdEnndE

n(n

(t)

k

(t)

n(n

1)P

kk

(t)(

)n)nn

dEdE( nP(t