弹塑性力学讲义4

建筑工程学院第六章旋转圆盘的分析Prof.WangJX第六章旋转圆盘的分析§6－1等速旋转圆盘的分析§6－2变速旋转圆盘的分析§6－3等速旋转圆轴的分析Prof,WangJX§6－1等速旋转圆盘的分析一、弹性分析1.基本方程等厚旋转圆盘以等角速度绕其中心轴转动，若材料的密度为，则径向离心力（即径向体力分量）为：平衡方程：hbrProf,WangJX弹性本构方程：几何方程：边界条件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

由几何方程得应变协调方程：将本构方程代入上式得：由平衡方程：取：2．解答：(r)

称为应力函数。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

解得：代入协调方程得：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

3.实心圆盘：半径为b，厚度为h（h远小于b）的实心圆盘设外边界为自由边界。r=0处，r

与

为有限值：C2=0

r=b处，无面力：hbrProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

应力分量：rbrohbrProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

应变分量：位移分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

4．空心圆盘：内、外半径为a、b，厚度为h（h远大于b）的空心圆盘内孔表面与外边界为自由边界。

r=a处与r=b处，无面力：hbraProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

应力力分分量量：：robarhbraProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应变变分分量量：：位移移分分量量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity内外外半半径径为为b、a的圆圆盘盘（（2）与与内内外外半半径径为为c、b的轴轴（（1）套套装装，，套套装装前前的的过过盈盈量量为为，轴轴在在套套装装处处的的径径向向位位移移为为：：u1b；圆盘盘在在套套装装处处的的径径向向位位移移为为：：u2b；套装装的的几几何何条条件件：：套装装处处轴轴和和圆圆盘盘的的边边界界条条件件（（径径向向压压力力相相等等））：：5．圆圆盘盘与与轴轴的的套套装装问问题题：：21Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity为保保证证套套装装的的可可靠靠性性，，套套装装应应力力不不能能为为零零。。工程程上上把把套套装装应应力力为为零零所所对对应应的的角角速速度度称称为为松松脱脱角角速速度度，，用用*表示示。。当达达到到松松脱脱角角速速度度时时，，在在r=b处的的套套装装压压力力为为零零，，则则有有：：松脱脱角角速速度度为为：：圆盘盘与与实实心心轴轴套套装装：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity二、、弹塑塑性性分分析析（（理理想想弹弹塑塑性性材材料料））hbrrbro1.弹性性极极限限状状态态：：（（半半径径为为b的实实心心圆圆盘盘））Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity屈服服条条件件：：弹性性极极限限角角速速度度：：应力力分分量量：：rbosProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2.弹塑性状态态平衡方程：：实心圆盘：：r=0时，r为有限值：：C3=0塑性区的应应力分量为为：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity弹性区内的的应力分量量：边界条件：：解得：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity弹性区内的的应力分量量：塑性区的应应力分量：：rbosrprProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力分量为为：塑性极限角角速度与弹弹性极限角角速度之比比为：超速工序：：0p0e当塑性区扩扩大到外边边界时，进进入塑性极极限状态，，此时rp=b，角速度达到到塑性极限限角速度l：3.塑性极限状状态Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4.位移分量：：塑性区：平面应力状状态：z=0体积不可压压缩：z=-（r+）形变理论：：（r-z）：（-z）=r：连续条件：：r=rp时：u连续=1/2，ij=eij弹性区：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityur=bulueole位移分量：：径向位移与与角速度的的关系：在外边界处处，塑性极极限状态与与弹性极限限状态位移移之比：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity等强度条件件：设旋转圆盘盘的厚度h为r的函数.三、工程中的等等强度旋转转圆盘取微元体考考虑平衡条条件平衡方程：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§6-2变速旋转圆圆盘的分析析一、基本方方程等厚旋转圆圆盘以角速速度、角加速度度d/dt绕其中心轴转转动。若材料的密密度为，则径向离离心力（即即径向体力力分量）和和切向惯性性力为：若不考虑刚刚体位移，，圆盘的几几何形状及及体力与无关，故应应力分量、、应变分量量及位移分分量均为r的函数。Prof,WangJX弹性本构方方程：平衡方程：：几何方程：：边界条件：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity二、弹性分分析：将几何方程程代入本构构方程中，，再代入平平衡方程得得：解得：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity内半径径为a、外半径径为b，厚度为为h（h远小于于b）的空心心圆盘盘，设设内孔孔表面面与外外边界界为自自由边边界（（无面面力））。边界条条件：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity设材料料为理理想弹弹塑性性体，，服从从Mises条件。。弹性极极限状状态：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity弹性极极限角角速度度与角角加速速度的的关系系：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity三、、弹弹塑塑性性分分析析：：弹性性区区内内的的应应力力分分量量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity边界界条条件件：：数值值解解法法求求塑塑性性极极限限状状态态Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity当塑塑性性区区扩扩大大到到外外边边界界时时，，进进入入塑塑性性极极限限状状态态，，此此时时rp=b，角速速度度达达到到塑塑性性极极限限角角速速度度l：b/a=2；=0.3AB、CD：由剪剪应应力力不不超超过过剪剪切切屈屈服服条条件件确确定定，，否否则则在在最最大大剪剪应应力力处处产产生生切切向向塑塑性性流流动动。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity1.角加加速速度度的的存存在在，，使使旋旋转转圆圆盘盘达达到到弹弹性性极极限限或或塑塑性性极极限限状状态态时时的的角角速速度度都都比比等等角角速速度度旋旋转转圆圆盘盘在在相相应应状状态态下下的的极极限限值值小小，，且且角角加加速速度度越越大大，，极极限限状状态态时时的的角角速速度度越越小小。。2.剪应应力力具具有有静静定定性性质质，，即即由由平平衡衡方方程程和和边边界界条条件件确确定定，，与与应应力力组组合合是是否否进进入入塑塑性性状状态态无无关关。。剪剪应应力力的的存存在在，，使使旋旋转转圆圆盘盘的的主主应应力力方方向向随随时时间间而而变变化化。。Prof,WangJX结论论§6-3等速速旋旋转转圆圆轴轴的的分分析析一、、弹弹性性分分析析圆轴轴以以等等角角速速度度绕其其中中心心轴轴转转动动（（平平面面应应变变问问题题））。。若材材料料的的密密度度为为，则则径径向向离离心心力力（（即即径径向向体体力力分分量量））为为：：平衡衡方方程程：：弹性性本本构构方方程程：：Prof,WangJX几何何方方程程：：由几几何何方方程程得得应应变变协协调调方方程程：：将本本构构方方程程代代入入上上式式得得：：由平平衡衡方方程程：：积分分得得：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity1．实实心心圆圆轴轴：：对半半径径为为b的实实心心圆圆轴轴，，设设外外边边界界为为自自由由边边界界、、端端部部不不受受外外力力作作用用。。r=0处，，r与为有有限限值值：：C2=0r=b处，，无无面面力力:Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity应力力分分量量：：若端端部部不不受受外外力力作作用用：：Nz=0当应应变变为为常常数数时时得得：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2.空心心圆圆轴轴：：内半半径径为为a、外半半径径为为b的空空心心圆圆轴轴，，设设内内孔孔表表面面与与外外边边界界为为自自由由边边界界。。r=a处与与r=b处，，无无面面力力：：应力力分分量量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity二、、弹弹塑塑性性分分析析（（理理想想弹弹塑塑性性材材料料））r=rboz屈服服条条件件：：半径径为为