空间几何体截面与距离问题

距离与截面问题棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的上倍，求k的取值范围.【解析】如图所示，设正四棱锥V-ABCD底面中心为O，令BC=a，则VB=ka，而OB=旦a，在RtAVOB中，2C"还BcosZVBO=—=——ka2k一，一ZVBOg0,V・•.0〈巨<1,

2k・•・k〉巨2r・.・k的取值范围是V【答案】修,+」由题意知SH=2,SB=\-'5,A【例2由题意知SH=2,SB=\-'5,A【解析】四棱锥的简图如右所示，OH=1AB=1,高SO=<SH2—OH2=、4—1=顼3,2=12：22=1:4nS中截面=1.【答案】73,1OH=1AB=1,高SO=<SH2—OH2=、4—1=顼3,2=12：22=1:4nS中截面=1.【答案】73,1在直角三角形BB'F中，BB'=w（8-2）2+172=5<13,即斜高长为5无;又OA=2扬，OA=舞2,在直角三角形AAE中，AA'=\：'«豆—2云）+172=19，即此棱台的侧棱长为19.【例4】已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a,b,c，则它的高和斜高分别为【答案】\Q-土=,【例5】已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM别为【答案】\Q-土=,【例5】已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM=l，求经过SO的中点且平行于底面的截面AA】eg的面积.【解析】在RtASOM中,SO=h,SM=1，所以OM=\12-h2,,,1\3v3故MO=_•—AB=—AB，

326故棱长AB=2哉•212-h2=2、j3（12—h2），・.・S=巨AB2=3\；3（12-h2），AABC4又O为正三角形的中心,AABC与AABC相似，且边长比为1：2,故截面AABC的面积为史3（12-h）.1111114【例6】如图所示的正四棱锥V-ABCD，它的高VO=<3，侧棱长为万,⑴求侧面上的斜高与底面面积.⑵O'是高VO的中点，求过O'点且与底面平行的截面（即中截面）的面积.VC=侦7，故CO=、门—3=2=旦BC-BC=2扬.2斜高VH=-VC2-CH2=、、-2=•其，底面面积S=BC2=8;【解析】⑴由题意知VO=\3，⑵由棱柱的截面性质知:S中截面S底面21c1CC=nS=•8=2.4中截面4【例7】如图，已知棱锥/-A8C的底面积是64cm2，平行于底面的截面面积是4cm2，棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是q、0，过OO的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积.【解析】设棱锥的高为h，其顶点到已知截面之距VO=h,00的三等分点为O、O，TOC\o"1-5"\h\zh24一h1一1一13由已知得-h—=g^，.•〒=4，h=4h.•OO=VO—VO=h—4h=4h，3一而OO=OO=OO，则OO=OO=OO=——h=-h.1223312233344・.・VO=-h+-h=h，244・.・VO=-h+-h=h，244234444设过O、O3的截面面积分别为S2、S3，底面面积为S则(1一¥一S2：(1一¥一S2：S=hhJ:h2，S=4S=16(cm2).S3：S=・S39=—x64=36(cm2).16两截面的面积分别为16cm2和36cm2.【答案】16cm2和36cm2.圆锥、圆台的中截面与轴截面下底面半径的比是1：4，母线长下底面半径的比是1：4，母线长10,求【解析】设圆锥的母线长为Z，圆台上、下底半径为r,R.由相似三角形的性质有：5=r，即上10=1nl=40Rl43故圆锥的母线长为40.【答案】4033【例9】一圆锥轴截面顶角为120。，母线长为1,求轴截面的面积.【解析】圆锥的轴截面为顶角为120。的等腰三角形，腰长为1，故高为1xcos120^=1，2底边长为2-sin60。=\：3，从而轴截面面积为上x、3xL=、^【答案】芸"2244【例10】圆台的母线长为2。,母线和轴的夹角为30。,一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和.【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为r，

则下底面半径为2r，有2asin30。=2r-rnr=a圆台h=2acos30°=\:3a,上下两底面之和S=na2+n(2a)2=5na2.【答案】k3a,5na2【例11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是3、而，求它的轴截面的面积；【解析】圆台的轴截面为一个等腰梯形，故其高为vV3v10)-(5-2)2=9，故轴截面面积S=--(2-2+2-5)・9=63"答案】、&a,5na22一个底面半径是另一个底面BB=2a，・.・OB=a，OB一个底面半径是另一个底面BB=2a，・.・OB=a，OB=2a【解析】如图，圆台轴截面为梯形ABBA，ZBBC=30°・.・BC=a且OB=2OB，「・BC=OB-OB=OB111111【例13】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与底面的夹角是45°，求这个圆台的母线长.【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r，R，则R=3r，根据母线与底面的夹角是45°，有高为r，二圆台轴截面的面积为S=L(r+3r)•r=392，解得：r=14，・母线长为14切2【答案】14x2【例14】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4,截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.【解析】设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，SSSS33r根据相似三角形的性质得二=二，解得l=9.3+l4r，所以，圆台的母线长为9.【答案】9.【例15】圆台母线长为2a,母线与轴的夹角为30o,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设圆台上底面半径为,，则下底面半径为2,，如图为圆台轴截面的一部分，r则ZASO=30o，在RtASA'O'中，——=sin30o，Z.SA'=2rSA'2r一在RtASAO中，一=sin30o，Z.SA=4r.SA,ZSA-SA'=AA',・Z4r-2r=2a,r=aS=S+S=nr2+n(2r)2=5nr2=5na2.Z圆台的上底面半径为a，下底面半径为2a,两底面面积之和为5na2【答案】a、2a、5na2【例16】圆锥轴截面顶角为120。，母线长为1.⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无120。1.【解析】⑴圆锥的轴截面为顶角为120。的等腰三角形，腰长为1，故高为1-cos也=1，底22边长为2sin60°=t3，从而轴截面面积为［•侦3」=重"；24⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为1,设顶角为0，三角形的面积为L.1.sin0=迦0，22由轴截面的顶角为120。知，0<0<120°，故当0为直角时，过顶点的截面有最大面积-.2【答案】⑴应；⑵-.42球的截面【例17】在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49n和400n.求球的半径.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径，解：设球的半径为r，截面圆心分别记为q,q,如图，A•「n-OB2=49n，「・OB=7同理n-OA2=400n，二OA=20设OO=x，贝寸OO=x+9.A在RtAOOA中，R2=x2+202；在RtAOOB中，R2=(x+9)2+72,x2+20=72+(x+9)2，解得x=15,・.・R2=x2+202=252，..・R=25.【答案】25.【例18】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12n和16n，求这两个截面间的距离.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设两个截面半径分别为r,r，则2nr=12n,2nr=16n,1212解得r=6,r=8.从而球心到两个截面的距离分别为：d=\R2一r2=8,d=\R2一r2=6.AABB(1)(2)若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为\d-d|=2，如图⑴;若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为d+d=14，如图⑵.【答案】2或14.12【例19】（2008四川卷8）设M,N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM,分别过N,M,O作垂直于OP的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:9【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，四川高考【解析】D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识.【答案】D【例20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18,BC=24、AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，AABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r2=R2-d2求出球半径R.•「AB=18，BC=24，AC=30，・.・AB2+BC2=AC2，AABC是以AC为斜边的直角三角形.・.・AABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r=15，又球心到截面的距离为d=1R，2

ri\2ri\2R\27【答案】R=1^3・.・R2-2=152得R=10\3.【例21】已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A.1B.,2C.岳D.2【考点】截面与距离问题【难度】2星星【题型】选择【关键词】2008年，全国高考【解析】C；如图，球心记为O，两个圆面的圆心记为01,。2,公共弦为AB，M为AB的中点，记圆01所在的平面为a，圆O2所在的平面为p，则平面a人平面p，Oq人平面a,00广平面P，又ABA0M,ABA02M，而AB为两个平面的交线，故0MA平面a，0Ma平面p，从而001〃0M，且四边形00M0^为平行矩形.由ABa平面00M0知，ABA0M，又0B=2，AB=2，故0M=<3=00，即为所求.【答案】3组合体的截面分析【例22】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为尸，圆锥的半径为R，

,则圆柱的高为OO=2r1COCD//AB,..・-T-riiAO圆锥的高为SO=、.,则圆柱的高为OO=2r1COCD//AB,..・-T-riiAOSORw3R解得：-=2<3-3,它们的高之比为兰=2（2一、,3）.R、3R圆柱的母线长为2r，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为2r=2•兵-3.【答案】2（2-枳）,芸-3.【例23】棱长为1的正方体ABCD-ABCD的8个顶点都在球O的表面上，E,F分别是棱1111AA1，DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A.——B.12【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2007年，湖南高考C.1峙已知正方体ABCD-ABCD，如图，1111心为OC.1峙已知正方体ABCD-ABCD，如图，1111心为O设EF所在的大圆圆面截正方体EFGH，圆EAA1由题意知面EFGH〃面ABCD.•・四边形EFGH为正方形，球半径为R=――2又直线EF被球O截得线段长即为大圆O截直线EF的长.如图:・.・MN=\NK2—MK2=、.互【答案】D

【例24】连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、方、4打，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：②弦AB、CD可能相交于点N④MN的最小值为1D.4个①弦AB、CD可能相交于点M③MN的最大值为5其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，江西高考【解析】⑴先算出两个弦心距分别为3与2⑵利用三角形的三边的大小关系可知\aM-ON<|mn|<|om|+|on|当且仅当AB与CD在同一个大圆面内且相互平行时取等号...①③④是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB与CD两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又*.•CD>AB②弦AB、CD可能相交于点N④MN的最小值为1D.4个【答案】C多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】如图正方体ABCD-A1BCD，其棱长为1,P,Q分别为线段弋,£D上的两点,且AP=CQ=X.求在正方体侧面上AP到Q的最短距离.11【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图.由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ的长即为两点间的最短距离，分别为：(前上)PQ=^。+1)2+(1-X)2=、办2+2①(左上)pq=、TTT=、还(左后)PQ=K2+(1+1-1)2=v'2一2-4)+4=\：‘2(入一1)2+2②由于0W1W1，...①式PQ=212+2^<2；②式PQ=侦2(1-1)2+2N.•互:.最短距离PQ=\耳【答案】*2.【例26】已知如图，正三棱柱A8C-DEF的底面边长为1,高为8,—质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D点的最短路线的长为ABDEF【备注】棱柱的表面距离问题【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】将正三棱柱ABC-ABC沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10.ABDEF【答案】10.

【例27】如图所示，正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,ZASB=45。,M和N分别为棱SB和SC上的点，求AAMN的周长的最小值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无M—N—.-A'(A)A'(A)【解析】分析：将侧面展开一化归为平面几何问题.将正三棱锥侧面棱SA剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接AA'，设AA'与SB交于M，交SB于N点，显然AAMN的周长l=AM+MN+NA'>AA二也就是说当AM,MN,NA(NA')在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则AA'M—N—.-A'(A)A'(A)•「SA=SA'=1,ZASB=ZBSC=ZCSA'=45。・.・ZASA'=135o・.・AA'=*SA2+SA'2-2SA-SA'cos135。=3+<2・.・AAMN周长最小值为<2+<2【答案】i：2+典【例28】如图，长方体ABCD-A1B1C1D中，AB=a，BC=b，BB「c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C］的最短线路的长.C1A1【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答.将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图.

AaB三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：AaBC~~:~T-~—；~；'-T7-、、:(a+b)2+c2=，:a2+b2+c2+2ab，、::a2+(b+c)2=、•a2+b2+c2+2bc-、：(a+c)2+b2=\：a2+b2+c2+2ac,/a>b>c>0,ab>ac>bc>0.故最短线路的长为ta2+b2+c2+2bc.【答案】v'a2+b2+c2+2bc【例29】如图所示，设正三棱锥V-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a,ZAVB=9.过A作与侧棱VB,VC相交的截面A时，求截面周长的最小值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：将侧面展开T化归为平面几何问题.将正三棱锥沿侧棱VA剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接AA',设AA'与VB交于E，交VC于F点，显然AAEF的周长l=AE+EF+FA'3AA'，也就是说当AE，EF，FA(FA')在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短，

则AA'的长就是截面AAEF的周长最小值.由于已知ZAVB=0，因此在△?'中可利用余弦定理求出AA'的长.如图所示为正三棱锥沿侧棱VA剪开的侧面展开图，•「ZAVB=0，则在AAVB中，由余弦定理得°(2a)2+(2a)2-a272・2a・2acos0=32sin0=^^-,cos20=2cos20-1=2・2a・2a327从而cos30=cos0cos20一sin20sin0=128于是在AAVA'中，由余弦定理得AA'2=(2a)2+(2a)2-2-2a-2acos30=^6a2所以AA'=旦a为所求最小值.4【答案】旦a.4【例30】如图，圆台上底半径为1,下底半径为4,母线AB=18，从AB中点M拉一绳子绕圆台侧面转到A点（A在下底面）.⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴如图为圆台的侧面展开图，由题意知，A'绳子的最短距离即为AM的长度.A'2n2n•4设PB=x，则PA=x+18，有—=（圆心角相等），xx+18解得x=6，故侧面展开图中的ZAPA'=竺=-,3AP=24,PM=6+9=15,n由余弦定理得：AM2=242+152-2-24-15-cos-=441,3故AM=21,即绳子的最短长度为21.⑵取绳上任意点E'，连结PE'，交圆台上底于点F'，由于PF'=6，因此当PE'取最小值时，F'E'取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P作PE±AM,且与BB'交于点F，其中PF=6，则FE为上底圆周上的点到绳子的最短距离.24-15-sin-在APAM中，由面积公式有PE=————3=性3,217故FE=您3-6为所求的最短距离.7【答案】FE=配*-67【例31】已知以A为顶点的正四面体A-BCD，其棱长为1,P,Q分别为AB,CD上的两点,且AP=CQ=X.求在正四面体侧面上从P到Q的最短距离.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD与过棱BC时侧面展开图中PQ距离相等，如图1与2,同理过棱BD与AC时PQ长度相等，B图2D

DDBCB图2DDDBC图3因此只需考虑以下两种情况①过棱AD时，如图2所示，沿AC展开，此时PQ=1.②过棱AC时，如图3所示，沿AD展开，由于ABAC=ZACD=60o，ZAMP=ZCMQ，AP=CQAAMPgAAAMPgACMQ(AAS)1AM=CM=-2此时PQ=2」入2+4—2-2入cos60o=气：4入2—2入+1将①②两种情况进行比较有:.1.，■—:——当X<一时，有v4X2—2X+1<12当人N一时，有（4入2—2X+1N12J4入2一2入+1故PQ=<mi&1。4入2一2入+1,X<-【答案】PQ=]2m|1,xn2【例32】如图，在直三棱柱ABC—A1BC^中，AB=BC=42,BB=2,ZABC=90。，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为■1AECAB【考点】截面与距离问题【难度】21AECAB【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2005年，江西高考【解析】.「AB=BC=而，ZABC=90。，「・AC=2...•侧面展开后如图1所示.,AE=2AA=,AE=2AA=132AF=AB+BF=——，..・EF=iii12、：Ay2+AF2把¥BC与侧面A1BBA展平如图2所示.连结EF，过E作EM±BB，则EM=AB=<2,FM=1+12,EF=，:-+还12\2若把AABC与侧面AACC展平如图3.11111图3图33

FD=-,2连结EF,作EM1CC于M，作FD±EM于D点，贝寸ED=^EF=23\'2比较以上三条路径，以第三条最小，EF3

FD=-,2EF=2【例33】如图所示，正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,ZASB=40o,M和N分别为棱SB和SC上的点，求AAMN的周长的最小值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】过SA作正三棱锥侧面展开图，如图所示，

・.・ZASA'=120o・..AA'=\SA2+SA'2—2SA-SA'cos120o=*3・.・AAMN周长最小值为*3【答案】.3球面距离【例34】在体积为4'方兀的球的表面上有A,B,C三点，AB=1,BC=<2,A,C两点的球面距离为工兀，则球心到平面ABC的距离为.3【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，辽宁高考【解析】°；-nR3=心3兀—R=<3，记球心为O，知ZAOC=-，于是AC=R=侦3,AABC233为直角三角形，外接圆半径为上，于是球心到平面ABC的距离为2【答案】32【例35】已知球O的半径是1,A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是-，B、C两点的球面距离是-，则二面角B—OA—C的大小43是（）,nn—n—2nA.-B.-C.-D.—43【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2006年，四川高考23【解析】球O的半径是R=1，A,B,C三点都在球面上，A,B两点和A,C两点的球面距离都ttnnn是一，则ZAOB，ZAOC都等于一，AB=AC，B,C两点的球面距离是一，ZBOC=-，4433BC=1,过B做BD±AO,垂足为D,连接CD,则CD±AD,则ZBDC二面角B-OA-C的平面角，BD=CD=-—,二ZBDC=—，二面角B—OA—C的大小是兰，选C.222【答案】C【例36】A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为nR，求过A、B的2平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A、B是球面上两点，球面距离为nR，转化为球心角ZAOB=n，从而22AB=^2R，由关系式r2=R2—d2，r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径.由于过人8的大圆到球心距离为0，因此要球最大距离则过A、B的平面必为小圆，AB为小圆的弦，为使r小，则AB为小圆的直径时，r最小.n•.•球面上A、B两点的球面的距离为-R.2・.・ZAOB=n，・.・AB=x2R.2当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r=—AB=——R,22，…―，•匚—1d取取大值，d=\R2—r2=—R,22即球心与过A、B的截面圆距离的最大值为—R.2【答案】暨R2【例37】已知A,B,C三点在球心为O，半径为R的球面上，且AB=AC=BC=R，那么A,B两点的球面距离为，球心到平面ABC的距离为.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】如右图，,/AB=R，所以'OAB是等边三角形，ZA0B=—，故A,B两点的球面距离为一R,33AABC为等边三角形，它的外接圆半径r=-x兰3R=^R323在RtAOOB中，OO=jR2—(gR)-=岑R,所以球心到平面ABC的距离OO1=乎R.r~或者也可由正四面体O-ABC的棱长为R，则高为匹R.3【答案】nR，还R33【例38】A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为nR，求过A、B的2平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A、B是球面上两点，球面距离为nR，转化为球心角ZAOB=n，从而22AB=<2R，由关系式r2=R2-d2,r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径，所以AB为圆的直径时，r最小.n解：..•球面上A、B两点的球面的距离为一R.2・.・ZAOB=n,「・AB=x2R.21克一一...当AB成为圆的直径时，r取取小值，此时r=AB=—R,d取取大值，22d=、：R2-r2=^-2R，2-即球心与过A、B的截面圆距离的最大值为—R.2

【答案】R2【例39】如图球O的半径为2,圆O1是一小圆，O1O=41,A、B是圆O1上两点，若A,B两点间的球面距离为四，则ZAOB=.31【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，陕西高考2n【解析】ZAOB-R=-n^ZAOB=-，于是AB=R=2.又33O]A=O]B=JR2—OO「=42,・.・AB2=OA2+OB2，ZAOB=-.ii12【答案】n.2【例40】如图，在半径为3【例40】如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ZABC=90o,BA=BC,球心O到平面ABC的距离是里,2.nA・B■兀3【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，四川高考则B、C两点的球面距离是（）-4一-C.nD.2n3【解析】VAC是小圆的直径.所以过球心O作小圆的垂线，垂足O'是AC的中点.AC=3、2，..・BC=3，即BC=OB=OC，nn・.・ZBOC=-，B、C两点的球面距离是一x3=n33本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解.【答案】C.

【例41】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1,经过3个点的小6圆的周长为4n，求这个球的半径.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】利用球的概念性质和球面距离的知识求解.设球的半径为R，小圆的半径为r，则2nr-4n,r=2.如图所示，设三点为A、B、C，O为球心，OCBAOCBA-2nnZAOB=ZBOC=ZCOA=—=-63又.「OA=OB，:.AAOB是等边三角形，同样，ABOC、ACOA都是等边三角形，得AABC为等边三角形，边长等于球半径R.r为Ar为AABC的外接圆半径，v3侦3

r=——AB=——R333•—R=r=2t3.【答案】2丙【例42】如图，O是半径为1的球心，点A,B,C在球面上，OA,OB,OC两两垂直，E,F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E,F在该球面上的球面距离是（）A.B.C.D.4ABC

【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2006年，浙江高考【解析】由于E,F分别是大圆弧AB与AC的中点，有ZEOG=ZBOE=45o一n\:2n..EG=1xsin==FG,匕EGF=—422・•・EF=\EG2+FG2=1=OE=OF:.AEOF=-，3nn.•点E,F的球面距离为一x1=—33【答案】A.B.C.D.4ABC3【例43】已知A,B,C,D在同一个球面上，AB±平面BCD,BC±CD，若AB=6,AC=2咨3,AD=8，则B,C两点间的球面距离是.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，江西高考4n【解析】一；如图，取人2中点O，BD的中点E，连结OE，则OE〃AB，从而OE±平3面BCD，又E为RtABCD的外接圆圆心，故OB=OC=OD=OA，从而O为球心，球的半径为4，又BC=、《（2而）2—62=4，故ABOC=-，B,C两点间的球面距离为-x4=-n.33【答案】兰3【例44】如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60。纬线长和赤道长的比值为()A.0.8B.0.75C.0.5D.0.25【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，辽宁高考【解析】答案：C设地球半径为R，则北纬60。纬线圆的半径为Rcos60。=1()A.0.8B.0.75C.0.5D.0.25【答案】C.【例45】在半径为R的球面上有A,B两点，球心为0，半径0A,OB的夹角是n，则3A,B两点的球面距离为.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】因为0为球心，故半径0A，0B所在的圆即为大圆，由球面距离的定义知：n圆3n心角所对的弧长即为所求的球面距离，等于R.3【答案】nR3【例46】在北纬60。纬线上有A,B两地，它们分别在东经60o与西经120。的经线上，设地球半径为R，求A,B两地的球面距离.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】如图所示，设60。纬线圈圆心为0］，则0/=01B为纬线圆半径，A0A=R-cos60o=1R.12如图，地球中心为0，则ZA0B=120o+60o=180o..・AB为纬线圈的直径，即1AAB=R【答案】R【例47】已知地球的半径为R,球面上A,B两点都在北纬45。圈上，它们的球面距离为nR,3A点在东经30。上，求B点的位置及A，B两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】求点B的位置，如图就是求ZAOB的大小，只需求出弦AB的长度.对于AB应1把它放在'OAB中求解，根据球面距离概念计算即可.如图，设球心为O，北纬45。圈的中心为O],nn由A,B两点的球面距离为—R，所以ZAOB=-,33.\AOAB为等边三角形.于是AB=R.由O1A=OB=R-cos45。=*R,n・.・O1A2+O1B2=AB2.即ZAO^B=2.又A点在东经30。上，故B的位置在东经120。，北纬45。或者西经60。，北纬45。.・.A,B两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为OA-—=旦2nR.124【例48】从北京A（靠近北纬45o、东经120o，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B（南纬30o、东经30o），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C（北纬45o、东经30o）,然后向南飞到目的地B.乙航空线：从北京A沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D（南纬30o、东经120o）,然后向沿纬线向西飞到目的地